2022届中考数学压轴难题押题附答案解析

2022年中考数学压轴题

1.图①，二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的图象经过点/(-1,0),并且与直线产=1%-2

相交于坐标轴上的8、C两点，动点尸在直线8c下方的二次函数的图象上.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图①，连接尸C,PB,设△产□的面积为S,求S的最大值；

(3)如图②，抛物线上是否存在点。，使得N/8Q=2N/8C?若存在，则求出直线8。

解：⑴对于直线y=]x-2,

令x=0,则y=-2,

令y=0,即京-2=0,解得：x—4,

故点8、C的坐标分别为(4,0)、(0,-2),

抛物线过点4、8两点，则夕=a(x+1)(x-4),

将点C的坐标代入上式并解得：〃=

故抛物线的表达式为y=1r2-|x-2①；

(2)如图2,过点尸作PH〃夕轴交8c于点，,

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1o1

设点尸(x,^r2—2^-2),则点“(x,-2),

1(gx-2—1%2+1%+2)=-X2+4X,

S=S&PH/S&PHC=(XB-xc)=2x4X

：-l<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为4；

(3)①当点。在5c下方时，如图2,

延长8。交y轴于点”，过点C作SCJ_8c交x轴于点K,交BQ于点S,过点S作SK

.Lx轴于点K,

VZABQ^2ZABC,则8c是的角平分线，则aRSB为等腰三角形,

则点C是RS的中点，

设RC=x=SB应改为RC=x=CS.

nr[nr

在△30C中，tan/O8C=潴=/=tan/ROC=浣,

则设RC=x=CS,则8c=2x,则RB=+(2乃2=届=.,

在SARSB=|xSR-BC=|xBR-SK,即1x2x・2x=加•底，解得：KS=奈

4x

/ZC7r44

：.sinZRBS=展=兽=g,则tanNRBH=J

>J5x5J

在RtZ\08“中，0H=0B,tanNRBH=4xg=学,则点”(0,一学),

由点8、”的坐标得，直线8”的表达式为产(x-4)②,

联立①②并解得：x=4(舍去)或|,

当k'!时，产一号故点Q(-1,一管；

②当点。在8c上方时,

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同理可得：点。的坐标为（一斗，—）;

综上，点0的坐标为（石，一普）或（―学，~）-

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形N88为正方形，已知点4（-6,0）,D（-7,3）,

点、B、C在第二象限内.

（1）点8的坐标是（-3,1）；

（2）将正方形/BCD以银秒1个单位的速度沿x轴向右平移/秒，若存在某一时刻/,

使在第一象限内点8、。两点的对应点夕、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求

出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点尸和反比例函数图象上的点0,使得以

尸、。、夕、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的

点尸、。的坐标：若不存在，请说明理由.

解：（1）过点。作。轴于点E,过点8作8F_Lx轴于点尸，如图1所示.

:四边形N8C。为正方形，

:.AD=AB,/BAD=90°,

"：ZEAD+ZADE=90<,,ZEAD+ZBAf=90°,

NADE=ZBAF.

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(ZAED=/.BFA=90°

在△/£(£1和△8ZF中，WZ.ADE=^BAF,

AD=BA

:.AADE注ABAF(AAS),

:.DE=AF,AE=BF.

,点/(-6,0),£>(-7,3),

:.DE=3,/E=l,

二点5的坐标为(-6+3,0+1),即(-3,1).

故答案为：(-3,1).

(2)设反比例函数为y=9，

由题意得：点5,坐标为(-3+/，1),点。'坐标为(-7+Z,3),

•・,点B'和。'在该比例函数图象上，

=-3+t

.,也=3(-7+t)，

解得:f=9,k=6,

...反比例函数解析式为产I

6

(3)假设存在，设点P的坐标为(w,0),点。的坐标为(〃，-).

n

以P、0、夕、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:

①当"D'为对角线时，

•.•四边形"PD'。为平行四边形,

13

^-3=1,解得:m=T

-m—6=2-nn=2

133

:・P,0),Q(二，4)；

2上2

②当夕D,为边时.

