新教材人教a版选择性必修第二册4.2.2第二课时等差数列的前n项和的性质及应用课件

第二课时等差数列的前n项和的性质及应用核心知识目标核心素养目标能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题,提升学生的数学建模和数学运算素养.知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪1.等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成等差数列.(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数).知识探究[问题2]等差数列奇偶项和有怎样的性质?2.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最

值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最

值.特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则

是{Sn}的最大值.小大S1小试身手1.等差数列{an}中,S3=3,S6=9,则S12等于(

)(A)12 (B)18 (C)24 (D)30解析:根据题意,等差数列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,…也成等差数列,又由S3=3,S6=9,则S6-S3=6,则S9-S6=9,S12-S9=12,则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30.故选D.DD3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为

.

答案:23或24解析:由an≤0即2n-48≤0得n≤24.所以所有负项的和最小,即n=23或24.课堂探究·素养培育探究点一等差数列前n项和的性质[例1](1)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=8,S8=4,则S12=

;

答案:(1)-12(2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于

;

方法总结等差数列的前n项和常用的性质小结(1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列.即时训练1-1:(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=2,S2m=17,则S4m等于(

)(A)32 (B)47 (C)54 (D)86答案:(1)D

答案:(2)D

答案:(3)75探究点二等差数列前n项和的最值问题[例2]在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.变式训练2-1:若将本例条件“a1=25”改为“a1=-25”,其他条件不变,试求Sn的最小值.变式训练2-2:本例中若将条件“a1=25,且S9=S17”改为“a1=26,且S9=S18”,则n取何值时Sn有最大值?并求出最大值.方法总结求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路探究点三裂项相消法求和①-②得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为an>0,所以an+an-1≠0,所以an-an-1-2=0,所以an-an-1=2,所以{an}是以a1=1为首项,以d=2为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.综上所述,结论是an=2n-1.方法总结(1)裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和.(2)利用裂项相消法求和的注意事项①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项;备用例题[例2]一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.[例3](2021·天津高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由S4=4S2,可得4a1+6d=4(2a1+d),即2a1=d①.又因为a2n=2an+1(n∈N*),取n=1,所以a2=2a1+1,即a1+1=d②,由①②可得a1=1,d=2,故{an}的通项公式为an=2n-1.课堂达标B1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S6=15,则a7+a8+a9等于(

)(A)12 (B)21 (C)27 (D)39解析:由等差数列的前n项和性质可知,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以,2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因此,a7+a8+a9=S9-S6=