新编概率论与数理统计(华东理工大学出版社)习题7答案

华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第二十次作业一．填空题：1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下:1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28ˆ=__x1.257____，用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值标准差的估计值s0.037__。ˆ=___n1二．计算题：1．设总体服从泊松分布P()，(X，X，，X)为样本，分别用矩估计法和X12nˆ极大似然法求参数的估计量。解：矩估计法，因为X~P()，所以总体平均值EX，1X，所以ˆX1而样本平均值XnnX；innii1i1极大似然法，设(X,X，，X)的一组观测值为(x,x，，x)，12n12nxxnnnieen似然函数L()P(Xx),x!ix!ii1i1i1iin取对数,得lnL()n(xlnlnx!),iii11nn令dlnL()n1ˆnx0,解得：xx,diii1i1ˆ故的极大似然估计量为：X。2．设总体服从几何分布P(Xx)p(1p)x1(x1,2,)，(X,X,,X)为X的样本。12n(1)求未知参数的矩法估计；(2)求未知参数的极大似然估计。pp解:11.X(1)由于Gep(),因此E,由矩法原则可知EX,故ˆpp(2)设样本(X,X,,X)的一组观测值为n(x,x,,x),由于总体为离散型,n1212因此似然函数L(p)nP(Xx)pn(1p)nxni1i,iiln(1p),nxni1Lpnp取对数,得ln()lni1i上式两端关于p求导,令dlnL(p)nnxn0,i1idpp1p解上式,得1X10pˆ1。Xp1p(1)x,3．设总体总体的密度函数为f(x)0x1，其中1是其他X0,未知参数,(X,X，，X)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求12n的估计量。解：1,2(1)x1dx总体X的数学期望为EXxf(x)dx1,1设XX为样本均值,则应有：Xin2ni12X1；ˆ解得的矩法估计量为:1X设(x,x，，x)是样本(X,X，，X)的观察值,则似然函数为：12n12n(1)n(xxx),0x1,i1,2,,n,x1iL()nf(x)nn12ni0,其他ii1i1时,L()0,当0x1(i1,2n,n)inlnL()nln(1)lnx,ii1ndlnL()n令lnx0,解得的极大似然估计值：1dii1nnˆˆ1,故的极大似然估计量为：1。nnlnxlnXiii1i1第二十一次作业一．选择题：1．设总体的数学期望为，(X,X,,X)是取自总体的样本，则下列命题X12n中正确的是(A)B.X是的极大似然估计量；1A.X是的无偏估计量；1D.X不是估计量。1C.X是的一致(相合)估计量；12．设(X,X,,X)为总体X~N(,)(已知)的一个样本,X为样本均值,212n则总体方差2的下列估计量中,为无偏估计量的是(C).11n1n(XX)2;n1(XX)2;A.C.B.D.niii1i111n(X)2;n(X)2;nn1iii1i1二．计算证明题：1．设总体~N(,1)，(X,X,X)是的样本，123（1）证明：1X1X1X31244121X1X1X33321232X2X1X5553123都是的无偏估计。（2），，这三个估计中，哪一个估计最有效？1证明：23(1)1111111,EXˆEEEE1X21XXXEXEX442442443111111222312E1X111XEX1EX1EX32,ˆ333333333221312E2X2X12X55EX2EX51EX,ˆ555555313123ˆ,ˆ,ˆ都是的无偏估计.3所以,12(2)由于样本12X,X,,X独立同分布,那么n111DX1DX3ˆ,DDDD1X21XXXDX444161681112223123D1X111XDX1DX1DX1,2ˆ33399933123D2X2X14X525DX4DX1DX252529,3ˆ55253131ˆˆ3Dˆ,故最有效ˆD可知D.1222．设从均值为，方差为20的总体中，分别抽取容量为n和n的两个独立12样本，X和X分布是这两个样本的均值，试证：对于任意常数a、b(ab1)，12YaXbX都是的无偏估计，并确定常数、，使得DY达到最大。