2022考研数学（一）9月模考试卷附答案解析

2022考研数学（一）9月模考试卷附答案解析

1

1_

函数虹在x=0处为（）

1+一|X|

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.振荡间断点

［参考答案］A

［答案解析］

f（x）在x=0处间断，考虑间断点处的左、右极限.

故x=0是"X）的可去间断点，A正确.

2

/(x)=(f+3x+2)|fr|不可导点的个数为().

A.1

B.2

C.3

D.4

1

［参考答案］B

［答案解析］

/(x)=(x+2Xx+l)|x+l||x||x-l|,由常用结论：/(x)=<p(x)|x-a\,其

中火力在a处连续，则/(x)在a处可导的充要条件是火。)=0.可知显然，

/(X)有x=O,x=l两个不可导点.

KK

2

设A=1:sin(sinx)dx,I2=［cos(sinx)dx，贝U()

A.A<1</2

B/<1<人

Civ1】<I2

D.ZX<AX<1

［参考答案］A

［答案解析］

因为xe［0,g,所以在该区间上sinx单调增加，cosx单调减少，而

兀］

sinx<x,故当xe(0：；)时，有sin(sinx)<sinxzcos(sinx)>cosx,

KKK

22

故A=［sin(sinx)dx<［sinxdx=-cosx|J=1?

»<K

2

I2=cos(sinx)dx>［cosxdx=sinx以=1.

综上可知，IX<1<I29A正确.

2

设/(x,y)=arcsin，TK，则下列选项正确的是()

A/(0.0)存在，4(0,0)存在

B.£(0,0)不存在，4©0)存在

C.8(0,0)不存在，刀电①不存在

D.£(0,0)存在，《(0,0)不存在

［参考答案］B

［答案解析］

~

八、1-/(^.0)/(0.0)「arcsinIx|vIx|丁―

£(0.0)=hm八.'八.、hm-----」二hm-，不存在，

x-»O%x->0%XTO%

^(0,0)=lim=lim3rcsg：=.匕=0,故B正确.

串>'->0pJTOi，JTOi，

'abb、

设一4=bab(。力均不为0),且/则必有().

3baj

A.a=b

B.a=6或。+2b工0

C.a+2b=0-

D.a工6且a+2bH0

［参考答案］C

［答案解

3

由广（0=1，知尸（3=〃-1=3-1=2,故|/|=0.

abb100

又|N|=bab=（a+力）1a-b0=（a+2b\a-i）*=0,得a+2b=0

bba10a-b

或a=6.

又当a=b时，r（/）=lH2,故a+2b=0（由a力均不为零，可知a+2b=0

已经蕴含awb）,故C正确.

6

设向量组线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.

A.“］+”％+%%+”4«4+%

B.^+a：sa:4-«3：«3+a4：a4-ax

C.+a、：a.—a,.GL->+.。斗一a1

D,a1—a］：a?一%：以3-—ci^

［参考答案］B

［答案解析］

考虑到选项中每个向量均为许%/：%的线性组合，

记后=%+生,旦=%+/,@=%+.：丹=%一%,

"loo-r

1100记

则nl（月300）=（4%生4）0］［0=（4%%«>C,

、o。11,

由%%须％线性无关,及|C|=2HO,即C可逆,

故母弁0,笈线性无关.

7

4

已知和生是非齐次线性方程组如：=6的两个不同解，或©是对应齐次线性

方程组劣=0的基础解系，比他为任意常数，则的通解为（）

A.左后+&(4+a)+边

B.竭武似统一乙）+生子

c.左后+蛔/+小）+小产

D.左居+用（/一仍）+“:":

［参考答案］B

［答案解析］

Ax=b的通解为­=0的通解加上.4x=b的一个特解，

根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，

知A（三均=；（44--4^）=0,A（^^-）=：（■吸+.皿）=。,

即如是人=。的解，故排除A,C.

因不能判定％-秘是否与。线性无关，所以不能选D.

事实上，由g（4+秘）是出：=6的解，且。与奋-刍线性无关,

所以。，塌-刍是.4x=0的基础解系，故B正确.

