考研数学二(线性代数)模拟试卷20(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）模拟试卷20(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4，β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则()A．β1不能由β3，β4，β5线性表出B．β2不能由β1，β3，β5线性表出C．β3不能由β1，β2，β5线性表出D．β4不能由β1，β2，β3线性表出正确答案：D解析：βi能否由其他向量线性表出，只须将βi视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可．由阶梯形矩阵知，β4不能由β1，β2，β3线性表出．知识模块：线性代数2．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是()A．A的列向量线性无关B．A的列向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的行向量线性相关正确答案：A解析：A的列向量线性无关AX=0唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件．知识模块：线性代数3．设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(I)aX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案：A解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程组．知识模块：线性代数4．已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解是()A．k1α1+k2(α1+α2)+B．k1α1+k2(α1-α2)+C．k1α1+k2(β1一β2)+D．k1α1+k2(β1一β2)+正确答案：B解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解α1与β1一β2是否线性无关未知，而(B)中因α1，α2是基础解系，故α1，α1一α2仍是基础解系，仍是特解．知识模块：线性代数5．设A是m×n矩阵，线性非齐次方程组为AX=b①对应的线性齐次方程组为AX=0②则()A．①有无穷多解→②仅有零解B．①有无穷多解→②有无穷多解C．②仅有零解→①有唯一解D．②有非零解→①有无穷多解正确答案：B解析：(C)，(D)中①均有可能无解．②有无穷多解，记为k1ξ1+…+kn-rξn-r+η，则②有解k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，故(A)不正确，故选(B)．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()A．m=n，且|A|≠0B．AX=0有唯一零解C．A的列向量组α1，α2，…，αn和α1，α2，…，αn，b是等价向量组D．r(A)=n，b可由A的列向量线性表出正确答案：D解析：r(A)=n，b可由A的列向量组线性表出，即为r(A)=r(A|b)=n，AX=b有唯一解．(A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非允分条件(可能无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b由α1，α2，…，αn表出，可能不唯一)．知识模块：线性代数7．设矩阵Am×n的秩，r(A)=r(A|b)=m＜n，则下列说法错误的是()A．AX=0必有无穷多解B．AX=b必无解C．AX=b必有无穷多解D．存在可逆阵P，使Ap=[EmO]正确答案：B解析：因r(A)=r(A|b)=m＜n．AX=b必有解．知识模块：线性代数8．设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是()A．ATX=0只有零解B．ATAX=0必有无穷多解C．对任意的b，ATX=b有唯一解D．对任意的b，AX=b有无穷多解正确答案：C解析：r(A)=4，AT是5×4矩阵，方程组ATX=b，对任意的b．若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能r(AT)=r(A)=4≠r(AT|b)=5，而使方程组无解．其余(A)，(B)，(D)正确，自证．知识模块：线性代数9．设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组BX=0和ABX=0是同解方程组的一个充分条件是()A．r(A)=mB．r(A)=sC．r(B)=sD．r(B)=n正确答案：B解析：显然BX=0的解，必是ABX=0的解，又因r(A)=s，即A的列向量组线性无关，从而若AY=0，则必Y=0(即AY=0有唯一零解)，故ABX=0必有BX=0，即ABX=0的解也是BX=0的解，故选(B)，其余的均可举例说明．知识模块：线性代数10．设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是()A．r(A)=r(A|b)，r(B)任意B．AX=b有解，BY=0有非零解C．|A|≠0，b可由B的列向量线性表出D．|B|≠0，b可由A的列向量线性表出正确答案：A解析：r(A)=r(A|b)，r(B)任意(BY=0总有解，至少有零解，其余均错)．知识模块：线性代数填空题11．已知一2是的特征值，其中b≠0是任意常数，则x=_______．正确答案：一4解析：由|λE—A|=|一2E—A|=0，可求得x=一4．知识模块：线性代数12．设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是______．正确答案：0(n一1重根)，n(单根)解析：λ=0(n一1重特征值)，λ=n(单根)．知识模块：线性代数13．设A是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=______．正确答案：6解析：由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知A有特征值．λ=一1，一2，一3，A+4E有λ=3，2，1，故|A+4E|=6．知识模块：线性代数14．设A是三阶矩阵，|A|=3，且满足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，则A*的特征值是_______．正确答案：解析：|A||A+2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故A有特征值λ1=一2．因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3．故A*有特征值知识模块：线性代数15．设A是n阶实对称阵，λ1，λ2，…，λn是A的n个互不相同的特征值，ξ1是A的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A—λ1ξ1ξ1T的特征值是________．正确答案：0，λ2，λ3，…，λn解析：因A是实对称阵，λ1，λ2，…，λn互不相同，对应的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn相互正交，故Bξi=(A—λ1ξ1ξ1T)ξi=故B有特征值为0，λ2，λ3…，λn．知识模块：线性代数16．设三阶矩阵已知Aα和α线性相关，则a=______．正确答案：一1解析：知识模块：线性代数17．矩阵的非零特征值是______．正确答案：λ=4解析：因得λ=4．或有AX=4X，即得λ=4．知识模块：线性代数18．设A是n阶矩阵，λ是A的r重特征根，A的对应于λ的线性无关的特征向量是k个，则k满足________．正确答案：1≤k≤r涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．已知α=[1，k，1]T是A-1的特征向量，其中，求k及α所对应的特征值．正确答案：由题设A-1α=λα，λ是A-1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A-1可逆，λ≠0，，即对应分量相等，得得2+2k=k(3+k)，k2+k一2=0，得k=1或k=-2．当k=1时，α=[1，1，1]T，μ=4，当k=-2时，α=[1，一2，1]T，μ=1，涉及知识点：线性代数20．设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P-1AP=A，A是对角阵．正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E-A的秩应为1．解得x=2，y=-2，故涉及知识点：线性代数21．已知ξ=[1，1，一1]T是矩阵的一个特征向量．(1)确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；(2)A是否相似于对角阵，说明理由．