新教材人教a版选择性必修第三册6.2.2排列数学案

(一)教材梳理填空从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．[微思考](1)“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么？提示：包括两个方面：①从n个不同元素中取出m个元素；②按照一定顺序排列.(2)排列数公式中对m，n有何条件的要求？提示：n，m∈N*，m≤n.把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，此时m＝n，即有Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×…×3×2×1，叫做n的阶乘，用n！表示．(1)乘积形式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里n，m∈N*且m≤n)(2)阶乘形式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).(n，m∈N*，且m≤n)(3)性质：Aeq\o\al(n,n)＝n！，规定Aeq\o\al(0,n)＝1,0！＝1.[微思考]排列与排列数有何区别？提示：“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Aeq\o\al(m,n)只表示排列数，而不表示具体的排列.(二)基本知能小试×90×91×…×100可表示为()eq\o\al(10,100) B．Aeq\o\al(11,100)eq\o\al(12,100) D．Aeq\o\al(13,100)解析：选CAeq\o\al(12,100)＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.eq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________.解析：Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12；Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6.答案：126eq\o\al(2,n－1)－n＝7的解为________．解析：由Aeq\o\al(2,n－1)－n＝7，得(n－1)(n－2)－n＝7，整理，得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)．答案：n＝5题型一排列数的计算问题[学透用活]排列数的两个公式的特点(1)第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘．(2)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n－m)的阶乘．公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立．[典例1](1)已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为()eq\o\al(8,27－a) B．Aeq\o\al(27－a,34－a)eq\o\al(7,34－a) D．Aeq\o\al(8,34－a)(2)eq\f(A\o\al(2,7)－A\o\al(2,6),A\o\al(1,4))的值为()A.3 B．30C.24 D．12[解析](1)由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为Aeq\o\al(8,34－a).(2)原式＝eq\f(7×6－6×5,4)＝eq\f(12,4)＝3.[答案](1)D(2)A[方法技巧]排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[对点练清]×10×11×…×20可表示为()A.Aeq\o\al(10,20) B．Aeq\o\al(11,20)eq\o\al(12,20) D．Aeq\o\al(13,20)解析：选C因为Aeq\o\al(12,20)＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.2.计算：(1)eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))；(2)eq\f(4A\o\al(4,8)＋2A\o\al(5,8),A\o\al(8,8)－A\o\al(5,9)).解：(1)因为Aeq\o\al(6,7)＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(5,6)＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2，所以eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝7×6－6＝36.(2)原式＝eq\f(4A\o\al(4,8)＋2×4A\o\al(4,8),4×3×2A\o\al(4,8)－9A\o\al(4,8))＝eq\f(4＋8,24－9)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).题型二与排列数有关的方程、不等式及证明[学透用活][典例2](1)计算：①若Aeq\o\al(2,x)＝30，则x＝________.②若3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，则x＝________.(2)解不等式Aeq\o\al(x,9)>6Aeq\o\al(x－2,9)，其中x≥3，x∈N*.(3)求证：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).[解](1)①因为Aeq\o\al(2,x)＝x(x－1)＝30，所以x2－x－30＝0，解得x＝6或x＝－5，由Aeq\o\al(2,x)的意义知x∈N*且x≥2，所以x＝6.②由3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，得eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,10－x！)，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.答案：①6②6(2)由原不等式得eq\f(9！,9－x！)>eq\f(6×9！,9－x＋2！)，即(11－x)·(10－x)>6，整理得x2－21x＋104>0，解得x<8或x>13.又3≤x≤9，x∈N*，所以x＝3,4,5,6,7.故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．(3)证明：∵Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n＋1！,n＋1－m！)－eq\f(n！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,n－m！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,n＋1－m！)＝mAeq\o\al(m－1,n).∴Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).[方法技巧]1.排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点是：从n起连续写出m个自然数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n，m∈N*”的运用．