二重积分及其性质

关于二重积分及其性质第1页，共17页，2023年，2月20日，星期二二重积分及其性质二重积分引入性质定义几何意义线性性区域可拆分性保序性积分中值定理第2页，共17页，2023年，2月20日，星期二设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域D

它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面.顶是由二元非负连续函数表示的曲面z=f(x,y)

这种立体称为D上的曲顶柱体曲顶拄面的体积第3页，共17页，2023年，2月20日，星期二对于平顶柱体，即f(x,y)≡h，这里h是大于0的常数，有体积=底面积×高

但曲顶柱体的高f(x,y)在区域D上是变量，当点(x,y)在区域D上变化时，高f(x,y)不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算.但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路.分析第4页，共17页，2023年，2月20日，星期二将D划分为n个小闭区域：以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，形成许多小曲顶柱体.原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体.曲顶柱体体积的近似等于n个小曲顶柱体的体积之和例题第5页，共17页，2023年，2月20日，星期二步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第6页，共17页，2023年，2月20日，星期二每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体例题第7页，共17页，2023年，2月20日，星期二区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V.为了得到V的精确值，令n个小区域的最大直径λ→0，则小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即例题第8页，共17页，2023年，2月20日，星期二二重积分的定义第9页，共17页，2023年，2月20日，星期二如果当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，则称函数f(x,y)在区域D上可积，此极限值称为函数f(x,y)在区域D上的二重积分.

例题第10页，共17页，2023年，2月20日，星期二注1要从定义来判定一个二重积分是否存在是困难的.为应用方便，我们介绍一个与定积分存在定理类似的结论.定理1

在有界闭区域D上连续的函数必在D上可积.特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在D上可积.因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论.例题第11页，共17页，2023年，2月20日，星期二例题第12页，共17页，2023年，2月20日，星期二二重积分的几何意义第13页，共17页，2023年，2月20日，星期二性质1被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即性质2函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即性质3如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则.二重积分的性质第14页，共17页，2023年，2月20日，星期二推论

性质5设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，为区域D的面积，则例题

性质4如果在区域D上有，则第15页，共17页，2023年，2月20日，星期二性质6（二重积分中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，为区域的面积，则