2020版广西数学复习考点规范练40直线、平面垂直的判定与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精考点规范练40直线、平面垂直的判定与性质考点规范练B册第27页

一、基础巩固1。若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则（）A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD。垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直答案D解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错;易知D正确。2.设α为平面,a，b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是（)A.若a∥α,b∥α，则a∥b B.若a⊥α，a∥b,则b⊥αC。若a⊥α,a⊥b,则b∥α D.若a∥α,a⊥b，则b⊥α答案B解析如图（1）β∥α，知A错;如图（2)知C错;如图（3),a∥a’，a'⊂α，b⊥a’，知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.3。如图,在四面体D-ABC中，若AB=CB，AD=CD,E是AC的中点，则下列结论正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC。平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED。平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC。同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE。因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.已知l,m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是（)A。l⊂α,m⊂β,且l⊥mB。l⊂α,m⊂β，n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α，n⊂β,m∥n,且l⊥mD。l⊂α,l∥m,且m⊥β答案D解析对于A，l⊂α,m⊂β，且l⊥m,如图（1)，α，β不垂直;对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n,如图（2),α，β不垂直；图（1）图（2)对于C,m⊂α,n⊂β，m∥n，且l⊥m,直线l没有确定,则α，β的关系也不能确定;对于D，l⊂α，l∥m,且m⊥β，则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β。5.在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有（)A.平面ABD⊥平面ADC B。平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC答案C解析∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B，∴AD⊥平面BDC。又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC。故选C.6.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在的平面,则()A.PA=PB>PCB。PA=PB<PCC。PA=PB=PCD。PA≠PB≠PC答案C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM。又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA=PB=PC。7。如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可)

答案DM⊥PC(或BM⊥PC)解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD，∴BD⊥PC。∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8。在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC,AB⊥AC，AB=4，AC=3，AD=1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD,则DE=.

答案13解析过A作AH⊥DE,∵平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE∩平面BCD=DE，∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥BC。又DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE。∵AE=3×45，AD=1,∴9.设α，β是空间两个不同的平面，m,n是平面α及β外的两条不同直线。从“①m⊥n；②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:。(用序号表示）

