开方术九章算术

中国数学史主讲人：占晓军萌芽体系形成发展旺盛中西方数学结合（2）西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创建了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已运用了这些工具。（3）商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成60个名称来记60天的日期；周代又把以前用阴阳符号构成的八卦发展为六十四卦，表示64种事物。（4）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——《庄子天下》呵呵，这是我老人家的名言哦墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反对：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变更和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的探讨，对中国古代数学理论的发展是很有意义的《墨攻》数学体系形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到快速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标记是算术已成为一个特地的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要留意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标记中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》《九章算术》中典型的盈亏类问题：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人，物价53钱。

盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。二、代数方面1、方程术：即线性联立方程组的解法。

题目：今有上禾（上等黍米）三秉，中禾二秉，下禾一秉，实(l粮食）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗则解方程组

不过在《九章算术》中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。2、正负术在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时，可能出现减数大于被减数的情形，于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运算法则。

法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。3、开方术

《九章算术》“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。

《九章算术》开方术实际上包含了二次方程的数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且在《九章算术》中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。古代数学发展

魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学理论上的提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽：又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。他简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深邃原理。具体说明白《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明以及勾股三边及其和、差的24个命题。另外，他的个人探讨还包括出入相补原理，并探讨二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，得到二次方程求根公式之一。勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦刘徽（约公元225年—295年）汉族，山东邹平县人，魏晋期间宏大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个特殊宏大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛经》，是中国最珍贵的数学遗产，刘徽思想灵敏，方法灵敏，既提倡推理又主见观．在中国最早明确主见用逻辑推理的方式来论证数学命题．刘徽对《九章算术》中的大多数解法做了具体证明；代数方面，在线性方程组求解问题上创建了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一样；几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术通过对3072边形的计算科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。有《海岛算经》传世。《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初起先单行，探讨的对象全是有关高与距离的测量，所运用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。全部问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不行及的目标的高、深、广、远。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学供应了数学基础。李淳风（602年－670年）唐代杰出的天文学家、数学家，岐州雍人（今陕西省岐山县）。他受诏主持并与国学算学博士梁述、太学助教王真儒等注解的《周髀算经》和《古算十经》颁行为全国教材，是世界上最早的数学教材，对后世东方数学影响巨大深远。中国、日本、朝鲜、越南等国始终沿用到近代。李约瑟博士称其为：“整个中国历史上最宏大的数学著作注解”。《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《缀术》《五曹算经》《五经算术》《缉古算术》《孙子算经》有各类算题64问“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”《张邱建算经》“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”“今有环山道路一周长325里，甲、乙、丙三人环山步行，已知他们每天分别能步行150、120、90里，假如步行不间断，问从同一起点动身，多少天后再相遇于动身点？”祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，河北迁至江南。祖冲之从小接受家传的科学学问。青年时进入华林学省，从事学术活动。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。祖冲之证明圆周率应当在3.1415926和3.1415927之间。成为世界上第一个把圆周率的精确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之还与他的儿子祖暅一起，用奇异的方法解决了球体体积的计算。他们当时接受的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，假如两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发觉的。古代数学旺盛960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前旺盛，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大独创就是在这种经济高涨的状况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，这些都为数学发展创建了良好的条件。从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。宋元数学四大家杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今杭州）人，中国古代数学家和数学教化家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担当过南宋地方行政官员，为政清廉，踪迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和探讨其构成规律的数学家。(1)杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。(2)纵横图：杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所相识，打破其奇异性。这是世界上对幻方最早的系统探讨和记录。(3)垛积术：是继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的探讨。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干二阶等差级数求和公式。沈括、杨辉等所探讨的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等(4)杨辉还是一位杰出的数学教化家。他一生致力于数学教化和数学普及，其著述有很多是为了数学教化和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉特地为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教化思想和方法。李冶(1192～1279)，中国金元时期的数学家，原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城人（今河北省石家庄）。金代曾任河南钧州地方长官。元朝后，长期在封龙山（今河北元氏）隐居讲学。著有《测圆海镜》、《益古演段》、《泛说》、《敬斋古今》、《壁书丛削》。其主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以探讨直角三角形内切圆和旁切圆的性质。《测圆海镜》9种求直角三角形内切圆直径的方法，且给出一批新的求圆径公式。阐明白圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，还总结出一套简明好用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他独创了负号和一套先进的小数记法，接受了从零到九的完整数码。并首先运用记号〇李冶相识到，天元术是从几何中产生。因此，为使人们理解天元术，就需回顾它与几何的关系，给代数以几何说明，于是便产生了《益古演段》

