2021年黑龙江试验中学高考数学四模试卷文科

2021年黑龙江省实验中学高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.(5分)设全集U=H,集合A={%I%>3},B={%I%<4}2)UB1.{%I%<3}{%I%W3}{%I%<4}{%I%W4}2.B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.第一象限3.=eI%2.B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.第一象限3.=eI%+1I-%2-2%-2的图象可能是(D.B.（5分）已知抛物线C1：y2=-4%的焦点与椭圆C2：（a>0）的一个焦点重合2的离心率为（ ）a4d-4（5分）已知函数f（%）=a%2+bln%的图象在点（1,f（1））的切线方程为y=3%-2,则a+b=( )A.2 B.0C.1D.-2（5分）已知复数z满足iz=z+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）乙乙2467934（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示.以下结论正确的是（甲8865542A.乙成绩的极差比甲成绩的极差小第1页（共18页）B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C.乙成绩的方差比甲成绩的方差小D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小TOC\o"1-5"\h\z-I P（5分）已知二口后［九十8）《，若9是第二象限角，则宜1不丁=（ ）O £-jA.2V2 B.2 C. D.笆2（5分）某几何体的三视图（单位：c机）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是JT JTA.n+4 B.一十4 C.n+2 D.一十22 2（5分）“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度.在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子.而星期的概念起源于巴比伦，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，则该月3日可能是星期（ ）A.一或三. B.二或三 C.二或五 D.四或六（5分）将函数y=sin（2%+器）的图象向右平吟个单位长度得到函数y=f（x）,6 6下列说法正确的是（ ）f（x）是奇函数f（x）的周期是三2f（x）的图象关于直线x=-会对称f（x）的图象关于点（-2二0）对称（5分）已知函数f（x）=-3x3-2x，若f（m-3）+f（-2m）,则实数m的取值范围为第2页（共18页）（ ）A.（-8,3）B.（3,+8） C.（-8,-3） D.（-3,+8）（5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的表面积为n,P是空间中任意一点：①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P±CB1；②若M是棱C1D1中点，则直线AM与CC1是相交直线；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D-BPC1体积为定值；④E为AD中点，过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为等.以上命题为真命题的个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）七戈+y式2（5分）若％,y满足约束条件7<2/2,则z=%-y的最大值为.了十2）。（5分）在^ABC中，/A=90°,AB=2,则AI-AB=.2 2（5分）已知双曲线C：刍■-%=1（a>0,b>0）的右顶点为A,b为半径作圆A,ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60°.（5分）在锐角△ABC中，内角A,B所对的边分别为a,b,b=2,则々丁=；COSD边长a的取值范围是 .三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22,23题为选考题，根据要求作答）（一）必考题：每题12分，共60分（12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，满足an+1=2an（neN*）,且S3=2a3-1,（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）记bn=log2（an-an+1）,求数列U｛bn｝的前n项和为Tn.（12分）2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表.月收入(单位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65) [65,75]第3页(共18页)频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 123534（1）根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列联表；月收入高于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计赞成不赞成合计（2）若采用分层抽样从月收入在［25,35）和［65,75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，求获得奖励的3人中至少有1人收入在［65,75）的概率.（参考公式"%+b）窗）含：（b+d），其中n=a+b+>d）P（K三k） 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828（12分）已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线1=-4交于点M，且向量反而垂直.（1）求点C的轨迹方程E；（2）已知点P（1,2）,F（1,0）,过点F的直线l交轨迹E于A,B（A位于第一象限）两点△PBF=4%PAF，求直线l的方程.（12分）如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC//B1c1,BC=2B1c］,A1C=/ACC1.（1）求证：A1B］〃平面ABC；（2）求多面体ABC-A1B1C1的体积丫.Bp(12分)已知f(x)=Inx-mx2-(2m-1)x(m&),g(x)=——x2-1.第4页（共18页）

