江苏省连云港市东海县2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

PAGE2019~2020学年第二学期期中考试高二数学试题用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1.已知为虚数单位，复数，则的虚部是（）A. B.5 C. D.-5【答案】D【解析】【分析】根据复数的定义直接得解；【详解】解：因为复数，所以复数的虚部是，故选：D【点睛】本题考查复数的定义，复数的虚部，属于基础题.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后直接利用复数的除法运算化简求值．【详解】解：复数满足，．故选：B．【点睛】本题考查了复数代数形式的混合运算，属于基础题．3.如图，点，在函数的图象上，且，为的导函数，则与的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】结合函数图象及导数的几何意义判断可得；【详解】解：由函数图象可知，函数在处的切线的斜率比处的切线的斜率大，根据导数的几何意义可得，故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，数形结合思想，属于基础题.4.已知复数，为虚数单位，则的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：复数满足（是虚数单位），复数表示，复平面上的点到的距离为1的圆．的几何意义是圆上的点与的距离，所以最小值为：．故选：C．【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．5.若直线是曲线的一条切线，则实数的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先设出切点坐标，，再利用导数的几何意义写出过的切线方程，最后由直线是是曲线的一条切线，求出实数的值．【详解】解：，，设切点为，，则过的切线方程为，整理，得，直线是是曲线的一条切线，，，．故选：．【点睛】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．6.某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（）A.495种 B.288种 C.252种 D.126种【答案】B【解析】【分析】题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有（种）；②选派3名医生，2名护士，则有（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有（种）.故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.7.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，则二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，，显然面的一个法向量可以为，设面的法向量为则，即，令则，，所以设二面角为，则所以故选：C【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.8.函数的定义域为，，对任意，，则不等式的解集为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，求出函数的导数，说明其单调性，再由，可得，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令，因为所以所以在定义域上单调递增，又，所以因为所以，即，故选：A【点睛】本题考查构造函数解决导数问题，利用函数的单调性解不等式，属于中档题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9.下列各式中，等于的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分选项：对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故正确；对于，，故错误；故选：AC．【点睛】本题考查阶乘、排列数公式的计算，注意排列数公式的形式，属于基础题．10.下列关于复数的说法，其中正确的是（）A.复数是实数的充要条件是B.复数是纯虚数的充要条件是C.若，互为共轭复数，则是实数D.若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称【答案】AC【解析】【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．11.已知是定义域为的函数的导函数，如图是函数的图象，则下列关于函数性质说法正确的是（）A.单调递增区间是， B.单调递减区间是，C.是极小值 D.是极小值【答案】BC【解析】【分析】根据函数的图象，得原函数在上是增函数，在区间和上为减函数，因此函数的极大值为，极小值为．由此对照各个选项，即可得到本题的答案．【详解】解：由的图象可得当时，时，故函数在上是增函数，在区间和上为减函数，所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，故正确的有BC；故选：BC【点睛】本题给出函数的导数图象，要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了对函数图象的理解和函数单调性与导数的关系等知识，属于中档题．12.已知函数，则下列判断正确的是（）A.存在，使得 B.函数的递减区间是C.任意，都有 D.对任意两个正实数、，且，若，则【答案】BCD【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到单调性与极值，即可判断ABC，构造函数，利用导数证明．【详解】解：因为，定义域为，，令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，令，则．在上为减函数，则，令，由，得，则，当时显然成立．对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．故选：BCD【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.计算______.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.14.已知函数，，则的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导函数，由，再根据三角函数的性质解三角不等式即可；【详解】解：，所以，令，即，所以，故的单调递增区间为，故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.15.在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______.【答案】(1).36(2).27【解析】【分析】由归纳推理及组合数的运算可得．【详解】解：依题意，，解得．故答案为：；.【点睛】本题考查了归纳推理及组合数的运算，属于中档题．16.若函数只有一个零点，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】首先求出函数的导函数，当时，可得在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点，当时，由导数可得函数的单调性及最小值为，令，利用导数说明的单调性，即可求出参数的值；【详解】解：因为，定义域为，所以当时，恒成立，即在定义域上单调递减，，当时，，，，所以，所以在上存在唯一的零点，满足条件；当时，令，解得即函数在上单调递增，令，解得即函数在上单调递减，则在取值极小值即最小值，，令，，则恒成立，即在定义域上单调递增，且，所以要使函数只有一个零点，则，解得，综上可得或；故答案为：或【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.2名女生、4名男生排成一排，求：（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【答案】（1）480种（2）360种【解析】【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得；【详解】解：（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：第一步将4名男生排成一排，有种排法；第二步排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是.（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有种.根据分步计数原理，不同的排法种数是.答：分别有480和360种不同的排法.【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于中档题.18.已知函数.（1）当时，求在区间上的最小值；（2）若在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1（2）【解析】分析】（1）首先求出函数的导数，求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值；（2）依题意可得，因为在区间上是单调减函数，所以对任意，恒成立，且无连续区间使恒为0，所以，解得即可；【详解】解：（1）当时，，所以，当时，由得，1-0+极小值所以，当时，的最小值为.（2）由已知，因为在区间上是单调减函数，所以对任意，恒成立，且无连续区间使恒为0.而是开口向上的抛物线，所以，只需即可，即，解得.综上，当时，在区间上是单调减函数.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.19.设，求：（1）；（2）.【答案】（1）2（2）18【解析】【分析】记；（1）令，可得，再令，可得，即可得解；（2）对取导数，再令，即可得到，从而得解；【详解】解：记，（1）因为，由题意，所以.（2）因为，所以.【点睛】本题考查赋值法求二项式系数的和的问题，属于中档题.20.已知函数.（1）求函数的极值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，令解得，再对分类讨论即可得解；（2）对分类讨论，结合（1）中的结论，计算可得；【详解】解：（1）因为，所以，由解得.①当时，-0+极小值所以，当时，有极小值；②当时，+0-极大值所以，当时，有极大值；综上，当时，当时，有极小值；当时，当时，有极大值.（2）当时，由（1）知，上单调减函数，而，所以，为上单调减函数，故的最大值；当时，，由（1）知，为上单调减函数，而，所以，为上单调减函数，故的最大值；当时，由（1）知，为上单调减函数，上单调增函数，又满足，故的最大值；当时，由（1）知，为上单调减函数，上单调增函数，又满足，故的最大值；综上，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题.21.如图，在底面边长为、高为的正六棱柱展厅内，长为，宽为的矩形油画挂在厅内正前方中间.（1）求证：平面平面；（2）当游客在上看油画的纵向视角（即）最大时，求与油画平面所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连结，，可证，，即可得到面，从而得证；（2）在矩形中，设，，则，，利用两角差的正切公式表示出，再利用基本不等式求出的最值，过点作交的延长线于点，连结，，则就是与面所成的角，再由勾股定理计算可得；【详解】解：（1）连结，，因在正六棱柱中，底面是正六边形，，又，所以，则，，因是矩形，所以，又，所以，又，面，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）在矩形中，设，，又，，，，，，当时等号成立.所以，故当时，即，最大.过点作交的延长线于点，连结，.在正六棱柱中，面，面，所以面面，面面，，面，所以面，则为在面内射影，故就是与面所成的角.在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，所以.故游客在上看油画的纵向视角最大时，与油画平面所成的角为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角及两角差的正切公式的应用，属于中档题.22.已知函数，求证：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出函数的导数，设，对求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得在有唯一零点，从而得证；（2）结合（1）的单调性利用零点