2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案用向量法求空间距离

第三课时用向量法求空间的距离——热门考点题型探析一、复习目标：1．能借助空间几何体内的地点关系求空间的距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，领会向量方法在研究几何问题中的作用。3、研究题型，掌握解法。二、重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。研究题型，掌握解法。三、教课方法：讲练联合，探析概括四、教课过程（一）热门考点题型探析z题型1：异面直线间的距离S例1、如图2，正四棱锥SABCD的高SO2，底边长AB2。求异面直线BD和SC之间的距离？C剖析：成立如下图的直角坐标系，则DOyA(2,2,0)B(2,2,0)AxB图222，22，C2,2D(22CS(22,2)(,0),2,0)DB(2,2,0),222，2，S(0,0,2)。，2。令向量n(x,y,1)，且nDB,nCS，(x,y,1)(2,2,0)0nDB0(x,y,1)(2,2,2)0xy0x2则nCS0，0，y2，n(2,2,1)。22，xy22异面直线BD和SC之间的距离为：OCn(2,2,0)(2,2,1)d2211025n(2,2,1)2)22)2125((。题型2：点面距离例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，ＧＥ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。解法一：连接ＢＦ，ＢＧ，ＤOＣSBEF1BEFA1222ＦＯＨ22，又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＡＥＢEF122,CH3AC,BD42342GHGC2CH2222422。SGEF12222211VBEFG1211h211hVGBEF1222，33，3，211h．解法二．Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＥＦ／／ＢＤ，Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，EFAC,又ＧＣ平面ＡＢＣＤ，ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＥＦＧＣ，ＥＦ平面ＧＥＦ，平面ＧＥＦ平面ＧＣＨ，过Ｏ点作OOＨＧ，则OO平面ＧＥＦ，OO为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。OH1AC2知：GH22，由HOO∽HCG得4由解法一OHOO,OO211GHGC11。思想点拔：注意点距，线面距，面面距的转变，利用平面相互垂直作距离也是一种常用的方法。题型6：线面距离例3、已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，AC1对角线B1C10，D是AC的中点。（1）求点B1到1B1直线AC的距离。（2）求直线AB1到平面C1BD的距离。分析：（1）连接BD，B1DAD，由三垂线定理可得：CB1DAC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。B在RtBBD中BB1B1C2BC2102826,BD43．1BDBD2BB222111。（2）因为AC与平面BDC1交于ＡＣ的中点Ｄ，设B1CBC1E，则AB1//DE，所以AB1//平面C1BD，所以AB1到平面BDC1的距离等于Ａ点到平面BDC1的距离，等于Ｃ点到平面BDC1的距离，也就等于三棱锥CBDC1的高。VCBDC1VC1BDC，1hSBDC11SBDCCC1h1213AB1到平33，13所以，直线面BDC1的距离是121313。思想点拔：求空间距离多用转变的思想。例4、如图，已知边长为42的正三角形ABC中，P、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且PA2，设平面过PF且与AE平行。求AE与平面AFC间的距离？E剖析：设AP、AE、EC的单位向量分别为e1、e2Be3，选用{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底。易知e1e2e1e3e2e30，AP2e1,AE26e2,EC22e3,11(AEEC)PAACPA2e16e22e3，PFPAAF=2=2=设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则nAE,nPF，2y0nAE026ye20222x22xe10nPF6ye22e32，0，即2e1(2e1e3)223.2Apn322e12ne3.ne3e1直线AE与平面间的距离d=22（二）、加强稳固训练长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；3）M到平面AB1P的距离。分析：（1）方法一：如图，成立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q4，6，2），∴AM(2,3,4)，PQ(4,2,2)|AM|(2)2324229|PQ|42222224174AMPQ(2)432426故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为58AMPQ174cosAM,PQ|AM||PQ|58方法二：AMAA1A1MAA11A1B11A1D1，PQPCCDDQ22∴AMPQ故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为17458（2）∵QM(2,3,2),QP(4,2,2)，(2)(4)(3)(2)2(2)∴QM在QP上的射影的模QMQP(4)2(2)2(2)2|QP|10562462故M到PQ的距离为|QM|2561725462666（3）设n(x,y,z)是平面AB1P的某一法向量，则nAB1,nAP，∵AB1(4,0,4),AP(4,4,0)∴4x4z04x4y0所以可取n(1,1,1)，因为MA(2,3,4)，那么点M到平面AB1P的距离为d|MAn||21(3)1(4)1|53，故M到平面AB1P的距离为53。|n|333（三）、小结：1．这些角是对点、直线、平面所构成空间图形的地点进行定性剖析和定量计算的重要构成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各样角的观点和平面几何知识（特别是余弦定理）娴熟解题。特别注意:空间各样角的计算都要转变为同一平面上来，这里要特别注意平面角的研究；2．把空间问题转变为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。3．求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意依据定义找出或作出所求的成角或距离，一般状况下，力争明确所求角或距离的地点；②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是找寻两“足”（斜足与垂足），而垂足的找寻往常用到面面垂直的性质定理；③求二面角高考取每年必考，复习时一定高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：依据定义或图形特点作；依据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决方法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角S的平面角应掌握先找后作的原则。别的在解答题中一般不用公式“

cosθ＝

S

”求二面角不然要适合扣分。④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此经常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特别性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；⑤求角与距离的重点是将空间的角与距离灵巧转变为平面上的角与距离，而后将所求量置于一个三角形中，经过解三角形最后求得所需的角与距离。4．注意数学中的转变思想的运用：（1）常用等角定理