(I)讨论f(x)单调性；(II)当m>0时，若对于任意x1>0,总存在x2c［-2,-1］,使得f(x1)Wg(x2),求m的取值范围.(二)选考题：共10分.请在22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］22.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为］(9为参数)，以F面7T原点O为极点，直线l的极坐标方程为p8s(6 二；2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M的极坐标为12,等)，直线l与曲线C交于A,B两点，求叫事n£|北|［选修4-5：不等式选讲］23.已知正数a，b，c满足a+b+c=1.(1)求证：，包3十匕3十《3三a2+b2+c2；第5页(共18页)2021年黑龙江省实验中学高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（5分）设全集U=H,集合A={%I%>3},B={%I%<4}UA）UB=（ ）A.{%I%<3} B.{%I%W3} C.{%I%<4} D.{%I%W4}【解答】解：•・•全集U=H,集合A={%I%>3},ACuA={%I%W3},••・（CuA）UB={%I%<3}.故选：C（5分）已知复数z满足iz=z+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解答】解：：iz=z+2i,Aiz-z=2i,Azi-lCi-DCi-nl）4i,则复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.3.（5分）函数f（%） =eI%+1|-%2-2%-2的图象可能是（ ）【解答】解：f(%)=ek+^XT.%-2=eI%+1|-(%+3)2-1,则函数f（%）关于%=-3对称，排除A,C,f(0)=e-2>0,排除D,第6页（共18页）

（5分）已知抛物线C1：y2=-4%的焦点与椭圆C2:七■七-=1（a>0）的一个焦点重a合2的离心率为（A-4【解答】解：抛物线C1：y』-3%的焦点（-1,0）,2 8抛物线C3：y』-4%的焦点与椭圆C3：丹■+"q-=1（a>2）的一个焦点重合，可得a2-3=5,解得a=2,所以椭圆的离心率为：e=£=g.a8故选：B.（5分）已知函数f（%）=a%2+bln%的图象在点（1,f（1））的切线方程为y=3%-2,则a+b=（ ）A.2 B.0 C.1 D.-2【解答】解：函数f（%）=a%2+bln%的导数为f（%）=2a%+—,x则切线的斜率为5a+b=3,由切点为（1,可得a=8,所以a+b=2,（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示.以下结论正确的是（8655484679A.乙成绩的极差比甲成绩的极差小B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C.乙成绩的方差比甲成绩的方差小D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小【解答】解：对于选项A:由茎叶图中的数据，可知甲的极差为92-78=14,所以乙成绩的极差比甲成绩的极差大，第7页（共18页）

