人教b版选择性必修第一册2.3.2圆的一般方程课件

圆的一般方程学习目标1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径.2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题.3.灵活选取恰当的方法求圆的方程.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究1.圆的一般方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以化为

.在这个方程中,如果令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,则这个方程可以表示成

①的形式,其中D,E,F都是常数,形如①式的圆的方程称为圆的一般方程.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0x2+y2+Dx+Ey+F=02.圆的一般方程与圆的标准方程的关系对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的说明:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得

.②(1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示以

为圆心,

为半径的圆.(3)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而

.它不表示任何图形师生互动·合作探究探究点一圆的一般方程的概念[例1](1)(2021·广东期中)若方程x2+y2+mx+2y+5=0表示一个圆,则实数m的取值范围是(

)A.(-4,4)B.(-3,3)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:(2)因为圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2,当m=2时,x2+y2=0,不符合题意,舍去,当m=1时,x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,满足题意,综上所述,实数m的值为1.故选C.(2)(2021·湖北武汉期中)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(

)或或-1针对训练:(1)若方程x2+y2+4x-6y+1-2m=0表示圆,则实数m的取值范围为(

)A.(-6,+∞) B.(6,+∞)C.(-7,+∞) D.(7,+∞)(1)解析:若方程表示圆,则42+(-6)2-4(1-2m)>0,即16+36-4+8m>0,得m>-6.故选A.(2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径.①x2+y2+x+1=0;(2)解:①因为D=1,E=0,F=1,所以D2+E2-4F=1-4=-3<0,所以方程不表示任何图形.②x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);解:②因为D=2a,E=0,F=a2,所以D2+E2-4F=4a2-4a2=0,所以方程表示点(-a,0).(2)下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径.③2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).方法总结判定形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程是否表示圆时,可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要先化为这种形式再求解.探究点二求圆的一般方程[例2]已知二次函数y=x2-4x+3交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,则圆M的方程是(

)2+y2-2x-2y-3=02+y2+2x-2y-3=02+y2-4x-4y+3=02+y2-4x-12y+3=0针对训练:圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过A(1,2),B(3,4),所以D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.因为|x1-x2|=6,所以(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27或D=-8,E=-2,F=7.故所求圆的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.方法总结应用待定系数法求圆的方程:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.探究点三求与圆有关的轨迹问题[例3]已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(

)2+y22-y2=42+y2=4(x≠2-y2=4(x≠±2)解析:设P(x,y),由条件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1.即x2+y2=4,又当P,M,N三点共线时,不能构成三角形,所以x≠±2,即所求轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2).故选C.针对训练:过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则AB中点P的轨迹方程为

.

解析:设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1,则AB中点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=1.答案:(x-4)2+y2=1方法总结求与圆有关的轨迹的方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,把x1,y1用x,y表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程.当堂检测CB2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为(