;四边形尸。夕D'为平行四边形,

m-n=6-2

6「a1，解得：Im=7

----0=3—1I

{nn=3

：.P(7,0),Q(3,2)；

・・,四边形)QPD1为平行四边形,

n—m=6—2解得：｛;二;'

0--=3-l

n

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：.P(-7,0),。(-3,-2)；

综上可知：存在x轴上的点尸和反比例函数图象上的点0,使得以尸、0、夕、。'四

133

个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、。的坐标为尸(万，0)、Q4)

或尸(7,0)、Q(3,2)或尸(-7,0)、。(-3,-2).

3.如图，在RtZ\Z8C中，ZACB=90Q,以斜边48上的中线CD为直径作与BC交

于点/，与Z8的另一个交点为E,过M作垂足为M

(1)求证：仞V是。。的切线；

(2)若。。的直径为5,sin8=|,求ED的长.

•：OC=OM,

：.NOCM=NOMC,

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在RtZ\43C中，C£＞是斜边上的中线,

:.CD=%B=BD,

；.NDCB=NDBC,

：.NOMC=ZDBC,

：.OM//BD,

'：MN±BD,

：.OM±MN,

河过。，

二MN是。。的切线;

(2)解：连接DM,CE,

：CD是。。的直径,

：.ZCED=90°,ZDMC^90°,

即DM1.BC,CEVAB,

由(1)知：BD=CD=5,

.♦.M为2c的中点，

3

*/sinB=引

・4

・・cos8二5,

在中，BM=BD/cosB=4,

:・BC=2BM=8,

在中，BE=BC・cosB=昔,

327

：.ED=BE-BD=昔-5=g.

4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点出B,。。的半径为/•・

(1)如图1,点。在点4,5之间的优弧上，/MPN=80°,求的度数;

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（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时:要使四边形NP8C为菱形，NZ尸8的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。,求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，•的式子表示）.

图1

,：PA,尸8为的切线，

：.ZPAO^ZPBO=90a,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360a,

：.ZAPB+ZAOB=\SOa,

VZAPB=^OQ,

.•.408=100°,

AZACB=50°；

(2)如图2,当N/P8=60°时，四边形/P8C是菱形,

连接CM,OB,

M

囹2

由(1)可知，NNO8+N4P8=180°,

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VZAPB=60°,

：.ZAOB^\20°,

AZACB=60°=NAPB,

•.•点C运动到PC距离最大，

...尸。经过圆心，

'：PA,尸8为。。的切线，

:.PA=PB,/4PC=NBPC=3Q°,

又,：PC=PC,

:AAPgABPC(SAS),

...N4CP=/8CP=30°,AC=BC,

...N/PC=N4CP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

...四边形/P8C是菱形：

(3):。。的半径为r,

：.OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=900-/NPO=60°,

；.力。的长度=6*箫-^r,

loUD

，阴影部分的周长=%+尸。+砂=Wr+r+*=（V3+1+J）r.

5.如图，口为。。的切线，P8C为。。的割线，NO_LOP于点。，△/OC的外接圆与8c

的另一个交点为£.证明：NBAE=NACB.

【解答】证明：连接。/,OB,OC,BD.

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\UOALAP,ADLOP,

・•・由射影定理可得：P^=PD*PO,AD?=PD・OD.-（5分）

又由切割线定理可得PA2=PB・PC,

:・PB・PC=PD，PO,

:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,

:•△PBDsXCOD,

PDBD、

-（15^）

:・BD*CD=PD*OD=Ab1,

.BDAD

・•布=CD,

又NBDA=NBDP+90Q=ZODC+90°=ZADCf

••.△BDAs^ADC,

:,NBAD=NACD,

：.AB是△4OC的外接圆的切线,

：.ZBAE=ZACB,

6.如图，点4为y轴正半轴上一点,48两点关于x轴对称，过点Z任作直线交抛物线y=|%2

于P，。两点.

(1)求证：ZABP=ZABQ；

(2)若点/的坐标为(0,1),且NP8Q=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数

解析式.

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【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点”的坐标为（（），，），则点B的坐标为（0,-t）.

设直线P。的函数解析式为了=履丑，并设尸，。的坐标分别为（XP,yP）,（XQ,yS）.由

'y=kx+t

y=jx2

27

得Q%，—kx—t=0,

=3tf2

于是久p%Q~2即亡=-JXPXQ.

BCyp+t|%p2+t|%p2一|%p%Q|%p（Xp-XQ）Xp

于是右=~~=2~；-=2~7-2----=2­：-----7=--

HDYQ+C-%QZ+t2XQZ~XpXQ§XQ（XQ-Xp）