对于选项以由茎叶图中的数据，可知甲成绩的众数为85分，所以甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，对于选项。：根据茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，所以甲成绩川+84川+84招5州5+86招A叼对于选项D:由平均数的计算公式，可得甲成绩的平均数为乙成绩的平均数为72+84+86+87+89+93+94，所以甲成绩的平均数比乙成绩的平均数乙成绩的平均数为72+84+86+87+89+93+94，所以甲成绩的平均数比乙成绩的平均数【解答】解：由【解答】解：由ES[兀*9)],得-cos8=£^,a Jd小，故选：D.1 g（5分）已知二口5（兀+0）专，若9是第二象限角，则也吓=（ ）B.'2C.-flB.'2又9是第二象限角，・%山8=口一心口,日=上善，1_>,•tan71+cos6IK,•tan71+cos6IK8.8.（5分）某几何体的三视图（单位：c加）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是( )A.n+4B.JTC.( )A.n+4B.JTC.n+2JTD.—+2【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱柱，第8页（共18页）半圆柱底面的半径为1,半圆柱和三棱柱的高均为2,三棱柱的底面是等腰直角三角形，半圆柱的体积为：6n,三棱柱的体积为：/x&X2X2=3,故组合体的体积为：4+n故选：A.（5分）“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度.在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子.而星期的概念起源于巴比伦，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，则该月3日可能是星期（ ）A.一或三. B.二或三 C.二或五 D.四或六【解答】解：若这个月为31天，则该月1日为星期天，此时3日为星期二；若这个月为29天，则该月8日为星期一，此时3日为星期三.故选：B.（5分）将函数y=sin（2%+器）的图象向右平衅个单位长度得到函数y=f（x）,下列说法正确的是（ ）f（x）是奇函数f（x）的周期碎-2f（x）的图象关于直线X=-专对称f（x）的图象关于点（-?，0）对称【解答】解：将函数y=sin（2x+耳匚）的图象向右平移;二，得到函数y=f（x）=sin（2x—2兀+且L）=cos2x的图象，& 6故f（x）是偶函数，最小正周期为号■，故A；令x=-0,求得f（x）=gt故C错误；令x=--，，求得f（x）=0^-，7）对称，第9页（共18页）(5分)已知函数f(x) =-3x3-2x，若f(m-3) +f(-2m),则实数m的取值范围为( )A.(-8,3) B.(3,+8) C.(-8,-3)D.(-3,+8)【解答】解：易知f(x)是R上的奇函数，且f(x)在R上递减，由f(m-3)+f(-2m)<6,得f(m-3)<-f(-2m)=f(4m),故m-3>2m，解得：m<-5,故选：C(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的表面积为n,P是空间中任意一点:①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P±CB1；②若M是棱CD中点，则直线AM与CC1是相交直线；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D-BPC1体积为定值；④E为AD中点，过点B］，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为号.lZ_i以上命题为真命题的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：对于①：因为正方体ABCD-A1B1C5D1内切球的表面积为n,设内切球的半径为r，则4nr4=n，解得rg,所以正方体ABCD-A3B1C1D6的棱长为2r=1,因为CB2±BQ,CB1±AB,且BC6nAB=B,所以CB1，平面ABC1D5，因为C1Pu平面ABC1D6,所以C1P±CB］，故①正确；对于②：第10页(共18页)由图可知，直线AM与CC2是异面直线，故②错误;对于③：由图可知：因为CD〃平面5PC1,三棱锥D-BPC1体积等于三棱锥C-BPC3的体积，由A可知，CB1，平面BPC1,-J?所以C点到平面BPC4的距离为恒，因为动点P到直线BC5的距离等于1,所以△BPC1的面积等于畀,回*8=9，所以.即“枭"*暮=\■_）匕aU故棱锥D-BPC8的体积为定值，故③正确；对于④：取A1D1中点为M,BC中点为N6M,MD,B1N,因为B1M//BE,B5N//A1E,所以平面B1MDN〃平面A8BE,所以过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面为面B4MDN,由图可知面B1MDN是菱形，其中对角线长为B1D=3,MN=五,第11页（共18页）

所以s%加h=£x•巧x•巧=母，故④正确.所以真命题有7个，故选：B.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.（13.（5分）若%，y满足约束条件¥<2意十2,则

了十z=%-y的最大值为.联立【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立y+2=0: 「，解得A（2,3直切=2化z=%-y为y=%-z，由图可知，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5.故答案为：4.14.（5分）在^ABC中，/A=90°,AB=2,则研・研=2.【解答】解：在△ABC中，/A=90°,M是BC中点，蝴•郎=|搦I|AM|cosZBAM=-11AB|3=2.215.（215.（5分）已知双曲线C：七a三=1（a>0,b>0）的右顶点为A,b为半径作圆A,b圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60°_多三【解答】解：双曲线C：弓邑=\（a>8,0）,ab以A为圆心，b为半径做圆A、N两点.第12页（共18页）若/MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=gb，可得：当Ll/U，即曳*，可得离心率为:6=尊乙十a2c2 3故答案为：等■.(5分)在锐角△ABC中，内角A,B所对的边分别为a,b,b=2,则一^-=；COSD边长a的取值范围是一盘;受a；氐_.【解答】解：•「A=2B，.二sinA=sin2B=7sinBcosB,由正弦定理知，一三r^-,sinAsilit：-/.a=2bcosB，即---=2b=3.cosBVA+B+C=n,・•・C=n-3B,V锐角△ABC,0<A=5B<—2. .rr.丁0<B<V ，解得BE(5,m),“ 6 40<C=7T-3B<^；.a=2bcosB=4cosBE(512,21S).故答案为：4；(2•:02V3).三、解答题(共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22,23题为选考题，根据要求作答)(一)必考题：每题12分，共60分(12分)已知数列｛an｝的前n项和为Sn，满足an+1=2an(nEN*),且S3=2a3-1,(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)记bn=log2(an-an+1),求数列U｛bn｝的前n项和为Tn.【解答】解：(1)由an+1=2an(nEN*),可得数列｛an｝是公比为6的等比数列，由S3=2a5-1,可得a1+8a1+4a2=8a1-6,第13页(共18页)