应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时要灵活地运用如下变式：①n！＝n(n－1)！；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③n·n！＝(n＋1)！－n！；④eq\f(n－1,n！)＝eq\f(1,n－1！)－eq\f(1,n！).[提醒]在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意Aeq\o\al(m,n)中m∈N*，n∈N*且m≤n这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．[对点练清]eq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)的解为________．解析：由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3))得x≥3且x∈N*，所以Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)可化为(2x＋1)(2x)(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，化简得4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23,4)(舍去)，所以原方程的解为x＝3．答案：x＝3eq\o\al(2,n＋1)与Aeq\o\al(3,n)的大小．解：由题意知n≥3，所以Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(3,n)＝(n＋1)n－n(n－1)(n－2)＝－n(n2－4n＋1)．当n＝3时，Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(3,n)＝6>0，得Aeq\o\al(2,n＋1)>Aeq\o\al(3,n)；当n≥4时，Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(3,n)<0，得Aeq\o\al(2,n＋1)<Aeq\o\al(3,n).题型三利用排列与排列数解决简单的计数问题[学透用活]利用排列与排列数解排列应用题的基本思想[典例3]3名男生，4名女生，按照下列不同的要求站队，求不同的站队方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能站在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙只能站两端；(3)全体站成一排，其中甲不能站两端；(4)全体站成一排，其中甲、乙不能相邻；(5)全体站成一排，其中甲、乙必须相邻．[解](1)先排甲，有Aeq\o\al(1,3)种不同的站法，再排其余的6人，有Aeq\o\al(6,6)种不同的站法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160种不同的站法．(2)先排甲、乙，有Aeq\o\al(2,2)种不同的站法，再排其余的5人，有Aeq\o\al(5,5)种不同的站法．故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240种不同的站法．(3)先排甲，有Aeq\o\al(1,5)种不同的站法，再排其余的6人，有Aeq\o\al(6,6)种不同的站法．故共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(6,6)＝3600种不同的站法．(4)共7名同学，要使甲、乙不相邻，可分为两步：第一步，可先排其余5名同学，有Aeq\o\al(5,5)种不同的站法，第二步，然后甲、乙同学插空，有Aeq\o\al(2,6)种站法，故共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600种不同的站法．(5)直接法：甲、乙捆绑在一起看成一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种站法，然后和剩余的5名同学再排，有Aeq\o\al(6,6)种，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440种不同的站法．间接法：3名男生，4名女生总的站法为Aeq\o\al(7,7)种，由(4)可知甲、乙不能相邻的有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)种，故甲、乙必须相邻有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝1440种不同的站法．[方法技巧]解简单排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件．(3)对于相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．[提醒]避免排列的重复和遗漏．[对点练清]1.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有()A.144种 B．90种C.260种 D．120种解析：选A可将3名女生优先排好，有Aeq\o\al(3,3)种排法，让3个男生去插空，有Aeq\o\al(3,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144种.×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？解：法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有Aeq\o\al(4,5)种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有Aeq\o\al(3,5)种方法，此时有2Aeq\o\al(3,5)种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有Aeq\o\al(4,5)＋2Aeq\o\al(3,5)＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有Aeq\o\al(2,5)种方法；其余两棒从剩余4人中选，有Aeq\o\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,4)＝240种.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通、乙两位同学解“不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集为______”的过程如下：甲同学：由排列数公式得eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化简得x2－19x＋84<0.解得7<x<12.因为x∈N*，所以x＝8,9,10,11.答案：{8,9,10,11}乙同学：由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)得eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12.①又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤8，,0<x－2≤8，))所以2<x≤8.②由①②及x∈N*得x＝8.答案：{8}试分析甲、乙两位同学的解题过程是否正确？原因何在？提示：甲同学错误，乙同学正确．甲同学错误的原因在于没有正确理解排列数Aeq\o\al(m,n)隐含条件m≤n，从而忽视了0<x－2≤8且x≤8，导致失误．解决此类题首先要认真审题，明确题设条件，特别是