下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是（）

A.F（x）=—

B.F(力=-arctanx+-

0,x<03

D.F(x)=「/⑺山且「f(f)dt=1

J—xJ—®

5

［参考答案］B

［答案解析］

F(x)要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下三个条件：

(3)O<F(x)4L尸(例)=LF(-x)=0；

②尸(x)是单调不减函数；

③尸(x)右连续，即limF(x)=F(a).

只有选项B满足以上三个条件，而A,C中F(x)不满足尸(+00)=1,

D中尸(x)不一定单调不减.

I

设随机变量X*均服从NOD，且X与y相互独立，则()

A.P{-0}=：

B.P{x+y20}=；

C.P{nun{^Jr}>0}=-

4

D.P{max{Xn>0}=-

4

［参考答案］c

［答案解析］

令4={xwo}.4={FwO},贝kg与4相互独立，且

尸(4)=尸(W)=J。<pCx)dx=~,

其中次2为v(o,i)的概率密度，

故P{min{X,Y}>0}=P{X>o,r>0}=?(4.4)=尸(4)尸(4)=1,c正确.

由X.Y相互独立且均月艮从AT(O,1).知X+1-》服从.V(0.2),

故?{x+y>o}=P{jr-r>oj=i,

----------——3

尸{max{X/}>0}=尸UN。=1-尸(4U4)=1-尸(4)尸(过)=-,

4

选项A,B,D错误.

10

6

设袋中有6只红球，4只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共

进行4次，设X表示摸到红球的次数，则百=().

［参考答案］C

［答案解析］

依题设，可知试验为有放回摸球，故每次摸到红球的概率为|,

3312

所以X〜3(4，),故百咿=4x=.故选C.

11

设N=/(x)由方程x=『"sin：("辿确定，则lim-1］=________

•14-190力

[参考答案]

X=「飞不(卫或两边同时对X求导，得1=(_/一1).5/[2(>」%)],

解得y'=csc，UO-x)]+L又由已知,当x=0时，y=l,

4

即"0)=1，故力x=3,

1/(-)-/(0)

于是lim»[/(-)-l]=Hm——=/(0)=3.

4T®冗12—>0D1

n

12

积分「普金=__________.

"X

7

［参考答案］

arctanx.L,111PLdr

rarc…Z?X=一片叫』

_1尸dx

-4+^式l+f)

而『就忘心=峭3心卡)卜㈣也病［

=lim(in.b-In=-In2,故原积分=2+4ln2-

iJ1+/&242

13

,7CX,

sin——m=

2「

［参考答案］

由已知，作出积分区域。，交换积分顺序，如图所示,

I=(办(sin^i>c=—(cos-cosy)dy

2r27i分部积分4

=——fvcos—vdv=--(2+!T).

"2TV

14

方程(1-f)p-中'=0满足y(0)=0»(0)=l的特解为.

8

［参考答案］

已知方程为不显含y的可降阶方程，令/=尸，则

原方程变为Q-i)p'-卒=0,即p'-1P=0(XH±1),为一阶线性微分

1-X

方程，

有好cj小=即「=4:20=0.

VI-x2

由p(0)=y'(0)=1,得G=l,故4=fp(x)改=|产〉=arcsinx+G.

.VI-X2

又由y(0)=0,得G=。，所以)'=arcsinx(-l<x<l).

15

X-lx12

设〃x)=；；1-1

则X3的系数为

3x1

111x

［参考答案］

若按第1行展开,只有-2x乘以其代数余子式会出现/项,

故只要求出这一项即可.

11-110-1

(一2分(一1严33x1=2x33x—31=2x(3x-3Xx+l)=6x3-6x,

11x10x

故Xs的系数为6.

16

设事件ABC满足P(J)=尸(B)=P(Q=-1尸(48)=P(BQ=0:P(JQ=-,

48

则三个事件中至少出现一个的概率为.

9

［参考答案］

由一4BCu且3,知P(ABC)<PQ4B)=0,所以P(ABC)=0,

故所求概率为

产(XuBuO=尸(幺)+尸(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=—I—I---0——0+0=—.

44488

17

求下列极限：

(1)设lim求盟竽

x->0

(2)设f(x)是三次多项式，且有limI"=lim)曳=l(ax0),求

../(x)

lim----------.