解得a1=1,所以an=6n-1；bn=log2(an-an+6)=log2(2n-8・2n)=2n-8,则数列｛bn｝的前n项和为Tn=门11+；口-2)=n2.(12分)2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表.月收入(单位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 123534(1)根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列联表；月收入高于55百元的人数 月收入低于55百元的人数合计赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样从月收入在[25,35)和[65,75)的被调查人中选取6人进行跟踪调查，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65,75)的概率.(参考公式： 、:"吗?"入$ 7'其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2三k) 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828【解答】解：(1)2X2列联表如下：月收入高于55百元的人数 月收入低于55百元的人数合计赞成 711不赞成 329合计 赞成 711不赞成 329合计 1040183250Q。殷滥葭夫227v所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异.(3)按照分层抽样方法可知，月收入在[25,记为｛a,b,c,月收入在[65,记为｛A,第14页(共18页)

则从6人中任取4人的所有情况为:{A,B,a},B,b},B,c},B,d},a,b},a,c},a,d}、{A, b, c}, b, d}, c, d}, a, b}, a,c},a, d},b,c}、{B, b, d}, c, d}, b, c}, b, d}、{ a, c,d }, c,d},其中至少有一人月收入在［65,75）的情况有16种，所以3人中至少有1人月收入在［65，75）的概率为探积.2Ub（12分）已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线1=-4交于点M,且向量布而垂直.（1）求点C的轨迹方程E；（2）已知点P（1,2）,F（1,0）,过点F的直线l交轨迹E于A,B（A位于第一象限）两点△PBF=4S△PAF，求直线l的方程.【解答】解：（1）设C（x，y）（xW0），y），，丽=（-4,哈，前=G,y）,VOC_L01，————r 9•••。心优=-61+y=0，・••点C的轨迹方程E： y』4x（xW0）（2）VSyBF=2SAPAF，・"BFI=4IAFI设直线l：x=my+1，A（x3，y1），B（x2，y2）VBF=4FA，Ay2=-3y1，.,.-4，得y3-4，得y3-4my-4=2,备解得"士总+y2=4inVA位于第一象限，』中.直线l：3x+3y-4=4（12分）如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACg所在平面互相垂直，且BC//B1C1，BC=2B1C1，A1C=\：34cl.（1）求证：A1B1〃平面ABC；（2）求多面体ABC-A1B1cl的体积丫.第15页（共18页）

【解答】（1）证明：•・•四边形A1ACC1是菱形，，AC//A6C1.又•:ACu平面ABC,A1c2c平面ABC,AA1G〃平面ABC.同理得，B5C1〃平面ABC.VA1C7,B1C1u平面A6B1C1，且A8C1nB1C7=C1,二平面ABC〃平面A1B3C1.又VA1B8u平面A1B1C8,，.A1B1〃平面ABC.（2）解：VAC/A5C1,B1C3/BC,AZA1C1B6=ZACB=60°.VA1C1=AC=2,2B1C7=BC=2,在菱形A1ACC1中，VA5C='..■ACC1,•・/ACC4=60°,S&慝（：=7乂2乂*=2・二区1"w1 uV平面ABC，平面ACC8,取AC的中点为M，连接BM,C1M,，・BM，平面ACC1,C4M，平面ABC.由（1）知，平面ABC〃平面A1B1C6,••点B到平面A1B1C3的距离为C］况=2.又V点B到平面A3ACC1的距离为连接BC6,则：2=f.第16页（共18页）

p(12分)已知f(x)=Inx-mx2-(2m-1)x(mCR),g(x)=——x2-1.(I)讨论f(x)单调性；(II)当m>0时，若对于任意x]>0,总存在x2H-2,-1],使得f(x1)<g(x2),求m的取值范围.【解答】解：(I)函数f(x)的定义域为(0,+8),f,(工)二」21nx-7)(廿1),・•.当mW0时，f'(x)三3,+8)单调递增，当m>0时，令f(x)>06<x<4，令f(x)<7x>,,TOC\o"1-5"\h\z2m 2m・，・函数f(x)在[6, 上单调递增，在(乒，©)；z.m 2m，一、 । … .2.. 1 ，..一一一_(II)当m>0时，£&).寸匕>)}-1门(2110-1,根据题意仇3K 2m 4m,--ln(2m)-5<g(