正确答案：(1)设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=一1，a=-3，b=0．(2)当a=-3，b=0时，由知λ=一1是A的三重特征值，但当λ=一1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵．涉及知识点：线性代数22．设矩阵且|A|=一1，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T，求a，b，c及λ0的值．正确答案：A*α=λ0α，左乘A，得AA*α=|A|α=一α=λ0Aα．即由①，③解得λ0=1，代入①，②得b=一3，a=c．由|A|=一1，a=c，有得a=c=2，故得a=2，b=-3，c=2，λ0=1．涉及知识点：线性代数23．设A是三阶实对称阵，λ1=一1，λ2=λ3=1是A的特征值，对应于λ1的特征向量为ξ1=[0，1，1]T，求A．正确答案：λ2=λ3=1有两个线性无关特征向量ξ2，ξ3，它们都与ξ1正交，故可取ξ2=[1，0，0]T，ξ3=[0，1，一1]T，且取正交矩阵涉及知识点：线性代数24．设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明：A+E的行列式大于1．正确答案：A为n阶正定矩阵，则A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0．因而A+E的特征值分别为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，则|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．涉及知识点：线性代数25．设A是n阶方阵，2，4，…，2n是A的n个特征值，E是n阶单位阵．计算行列式|A一3E|的值．正确答案：若λ为A的特征值，则λ一3为A一3E的特征值．所以A一3E的特征值为一1，1，3，…，2n一3，故|A一3E|=(一1)×1×3×…×(2n一3)=一(2n一3)!!．涉及知识点：线性代数26．设矩阵(1)已知A的一个特征值为3，试求y；(2)求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．正确答案：(1)|A一λE|=(λ一1)(λ+1)[λ2一(2+y)λ+(2y一1)]=0y=2．(2)A为对称矩阵，要使(AP)T(AP)=PTA2P为对角矩阵，即将实对称矩阵A2对角化．由(1)得A的特征值λ1=一1，λ2,3=1，λ4=3，故A2的特征值λ1,2,3=1，λ4=9．且A2的属于特征值λ1,2,3=1的正交单位化的特征向量为A2的属于特征值λ4=9的正交单位化的特征向量为令P=[p1，p2，p3，p4]=涉及知识点：线性代数27．设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．(1)证明：β，Aβ，A2β线性无关；(2)若A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式|A+2E|．正确答案：(1)设k1β+k2Aβ+k3A2β=o，①由题设Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=λ12α1+λ22α2+λ32α3，代入①式整理得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有其系数行列式≠0，必有k1=k2=k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关．(2)由A3β=Aβ有A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且从而有r(A—E)=r(B—E)=r=2．|A+2E|=|B+2E|==6．涉及知识点：线性代数28．设求实对称矩阵B，使A=B2．正确答案：|λE一A|==λ(λ一9)2=0,λ1=0，λ2=λ3=9．涉及知识点：线性代数29．设三阶实对称阵A的特征值为1，2，3，A的属于特征值1，2的特征向量分别是ξ1=[一1，一1，1]T，ξ2=[1，一2，一1]T，求A．正确答案：λ=3对应的特征向量应与ξ1，ξ2正交，设ξ3=[x1，x2，x3]T，则应有解得ξ3=[1，0，1]T涉及知识点：线性代数30．证明：A～B，其中并求可逆阵P，使得P-1AP=B．正确答案：由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．由于λ1=1时，(λ1E-A)X=0，有特征向量ξ1=[1，0，…，0]T；λ2=2时，(λ2E-A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0]T；…λn=n时，(λnE-A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1]T．故有Aξn=nξn，Aξn-1=(n一1)ξn-1，…，Aξ1=ξ1，即A[ξn，ξn-1…，ξ1]=[nξn，(n-1)ξn-1…，ξ1]=[ξn，ξn-1，…，ξ1]故得可逆阵有P-1AP=B．涉及知识点：线性代数31．设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：其中Er是r阶单位阵．正确答案：A2=A，A的特征值的取值为1，0，由A—A2=A(E-A)=0知r(A)+r(E—A)≤n，r(A)+r(E一A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，故r(A)+r(E—A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．对λ=1，(E-A)X=0，因r(E一A)=n一r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr；对λ=0，(0E-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n-r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2…，ξn．故存在可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，使得涉及知识点：线性代数32．设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA，证明：B相似于对角阵．正确答案：A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)=A1，其中λi，i=1，2，…，n是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．又AB=BA，故P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，即A1P-1BP=P-1BPA1．设P-1BP=(cij)n×n，则比较对应元素λicij=λjcij，即(λi一λj)cij=0，λi≠λj(i≠j)．得cij=0，于是涉及知识点：线性代数33．设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P-1AP=A．正确答案：(1)先求A的特征值．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=ααTξ=λξ．①若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；若αTξ≠0，①式两端左乘αT，αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．(2)再求A的对应于λ的特征向量．当λ=0时即解方程a1x1+a2x2+…+anxn=0，得特征向量为(设a1≠0)ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T，ξ2=[a3，0，一a1，…0]T，ξn-1=[an，0，0，…，一a1]T．由观察知ξn=[a1，a2，…，an]T．(3)由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆阵P．涉及知识点：线性代数34．设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．正确答案：(1)设(E+αβT)ξ=λξ．①左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ，若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，λ=1．λ=1时，(E-A)X=一αβTX=[b1，b2，…，bn]X=0．即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn-1=[bn，0，…，0，一b1]T；λ=3时，(3E-A)X=(BE-αβT)X=0，ξn=α=[a1,a2…，an]T．(