ab12证明：EYE(aXbX)aEXbEX(ab),因为1212a,b(ab1),YaXbX都是的无偏估计.12故对于任意常数由于两个样本独立,因此X,X相互独立,那么由定理6.2.1,可知122a2b2,将b1a代入,得2DYE(aXbX)212nn122(1a)2(nn)a22nan2,求其最1211DYa2小值,2nnnn1212(nn)a22nan2(nn)a2nn1120a,1211212nnnn12nn1212nnn,即当an1,bnnn2b1a时,DY最小。2nn1212123．设随机变量服从区间(,1)上的均匀分布,其中为未知参数,XX,X,,XX(1)min{,,,}XX12X.n是来自于的一个样本,X是样本均值,X12n证明:(1)X1和X1n1ˆ1ˆ2都是无偏估计量(n1).2(1)ˆ1ˆ2(2)比较和哪个更有效?证明：21，(1)因为服从区间(,1)上的均匀分布,所以EXEXiX21121121111ˆ1nnEE(X)E(X)2n，2n2222ii1i1所以X1是无偏估计量.ˆ12ˆ再证是无偏估计量,先求X的概率分布,2(1)x0,X的分布函数F(x)P{Xx}x,x1，x11,X的密度函数p(x)F(x)1,x1，其它0,X,X,,XX的分布函数为：(1)与X独立且同分布,故12nF(x)P{Xx}1[1F(x)]n，(1)(1)n(1x)n1,xf(x)F(x)n[1F(x)]p(x)1，n10,其它(1)(1)EXxf(x)dx1nx(1x)n1dx于是,(1)(1)n11n1(1x)(1x)n1dxn(1)1(1x)n1dx，111n1ˆ2，EE(Xn1)n1(1)1n1ˆ2也是无偏估计量；所以X(1)DX1，(2)因为服从区间(,1)上的均匀分布,所以X12DD(X1)DX1DX1，ˆ12n12n1dx(1)2n2n1(1)n(1EX(2)nx2x)n1，n2(1)2nn1)2D(X)E(X2)(EX)2(1)2n1(1)n2(n1(1)(1)(1)n，(n1)2(n2)1n(n2)，ˆ2DD(Xn1)DX(n1)(1)(1)2n1,DD()，比更有效；ˆ2ˆ1ˆˆ1当n8时，(n1)2(n2)12n21(n1)2(n2)12n当1n7时，n,DˆD(ˆ)ˆˆ，比更有效。1212第二十一次作业一、填空题可信度由置信水平1；控制，1．置信区间的而样本容量可用来调整置信区间的精确度。2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：g）如下：506508514505499493503496504506510502497509512496N(,2)，则总体均设袋装糖果的重量近似地服从正态分布值的置信水平为95%的置信区间为[4.582,9.599]。[500.4,507.1]，总体标准差的置信水平为95%的置信区间为二、选择题221．设从总体~N(,2)和总体~N(,2)中分别抽取容量为9，16的独11立样本，以x，y，S2，S2分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差，xy12若已知=，则的95%的置信区间为（C）1222222)1916A.(xyu，xyu129160.9750.975B.(xyuSy2，xyu916S2S2xy)S2x9160.9750.97529S16S2C.(xyt(23)Sw，xyt(23)Sw)，其中Sxy0.9750.9755523w9S216S2D.(xyt(25)Sw，xyt(25)Sw)，其中Sxy0.9750.9755525w2．关于“参数的95%的置信区间为(a,b)”的正确理解的是（A）。A.至少有95%的把握认为(a,b)包含参数真值；B.有95%的把握认为(a,b)包含参数真值；C.有95%的把握认为D.若进行100次抽样，必有95次参数真值参数真值落在区间(a,b)内；落在区间(a,b)内。三、计算题1．设某地旅游者日消费额服从正态分布N(,2)，且标准差12，今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），布,且标准差(12)已知,又由10.95,即0.05,问至少需要调查多少人？解：由于总体为正态分查表可得UU1.96，0.97512误差小于2即U21.96122n138.2976，1nn2故至少要调查139人。2．某厂生产一批长为5mm的药片，已知药片长X~N(,2)，随机抽取16粒x4.87mm,样本标准差s0.32mm，总求体的方差在2水平为0.95下的置信区间药片，测得样本均值置信。解：由样本值得s0.32,n16，0.05，自由度为n115。查表得(15)6.262，(15)27.488。所以，20.02520.975(n1)S2150.3227.48820.0559,20.2453.20.975(15)(n1)S2150.326.26