X^3ax-3a

［答案解析］

(1)由已知“与吧阜=;.结合极限和无穷小的关系.有

a-12

其中F=a=O,又当X-*0时，ax—1-xlna,所以有

ln[l+"*)]~—xlna+axina,

sinx2

从而△域~!xlna(这里axlna是比x高阶的无穷小)，即有

sinx2

^^」sinxlna,故="加“=Lna

x2x—°x"x-*0x2

(2)由1问=1血’(?=[S*0),可知/(2a)=f(,4a)=0(否则极限为

x-^2ax—2aiex—4q

co).

因而x-2a：x-44均为/3＞的因式，又/(x)是三次多项式,

故可令/(x)=4x-2^Xx-4永x-8)，其中4》为待定常数

①

(4,..Z(x)..A(x—2aXx—4d)(x—B)-.

fflhm八'=lim-----------------------------=2,0z(4a-D5),

x-**3x—4ax-r4ax-4a

矢口2/H4a-6)=L②

联立①②式，解得H=-U,B=3a,

la"

从而/(x)=—y(x-2a\x-4a)(x—3a).

2a

^-(x-2«Xx-4aXx-3a)

故1

lim""—lim■——-

x—3a*—3ax-*3ax—3a

18

io

求平面；+己+三=1和柱面/+/=1的交线上与M万平面距离最短的点.

345

［答案解析］

依题意，平面与柱面的交线在宜方面的上方，

故归纳为求z=5（l-；"）在条件/+/=1下的极值.

利用拉格朗日乘数法，令2=5（1--乡+；1（1+/—1）,贝U

34

Z；=-1+2XX=03

A

L'=--+2Ay=0,

L\=V+-1=0：

解方程组，得（*

根据题设的实际意义，存在最小值，比较zg,|）=QW）哈,

知距离最短的点为专聋）.

19

设曲面S为上半圆锥z=右了被圆柱面x2+丁=2水。＞0）所截出的有限部

分，计算I=JJ（x2y+yz2+z1瓷dS.

s

［答案解析］

11

如图所示，曲面S关于K>Z面时称，■和关于J是奇

函数，故HQydS=ffyz2dS=0.

ss

由z=4x2+y?,得dS=^1+z'^+z^dxdy=及dxdy,

故

2222

Z=[[(xy+yz+zIx)dS=0+0+[[zxdS=&ff式幺+y)dxdy

ssb；

=仅住呵T'rcos8.户..=0.Ecos0d0^r^dr

=4[Icos6(2ay-cos08de="卜，，[二cos‘8d6|

55

『2衿找=2仅，

20

设数列｛4｝满足4=%+«<〃=12…，其中a/0,d*。为常数.

（1）求£小9的收敛域；

4。

（2）求为祭

［答案解析］

12

(1)利用公式求收敛半径[im|^|=lim|%+("+Dd|=1,

an—8a0+nd

故&=1,收敛区间为(-L1).

当x=±1时，£(±1炉q发散(由lim4工0),故收敛域为(-11).

-,00

(2)求£4丁的和函数seo.

佚。

$(/=14/=/(％+皿/=乞/式+3£鹏

«-0找-0AOAO

记0a

=S](x)+S2(x)sS1(x)=Za，=3

Z2-0l—X

»®»»1JY

S?(x)=d£MX"=dx^nx^=dx£(/)'=MZX}'=dx{-——)'=---y

»-0找9MAO1-X[1—X)

故5(力=刍-+-^.令x=L,得f之=2%+2d.

1-X(1-x)22占2”0

21

设/为3阶实对称矩阵，二次型〃冷孙工3)=——在正交变换x=0•下的标准

形为7+24+*,其中。的第1列为(且|N|=-4.

(1)求。的值；

(2)求正交矩阵。

［答案解析］

13

(1)由二次型在正交变换X=0•下的标准形为7+2这+*,

知矩阵A的特征值分别为4=-L4=2,4=a.

又由/1==(-l)x2xa=-4,得a=2.

(2)由正交矩阵。的第1列为

可知特征值4=-1对应的特征向量为名=(LL1)7.

令a=(再用/3)，是4=4=2时应的特征向量，则由q1=再+与+毛=0>

解得生=(LTO)。区