新教材人教a版选择性必修第二册5.3.2第三课时导数的综合应用学案

第三课时导数的综合应用核心知识目标核心素养目标1.能利用导数与单调性的关系画出函数的大致图象.2.能利用导数解决与极值、最值有关的简单的不等式证明、恒成立问题.3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题.1.借助用导数解决函数的综合问题,培养直观想象的核心素养;2.通过学习用导数解决生活中的优化问题,培养数学建模的核心素养.3.借助实际问题的求解,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?探究:怎样解决此类问题?提示:首先设变量,建立目标函数,然后利用导数知识求解目标函数的最值即可.画函数f(x)的大致图象的步骤(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x)及f′(x)的零点;(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,并得出f(x)的单调性与极值;(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;(5)画出f(x)的大致图象.1.函数y=2x+4cosx在(-π2,π2)上的极(填“大”或“小”)值点为解析:y′=2-4sinx,x∈(-π2,π令y′=0,解得sinx=12,即x=π当-π2<x<π当π6<x<π所以函数在x=π6答案:大π2.已知函数f(x)=2x-sinx,当x∈[0,1]时,函数y=f(x)的最大值为.

解析:f′(x)=2-cosx>0恒成立,所以当x∈[0,1]时,函数f(x)是增函数,函数的最大值为f(1)=2-sin1.答案:2-sin13.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为解析:设y=f(x),即f(x)=-13x3故f′(x)=-x2+81.令f′(x)=0,即-x2+81=0,解得x=9或x=-9(舍去).当0<x<9时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>9时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.因此,当x=9时,f(x)取得最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.答案:94.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=13x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是解析:由题意,f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1,因为0≤x≤5,所以x=1时,f′(x)的最小值为-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.答案:-1借助导数画函数图象解题[例1](1)(2020·安徽六安一中高三月考)函数f(x)=xln|x|+2x(2)已知关于x的方程ex=ax2有三个不等的实数根,则实数a的取值范围是()(A)(12e,+∞) (B)((C)(e,+∞) (D)(e2,+∞)解析:(1)函数f(x)=xln|x|+2x{x|x≠0}关于原点对称,又f(-x)=-xln|-x|+2-x=-(xln|x|+所以f(x)是奇函数,排除BC.当x>0时,f(x)=xlnx+2x则f′(x)=1+lnx-2x又f′(1)=-1<0,f′(2)=ln2+12所以函数f′(x)在(1,2)内存在零点x0,且当0<x<x0时,f′(x)<0,当x>x0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,排除D.故选A.(2)问题等价于a=ex令f(x)=exx2当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数,又f(x)>0,且极小值为f(2)=e2因此y=a与f(x)的图象有三个不同的交点时,a>e2借助导数研究函数图象的注意点:(1)不要忽略函数的定义域;(2)注意研究函数经过的特殊点;(3)在开区间上研究函数图象时,注意利用极限思想确定区间端点处函数值的正负.即时训练1-1:(1)函数f(x)=2x(2)(2020·江西高二期末)若函数f(x)=kx-lnx(k>0)有且只有一个零点,则k=.

