广东省佛山市佛山市一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

佛山一中2020-2021学年上学期高二级期中考试题数学2020年11月本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。第一部分选择题（共60分）单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为()A．0B．－1C．0或1 D．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.eq\r(2)πB．2eq\r(2)πC．2π D．4π3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90°B．60°C．45° D．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A．B．C．D．5．下列命题中，正确的是()A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M(3，2eq\r(3))，N(－1，2eq\r(3))，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为()A.eq\r(5)B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．3eq\r(3)7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．20πB．16πC．32π D．24π直线分别与轴、轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是A．1 B．2 C．3 D．410．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若则B．若则C．若，，则D．若，则11．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为A． B． C． D．12．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（）A．平面B．面C．四棱锥外接球的表面积为D．四棱锥的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“”的否定是______________．14．已知直线l1的方程为，l2的方程为，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为________________．15．若直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是________________．16．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为eq\f(3,2)，且l1⊥l2.(1)求直线l1与l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝eq\f(1,2)CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝eq\r(3).(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P-ABCD的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C的圆心坐标为(a，0)，且圆C与y轴相切．(1)已知a＝1，M(4，4)，点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值；(2)已知a＜0，直线l的斜率为eq\f(4,3)，且与y轴交于点.若直线l与圆C相离，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点．(1)当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；(2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．(本小题满分12分)如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，求二面角的大小的正切值；求点到平面的距离；求直线与平面所成的角的正弦值.(本小题满分12分)已知圆，过点任作圆的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，直线MN是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；求四边形ACBD面积的最大值，并求出对应直线AB、CD的方程.佛山一中2020-2021学年上学期高二级期中考试题数学答案及说明选择题：1.D，2.A，3.C，4.B，5.C，6.B，7.D，8.A，9.BCD，10.ACD，11.ABC，12.BC.二、填空题：13.，；14.y＝－2x－2；15.；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l1：2x＋my＝2，l2：m2x＋2y＝1，且l1⊥l2，则m的值为()A．0B．－1C．0或1 D．0或－1解析：因为l1⊥l2，所以2m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1.答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.eq\r(2)πB．2eq\r(2)πC．2π D．4π解析：设底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r＝h＝eq\f(\r(2),2)l，则eq\f(1,2)(eq\r(2)r)2＝1，r＝1，l＝eq\r(2).所以圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(2)π.答案：A3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为()A．90°B．60°C．45° D．30°解析：当三棱锥D­ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O，则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角．易知△DOB是等腰直角三角形，故∠DBO＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A． B．C．D．【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B．5．下列命题中，正确的是()A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C正确．答案：C6．已知M(3，2eq\r(3))，N(－1，2eq\r(3))，F(1，0)，则点M到直线NF的距离为()A.eq\r(5)B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．3eq\r(3)解析：易知NF的斜率k＝－eq\r(3)，故NF的方程为y＝－eq\r(3)(x－1)，即eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0.所以M到NF的距离为eq\f(|3\r(3)＋2\r(3)－\r(3)|,\r(（\r(3)）2＋12))＝2eq\r(3).答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．20πB．16πC．32π D．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为2eq\r(2)，正四棱柱的对角线为2eq\r(6).而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2eq\r(6).所以R＝eq\r(6).所以S球＝4πR2＝24π.答案：D8．直线分别与轴、轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.故点P到直线的距离的范围为，则.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】：由，解得．又是的充分不必要条件，，，，则．实数的值可以是2，3，4．故选：．10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若则B．若则C．若，，则D．若，则【答案】ACD【解析】若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若，则，又，则，故D对；故选：ACD．11．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为A． B． C． D．【答案】【解析】：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，求得，或，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：．12．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（）A．平面B．面C．四棱锥外接球的表面积为D．四棱锥的体积为6【答案】BC【解析】作图在四棱锥中：由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，中，∥，面，面，所以面，所以选项B正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，，则平面，，四棱锥的体积所以选项D错误.矩形中，易得，中求得：在中即：，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其体积为，所以选项C正确，故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“”的否定是______．【答案】，【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，则该命题的否定是：，故答案为：，．14．已知直线l1的方程为，l2的方程为，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2.答案：y＝－2x－215．若直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是________________．解析：曲线M：y＝1＋eq\r(1－（x－3）2)是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y＝1上方的半圆．要使直线l与曲线M有两个不同交点，则直线l在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l与曲线M相切时，k取得最大值eq\f(3,4)；当直线l过点(2，1)时，k取最小值eq\f(1,2).故k的取值范围是.答案：16．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的体积为____________．解析：如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以三棱锥S­ABC的体积为，即eq\f(r3,3)＝9.所以r＝3.所以答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为eq\f(3,2)，且l1⊥l2.(1)求直线l1与l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．解：(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，..........1分因为l2在x轴上的截距为eq\f(3,2)，所以3－0＋m＝0，m＝－3，即l2：2x－y－3＝0.....3分联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2x－y－3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))所以直线l1与l2的交点坐标为(2，1)．..........5分(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝eq\f(1,2)x..........6分当l3不过原点时，设l3的方程为...........7分又直线l3经过l1与l2的交点，所以，得，l3的方程为2x＋y－5＝0...........8分综上，l3的方程为y＝eq\f(1,2)x或2x＋y－5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝eq\f(1,2)CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝eq\r(3).(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P-ABCD的体积．18.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，..........1分又因为AB⊥AD，AD∩PA＝A，..........3分所以AB⊥平面PAD，..........4分又PD⊂平面PAD，..........5分所以AB⊥PD...........6分(2)解：S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·AD＝eq\f(3\r(3),2)，.......8分又PA⊥平面ABCD，..........9分所以V四棱锥P-ABCD＝eq\f(1,3)×S梯形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C的圆心坐标为(a，0)，且圆C与y轴相切．(1)已知a＝1，M(4，4)，点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值；(2)已知a＜0，直线l的斜率为eq\f(4,3)，且与y轴交于点.若直线l与圆C相离，求a的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1...........2分又|MC|＝eq\r(（4－1）2＋（4－0）2)＝5，..........4分所以|MN|的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l的斜率为eq\f(4,3)，且与y轴相交于点，所以直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3).即4x－3y－2＝0..........7分因为直线l与圆C相离，所以圆心C(a，0)到直线l的距离d＞r.则.........9分又，所以，解得..........11分所以的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点．(1)当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；(2)线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，.........1分因为DE⊂平面B1CD，.........2分AC1⊄平面B1CD，.........3分所以AC1∥平面B1CD..........4分(2)解：当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1........5分证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD..........6分又CD⊥AB，AA1∩AB＝A，.........7分所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，.........8分所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，.........9分故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1......10分因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD＝eq\f(9,5)..........12分(本小题满分12分)如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，求二面角的大小的正切值；求点到平面的距离；求直线与平面所成的角的正弦值.21.解：作QUOTE于点G，连接FG，

QUOTE四边形ABCD是菱形,QUOTE,，

QUOTE为等边三角形,,-----1分

QUOTE平面ABCD，平面ABCD，QUOTE，又QUOTE，QUOTE，QUOTE平面AFG，-----2分QUOTE为二面角的平面角，------3分

QUOTE----------------------------4分

连接AE，设点E到平面AFC的距离为h，

则，----------------------5分即QUOTE，也就是QU