答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断.若①②③成立，则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确。10。如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点。（1）求证:MN⊥CD；（2)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD。证明(1)连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC。在Rt△PAC中,∵N为PC的中点，∴AN=12PC∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB。∵PB⊂平面PAB,∴BC⊥PB.在Rt△PBC中，∵BN为斜边PC上的中线,∴BN=12PC。∴AN=BN∴△ABN为等腰三角形.又M为AB的中点，∴MN⊥AB。∵AB∥CD,∴MN⊥CD.（2）连接PM，MC，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴AP=BC.又M为AB的中点，∴AM=BM。∵∠PAM=∠CBM=90°，∴△PAM≌△CBM。∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC。由（1)知,MN⊥CD，又PC∩CD=C，∴MN⊥平面PCD.11。如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4，D，E分别是边AB，BC的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°。(1）求四棱锥F—ADEC的体积；(2)求证:平面ADF⊥平面ACF。（1)解∵D，E分别是边AB，BC的中点,∴DE12AC,DE⊥BC，DE=1依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,∵DE⊂平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED，∵∠CEF=60°,∴FM=3,梯形ACED的面积S=12（AC+ED）×EC=12（1+2）×2=四棱锥F—ADEC的体积V=13Sh=13×3×（2)证法一如图,取线段AF,CF的中点N,Q，连接DN，NQ，EQ,则NQ12AC∴NQDE，四边形DEQN是平行四边形，DN∥EQ.∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是等边三角形，EQ⊥FC,又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ，∵FC∩AC=C，∴EQ⊥平面ACF，∴DN⊥平面ACF,又DN⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF。证法二连接BF，∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是边长为2的等边三角形。∵BE=EF，∴∠EBF=12∠CEF=30°∴∠BFC=90°,BF⊥FC。∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF。∵BF⊂平面BCF，∴AC⊥BF，又FC∩AC=C，∴BF⊥平面ACF，又BF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF。12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1图①图②(1)证明：CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1—BCDE的体积为362,求a的值.（1）证明在题图①中,因为AD∥BC,AB=BC=12AD=a，E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥AC,四边形BCDE所以在题图②中,BE⊥A1O，BE⊥OC，BE∥CD,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC。（2）解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1）知,A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1—BCDE的高。由题图①知,A1O=22AB=22a，平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a从而四棱锥A1—BCDE的体积为V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3，由26a3=362二、能力提升13。已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β；③若m,n是两条异面直线,m⊂α，n⊂β，m∥β,n∥α,则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m,n⊂β，n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是()A。1 B。2 C。3 D.4答案C解析①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内,故①错误;②∵m⊥α，m∥n,∴n⊥α.又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确;③过直线m作平面γ交平面β于直线c，∵m，n是两条异面直线，∴设n∩c=O。∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c。∵m⊂α,c⊄α，∴c∥α。∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α，∴α∥β。故③正确；④∵α⊥β,α∩β=m，n⊂β,n⊥m，∴n⊥α。故④正确。故正确命题有3个，故选C。14.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A。直线AB上B.直线BC上C。直线AC上D.△ABC内部答案A解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上。15。如图，在四边形ABCD中,AD∥BC，AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD,则在三棱锥A—BCD中，下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC。平面ABC⊥平面BDC D。平面ADC⊥平面ABC答案D解析由题意知，在四边形ABCD中,CD⊥BD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD。又因为AB⊥AD，且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.16。如图,直线PA垂直于☉O所在的平面,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径，点M为线段PB的中点。下列结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长。其中正确的是()A.①② B.①②③C。① D。②③答案B解析对于①,∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC。∵AB为☉O的直径，∴BC⊥AC。∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点,AB为☉O的直径，∴OM∥PA。∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离。故①②③都正确。17.(2018北京六区一模)如图①，在△ABC中,D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①图②（1）求证：EF∥平面A1BD;（2）求证:平面A1OB⊥平面A1OC；（3）在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG？说明理由。（1）证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF。因为在△ABC中,D，E分别为AB，AC的中点,所以DE∥BC,DE=12BC因为H，F分别为A1B,A1C的中点,所以HF∥BC，HF=12BC所以HF∥DE,HF=DE，所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD.因为EF⊄平面A1BD，HD⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(2)证明在△ABC中，因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC，所以AD=AE.所以A1D=A1E。又O为DE的中点,所以A1O⊥DE。因为平面A1DE⊥平面BCED，且A1O⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE，所以A1O⊥平面BCED.因为CO⊂平面BCED,所以CO⊥A1O.在△OBC中,BC=4，易知OB=OC=22,所以CO⊥BO。因为A1O∩BO=O，所以CO⊥平面A1OB。因为CO⊂平面A1OC,所以平面A1OB⊥平面A1OC.（3)解在线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG。连接GE，GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE。在Rt△A1OC中，由F为A1C的中点,OC⊥GF，得G为OC的中点。在△EOC中，因为OC⊥GE,所以EO=EC，这显然与EO=1，EC=5矛盾.所以在线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG.三、高考预测18。在四棱锥P—ABCD中,AB∥CD，AB=12DC=1,BP=BC=2,PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC的中点（1）求证：BF∥平面PAD；（2)求证：平面ADP⊥平面PDC；(3）求四棱锥P-ABCD的体积.(1）证明取PD的中点E，连接EF，AE.因为F为PC的中点，所以EF为△PDC的中位线,即EF∥DC且EF=12DC又AB∥CD,AB=12CD所以AB∥EF且AB=EF。所以四边形ABFE为平行四边形,所以BF∥AE。又AE⊂平面PAD,BF⊄平面PAD，所以BF∥平面PAD.(2)证明因为BP=BC，F为PC的中点，所以BF⊥PC。又AB⊥平面PBC,AB∥CD，所以CD⊥平