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。（1）“大衍求一术”，领先卡尔·弗里德里希·高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”。“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。（2）创拟了正负开方术，即随意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。（3）秦九韶改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一样；（4）三斜求积术”，海伦公式。朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教化家，毕生从事数学教化。有“中世纪世界最宏大的数学家”之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创建出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。朱世杰的主要贡献是创建了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖提出一般高次方程组解法，才超过朱世杰。除四元术外，《四元玉鉴》中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，此书代表着宋元数学的最高水平，美国科学史家萨顿赞扬它“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一”。在数学的很多领域，宋元数学的成就代表了当时世界数学发展的高度，但宋元数学成就没有得到继承，缘由有：

1.中国数学的局限性。它与社会须要的关系，始终以婢女的身份出现，少有数学自身发展的独立性，另外，中国数学的算法体系压抑了数学发展的内动力—思辨性。

2.筹算的没落。筹算数学曾在解决实际问题过程中得到发展，因此筹算数学所能创建的成就的范围基本上也是数学计算方面的，数学的其它领域它很难顾及，筹算成为绝学是必定趋势明清时期—中国传统数学的衰落与复苏在明清特殊的社会历史条件下，即使依据中国传统科学技术固有的发展模式，其发展速度也大大减慢，更何况与文艺复兴之後欧洲科学技术的加速发展相比，老大腐朽的清朝更是一落千丈。没落的缘由有：严禁民间探讨天文资本主义萌芽受遏制统治政策严酷西学东渐受阻排外心情，天朝上国思想总之，明清时期的科技落后了，其缘由有科技体系内部的缘由，也有社会条件的外部缘由，中国古代的科技体系的突出特点是它极强的好用性，在封建社会中表现为干脆满足封建王朝各方面的须要。由于它的极端好用性，一旦现实不提出干脆的要求，它就没有了发展的动力。希腊人不讲好用，为理论而理论，这就为科学的发绽开拓了无限的空间。希腊人的数学和自然哲学时隔一千多年后照旧能推动欧洲科学的发展，充分显示出理论的力气，而好用性科学眼光不够远大，为自己设定的发展空间是微小的。另一方面，由于中国科技干脆服务于封建社会的须要，封建社会结构本身就为它设定了一个发展的极限，过了这个极限，除非社会结构发生重大变更，这种好用型科技就只有停滞不前。不幸的是中国的封建社会太长，持续了两千多年，中国好用型科技体系事实上在宋元时期就达到了其高峰也就是达到了它的极限，此后在封建社会结构的约束下不再可能有太大的突破与发展。但是，中国数学的传统没有因此而消逝，其丰厚的基础有效地维持着它再发展的朝气，比如珠算的出现。16世纪末，随着西方传教活动在中国绽开，包括数学在内西方科学文化渐渐地传入中国，一些人主动吸取和传播西方数学，另一些人则努力发掘和整理中国古代数学，这些活动客观上为中国数学复苏起到了主动的推动作用。一些重要的工作利玛窦+徐光启《几何原本》前六卷伟烈亚力+李善兰《几何原本》后九卷利玛窦+李之藻《同文算指》梅文鼎《梅氏历算全书》到20世纪初，数学教科书与西方已大致相同，中国数学走上世界化道路。《崇祯历书》：主要是介绍欧洲天文学家第谷的“地心学说”《几何原本》：影响：第一部数学翻译著作数学名词首创徐光启传统数学的探讨外部缘由：1.闭关自守，西方科学的停止输入2.政府高压政策内在缘由：《算经十书》和宋元时期的数学著作的收集整理成果：1.焦循在《加减乘除释》（1798）中，列出加、减、乘、除的几个基本定律，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具体的数，用这些符号和定律来说明古代算法原理2.汪莱著有《衡斋算学》，探讨了二次、三次方程有多少正根以及正根和系数的关系问题中国传统数学的特点追求好用留意算法寓理于算古希腊的学术崇尚“唯理论”，不仅要解决真理“是什么”的问题，还要回答“为什么”的问题。为了证明自己的学问是真理，先设一些人人都同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，成为公理的逻辑推论。欧氏的《原本》正是在这样的背景下产生的。中国实行君王统治制度，理论的核心是帮助君王统治臣民、管理国家。在这样的环境下，中国的古代数学多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、计算税收等国家管理的好用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式是正式的文书，而不是学术性的著作。古希腊的文化时尚，以追求精神上的享受、获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题也赐予证明。在中国的数学文化里，不行能给这样的直观命题留下位置。同样，中国数学强调好用的管理数学，在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开方法，以及杨辉三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。近代数学的春天1840：一个特殊的数字小：英人在沪设立书馆老美传教士到华传教大：洋务运动“师夷长技以制夷”翻译大量近代数学著作，介绍和学习西方科学“五四”：近代数学探讨的春天陈省身数学家，美国国籍。曾获美国国家科学奖(1975)，沃尔夫数学奖(1984)等。1994年当选为中国科学院外籍院士。陈省身是20世纪的宏大几何学家，在微分几何方面的成就尤为突出，被世人称为“微分几何之父”。丘成桐，1949年生,广东汕头人,1969年毕业于香港中文高校数学系,2