解析:(1)由函数f(x)=2xx=-32又f′(x)=-2由f′(x)=0知函数有两个极值点,排除C,D.故选B.(2)由题意可得kx-lnx=0只有一个根,即k=lnx令g(x)=lnxx,则g′(x)=作出g(x)=lnx结合图象可知,k=g(e)=1e答案:(1)B(2)1生活中的优化问题[例2](2020·无锡高二期末)如图1,四边形ABCD是边长为102cm的正方形纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图2中的点P,正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(图2所示),设正四棱锥P-EFGH的底面边长为xcm.(1)若要求包装盒侧面积S不小于75cm2,求x的取值范围;(2)若要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的容积.解:(1)图1中,设AC,BD交于点O,BD与FG交于点M,图2中,取四边形EFGH的中心O,连接OP,PM,OM,因为四边形ABCD是边长为102cm的正方形,所以OB=10(cm),由FG=x得OM=12x,PM=BM=10-1因为PM>OM,即10-12x>1所以0<x<10,因为S=4×12FG·PM=2x(10-12x)=20x-x由20x-x2≥75,可得5≤x≤15,故x的取值范围是[5,10).(2)因为在Rt△OMP中,OM2+OP2=PM2,所以OP=PM2-V=13FG2·OP=13x=13设f(x)=100x4-10x5,0<x<10,则f′(x)=400x3-50x4=50x3(8-x),当0<x<8时,f′(x)>0,函数单调递增,当x>8时,f′(x)<0,函数单调递减,所以当x=8时,函数取得极大值,也是最大值,此时V取得最大值为1285故当x=8时,包装盒的容积最大为12853cm(1)生活中的优化问题常见模型:利润最大问题,用料(费用)最省问题等;面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题.(2)利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤①分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);②求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;③比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值;④把所得数学结论回归到数学问题中,看是否符合实际情况并下结论.即时训练2-1:(2021·莱州一中高二月考)如图所示,四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解:设包装盒的高为hcm,底面边长为acm.由已知得a=2x,h=60-2x(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.(2)由题意,可得V=a2h=22(-x3+30x2),则V′=62x(20-x).由V′=0得x=0(舍去)或x=20.当x∈(0,20)时,V′>0,V单调递增;当x∈(20,30)时,V′<0,V单调递减.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值,此时ha=1即当x=20时,包装盒的容积最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为12导数的综合应用角度1证明不等式[例3](1)证明:当x≥0时,ex≥12x2(2)已知函数f(x)=ex2-xlnx.求证:当x>0时,f(x)<xex+1e证明:(1)令g(x)=ex-12x2则g′(x)=ex-x-1,令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1,当x≥0时,h′(x)=ex-1≥0,所以当x≥0时,h(x)单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,即g′(x)≥0,所以g(x)=ex-12x2所以g(x)≥g(0)=0,即ex≥12x2(2)要证f(x)<xex+1e只需证ex-lnx<ex+1e即ex-ex<lnx+1e令h(x)=lnx+1ex(x>0),则h′(x)=易知h(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(所以lnx+1e再令(x)=ex-ex,则′(x)=e-ex,易知(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则(x)max=(1)=0,所以ex-ex≤0.因为h(x)与(x)不同时为0,所以ex-ex<lnx+1e故原不等式成立.证明不等式的常用方法(1)移项作差构造法证明不等式:待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,利用导数研究其单调性,借助所构造函数的单调性即可得证.(2)隔离审查分析法证明不等式:若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个都便于求导的函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.(3)放缩法证明不等式:导数的综合应用题中,最常见就是ex和lnx与其他代数式结合的难题,对于这类问题,可以先对ex和lnx进行放缩,使问题简化,便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下:①ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;②ex≥ex,当且仅当x=1时取等号;③当x≥0时,ex≥1+x+12x2④当x≥0时,ex≥e2x2⑤x-1x⑥当x≥1时,2(x-即时训练3-1:(2021·河南周口月考)已知函数f(x)=alnx-x2(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,证明:f(x)>1ex-1x(1)解:由题易知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax-2x=a当a>0时,令f′(x)>0,得0<x<a2令f′(x)<0,得x>a2故f(x)在(0,a2)上单调递增,在(a综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,a2)上单调递增,在(a(2)证明:当a=1时,f(x)=lnx-x2,不等式f(x)>1ex-1即lnx+1x>1令g(x)=lnx+1x,则g′(x)=1x-1x令g′(x)=0,得x=1.所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)≥g(1)=1.又当x>0时,1ex<1,所以lnx+1x角度2与零点有关的问题[例4](2020·宁夏固原一中月考)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调递减区间;(2)若关于x的方程f(x)=2ax2-2(a+1)x恰有两个不等实根,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,函数f(x)=x2-3x+lnx,则f′(x)=2x2-令f′(x)=0,得x1=12,x2当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:(0,121(121(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的单调递减区间为(12(2)依题意ax2-(2a+1)x+lnx=2ax2-2(a+1)x,即ax2-x-lnx=0,则a=lnx令h(x)=lnx则h′(x)=(1x+1)当0<x<1时,h′(x)>0,故h(x)单调递增,且h(1e)=-1+1当x>1时,h′(x)<0,故h(x)单调递减,且lnx所以函数h(x)在x=1处取得最大值h(x)max=h(1)=1.故要使y=lnx所以实数a的取值范围是(0,1).确定函数零点个数及根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数图象与x轴的交点个数,或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.即时训练4-1:已知函数f(x)=x33+x2解析:原问题等价于函数h(x)=x33+由h′(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,当x∈(-∞,-3)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(-3,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.且h(-3)=272,h(2)=-22数形结合可得a的取值范围是(-223,27答案:(-223,27[例1]已知函数f(x)=13x+1解析:由题可知方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)的图象与直线y=ax有2个交点,因为a表示直线y=ax的斜率,当x>1时,f′(x)=1x,设切点坐标为(x0,y0),k=1x0,所以切线方程为y-y0=1x0(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=1e,所以直线l1的斜率为1e,直线l2与y=13x+1平行,所以直线l2答案:[13,[例2](2021·天津河西区高二期末)已知函数f(x)=ex-ln(x+2).(1)求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:f(x)>0.(1)解:f′(x)=ex-1x当x=0时,k=f′(0)=12又f(0)=1-ln2,所以切线方程为y-(1-ln2)=12即y=12(2)证明:f′(x)=ex-1x+2在区间(-2,+∞)上单调递增,又f′(-1)<0,f′(0)>0,故f′(x)=0在区间(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0),当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当x=x由f′(x0)=0,得ex0=1x0+2故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0[例3](2020·江苏南通高三期中)如图所示的某种容器的体积为18πdm32,圆柱的侧面造价为a元/dm2,圆柱底面的造价为2a3元/dm(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域;(2)当容器造价最低时,圆柱的底面半径r为多少?解:(1)因为半球的半径与圆柱底面半径都为r,所以半球体积为V1=23πr3,圆柱的体积为V2=πr21+V2=18π,所以V2=πr2h=18π-23πr3,所以h=18r因为V1=23πr3所以h=18r2-(2)半球的表面积S1=2πr2,圆柱的侧面积S2=2πrh,圆柱底面积为S3=πr2.容器总造价为y=3aS1+aS2+2a3S3=6πr2a+2πrha+2a3πr2=203πr2=4πa3(4r2+令f(r)=4r2+27r,则f′(r)=8r-27r2令f′(r)=0,得r=32当0<r<32时,f′(r)<0,f(r)在(0,32)上为单调减函数;当32因此,当且仅当r=32所以总造价最低时,圆柱的底面半径为321.已知函数f(x)=