数学文化模拟试题特征

2022年—2022年全国高考数学文化试题特征统计1.（2022年江苏13）若，则的最大值背景：阿波罗尼斯圆（古希腊阿波罗尼斯）数学名题。知识点：解三角形解答：2.（08年江苏17）BCDAOP某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为BCDAOP（1）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式②设，将表示成的函数关系式（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。背景：费马点（法国费马）数学名题。知识点：函数关系式解答：3.（09年湖北文理10）10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是.1024C背景：三角形数（古希腊毕达哥拉斯）数学家成果。知识点：数列通项公式、求和解答：4.（09年湖北理科15）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。背景：角谷定理（日本角谷静夫）数学名题。知识点：数列通项公式解答：【答案】4532【解析】（1）若为偶数，则为偶,故①当仍为偶数时，故②当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=55.（09年福建理15）.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.背景：斐波拉契数列（意大利《算盘书》）数学家成果。知识点：递推数列，数列求和解答：【答案】：5解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，，，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。6.（10年浙江理19）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖.（I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P（）.背景：杨辉三角（中国《详解九章算法》）数学家成果。知识点：概率、分布列解答：（Ⅰ）解：由题意得的分布列为50%70%90%P 则（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得 则7.（11年湖北文9理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.背景：竹九节（中国《九章算术》）数学史料。知识点：等差数列解答：设该数列的首项为，公差为，依题意，即，解得，则，所以应该填.8.（11年湖北理15）给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=1n=2n=3n=4由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）背景：斐波拉契数列（意大利《算盘书》）数学家成果。知识点：递推数列，排列组合解答：解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为，由图可知，，，，，由此推断，，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.9.（11年北京理8）（8）设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（A）（B）（C）（D）背景：皮克定理（奥地利乔治.皮克）数学名题。知识点：函数值域解答：【解析】如下图，在t=0,0<t<1,t=1时分别对应点为9,11,12，选C。D(t+4,4)C(t,4)D(t+4,4)C(t,4)B(4,0)A(0,0)图2t=2时情况点分布（11点）上面4种情形涵概了的所有可能取值，所以的值域为{9，11，12}，如图所示，故选C10（11年北京理14）曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。其中，所有正确结论的序号是。背景：卡西尼卵形线（法国乔凡尼.卡西尼）数学名题。知识点：曲线轨迹解答：【答案】②③【解析】：①曲线经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么，与条件不符；②曲线关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处关于原点的对称点处也一定符合③三角形的面积=11.（12年湖北理6）设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则A.B.C.D,背景：柯西不等式（法国柯西）数学名题。知识点：比例计算解答：12.（12年湖北理10）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=…..判断，下列近似公式中最精确的一个是背景：开立方术（中国《九章算术》）数学史料。知识点：球体积计算解答：13.（12年湖北理13）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,121,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。背景：回文数数学与文学。知识点：数列求和解答：14.（12年湖北理14）如图，双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为，，两焦点为F1，F2。若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。则（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值__________。背景：黄金双曲线数学名题。知识点：双曲线离心率、比例计算解答：15.（12年湖北理22）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0<r<1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1背景：伯努利不等式（瑞士伯努利）数学名题。知识点：函数最值不等式证明解答：16.（12年江西理6）观察下列各式：…,).76C背景：斐波拉契数列（意大利《算盘书》）数学家成果。知识点：数列通项公式解答：17.（12年福建理7）设函数，则下列结论错误的是（）A．的值域为B.是偶函数C.不是周期函数D．不是单调函数背景：狄利克雷函数（德国狄利克雷）数学家成果。知识点：数列通项公式解答：C18.（12年上海文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是背景：斐波拉契数列（意大利《算盘书》）数学家成果。知识点：数列通项公式解答：19（12年湖北文17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2022是数列{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）背景：三角形数（古希腊毕达哥拉斯）数学家成果。知识点：数列通项公式解答：20.（13年湖北理12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=背景：角谷定理（日本角谷静夫）数学名题。知识点：算法程序框图解答：21.（13年湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角型数为，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)=，正方形数N(n,4)=n2，五边形数N(n,5)=，六边形数N(n,6)=，………可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=背景：多边形数（古希腊毕达哥拉斯）数学家成果。知识点：数列通项公式解答：22.（13年全国Ⅰ理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBAAABCP背景：布洛卡点（法国布罗卡尔）数学名题。知识点：解三角形23（13年湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）背景：天池盆测雨（中国《九章算术》）数学史料。知识点：圆台体积计算24（13年湖北文17）在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为.例如图中△是格点三角形，对应的，，.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的，，第17题图则（用数值作答）.第17题图背景：皮克定理（奥地利乔治.皮克）数学名题。知识点：函数25.（14年湖北理8文10）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.背景：求“困盏”术（中国《算术书》）数学史料。知识点：圆锥体积计算解答：26.（14年湖北理科13）设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.背景：数字黑洞数学与天文学。知识点：算法程序框图解答：27.（14年湖北文17）．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ）；（Ⅱ）.背景：阿波罗尼斯圆（古希腊阿波罗尼斯）数学名题。知识点：曲线轨迹、比例计算解答：28（15年湖北文理2）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石背景：米谷粒分（中国《九章算术》）数学史料。知识点：比例计算解答：29（15年湖北理19文20）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．背景：阳马、鳖臑（中国《九章算术》）数学史料。知识点：几何证明、比例计算解答：30（15年湖北理21文22）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．背景：椭圆规作图（荷兰舒腾）数学家成果。知识点：椭圆