2020-2021中考数学圆的综合的综合题试题附答案

ABDABD考数学圆的综合的综合题试题附答案一、圆综合1．已知的周长为26，为一条对角线O内切eq\o\ac(△,)，，，为切点，已的半径为．ABCD的积．【答案20【解析】【分析】首先利用三边及O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出，后利用切线的性质求出的长即可解答【详解】设O分别eq\o\ac(△,)ABD的AD、、于、、；平行四边形的积为；则

=2×

(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3（）平四边形的长为26，，

3(13+BD)连接OA；由题意得：OAE=30°，AG=AE=3同理可证DF=DGBF=BE；﹣﹣3=7，即BD=7，

3（13+7）3．即平行四边形的积为2032．如图，在锐eq\o\ac(△,)中AC是最短边．以AC为径O，BC于，O作OE，交OD于E连接AD、、．（）证ACE=；（）若，BAE=15°，度数；（），

CDF3COE

，求CF的．

VCOEVCDFVCDFSQVCDFVCOEVCDFVCDFSQVCDFCDF3【答案】（）明见解析，2）；）

3【解析】【分析】（）证=，=ECD，而可知=ECD，=DCE（）长交BC于，易证AGC==60°，于OEBC，以AEO=AGC，以==60°；S1S2（）证，于，所以S23VCAEVCOEV

=，圆周角定理可知AECFDC，而可证eq\o\ac(△,)CDF△，用三角形相似的性质即可出答案．【详解】（）OCOE，OEC．BC=，=ECD即ACE；（）长交BC于．AGCeq\o\ac(△,)ABG的外角，AGC+BAG=60°．BCAEO=60°=OE，=AEO．（）O是AC中点，

S1V．SVCAE2S1，=．AC是直径，FDC．=FCDCEA，

CFCA

33=，CFCA=

．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．3．如图，在直角坐标系中，已知点A－，0)，B(06)，在线段上。（）图1，果点是段的点，且M的半径等于，试判断直线OB与M的位置关系，并说明理由；（）图2，M与轴轴都相切，切点分别为，，求出点M的标；

（）图3，M与轴轴，线段都相切，切点分别为E，，，求出点的坐标（直接写出答案）【答案】（）与相切；2）（－

24，）（）（－，）【解析】分析：1）线段的中点为D，连结，根据三角形的中位线求出MD根据直线和圆的位置关系得出即可；（）出过点、B的次数关系式是=

+6设（，﹣），把x，=﹣代入y=

+6得出关于a的方程，求出即可．（）接、MG、MA、、设==MG，据S

△ABC

=

11AOMEBO•+MG=AOBO求=2，此可得答案．22详解：1）线M相．理由如下：设线段的中点为D，图1，连结MD，点M是段的点，所以MD，=4，=，MD点D在M上．又点D在线上，直与M相；（）图2，接ME，，A（，）（6）设线的解析式是y+b，

，解得：k

3，=6即直线的数关系式是yx+6．4M与x轴y轴都相切，点到x轴、y轴距离都等，即ME，M（，a（8＜＜）把xa，﹣a代y

+6，：a=a，：﹣，点M的标为（﹣，7

）．（）图3，接ME、、、、、，M与x轴y轴，线段AB都切AO、BO、，设

MEMF=r，S

=

AOMEBO•+•=AOBO．A（，）（6）AO=8、=6，=

AO

2

2=10，

11r•8+r•6+r•10=×6×8，得r，即=MF，点的坐标为（2，222）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知O的半径为r，圆心到直线l的离是d，r时直线和O相切．4．如图eq\o\ac(△,)ABC内接O，是径O的切线交的长线于点，OFBC交AC于点E交于，连结AF(1)判与O的置关系并说明理；(2)若AC＝，＝，求．【答案】与O相理见解析；（）

【解析】试题分析：1）接，证OCF再证eq\o\ac(△,)，出OAF==90°即可；（）求出、，证eq\o\ac(△,)OAE△AFE，得出比例式

OAAEAF

，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．试题解析：解：1）与O相切．理由如下：连接．图所示．PC是O的切线OC，=90°OFBCB=AOF，OCB=．OB，=OCBAOF=COFeq\o\ac(△,)OAF和OCF中OA，=COF，=，OCF（）

OAF=OCF，AF与O相；（）OAFOCF，OAE=COE，OE，AE=

AC=12，=

2OAF=90°，OAEAFE，

OAAE12，即AF159

，=20，AB，B=

243AB405

．点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．5．如图，O的直径至点，得BC=

AB，点是O上半部分的一个动点（点P不与A、重合），连结OP，．（）的最大度数为；（）当O的径为3时eq\o\ac(△,)的积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（）图2，长PO交O于，结DB当时求证：是的线．【答案】（）；2）有最大值为，理由见解析；（）明见解.【解析】试题分析：1）PCO相时OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（）eq\o\ac(△,)的OC是值，得到当OC边的高为最大值时eq\o\ac(△,)OPC的积最大当POOC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（）据全等角形的性质得到AP=DB，据等腰三角形的性质得C，得到，eq\o\ac(△,)APBCPO，根据全等三角的性质得，据圆周角定理得到，可得到结论．试题解析：1）PCO相时OCP最大．如图，所示：sin

OP==，OCP=30°OC4

=121212=121212的最大度数为，故答案为：；（）最大值理由：OPC的OC是值，当上的高为最大值时eq\o\ac(△,)OPC的积最大，而点P在O上半圆上运动，当POOC时取得最大值，即此时OC边的高最大，也就是高为半径长，最值（）结AP，，如图2，

eq\o\ac(△,)OPC

1OC•OP=×6×3=9；2OAODeq\o\ac(△,)与中，BOD

，OAP，，

OB，，，A=C，BC=

AB=OB，CO=OB+OB=AB，APCPeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CPO中

，APBCPO，APB，

AB为直径APB=90°，，PC切O于点，即CP是O的切线．6．阅读下列材料：如图，O和O外切于点，是O和O外公切线A、为切点，求证：BC证明：过点C作O和的公切线交于，、是1

的切线．DAC=．同理DCB=DBC．又DCB+，DCA+．即．

1212根据上述材料，解答下列问题：（）以上的明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；（）AB所直线为x轴，过点C且直于AB的线为y轴立直角坐标系（如图2），已知AB两的坐标为（4，）1，）求经过A、C三的抛物线y=ax+bx+c的数解析式；（）据2）所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O上，并说明理由．【答案】（）解析；2）y

122

；3）解析【解析】试题分析：1）切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是，知用了三角形内角和定理；（）根据勾定理求出C点标，再用待定系数法即可求出经过线的函数解析式；

、、C

三点的抛物（）

作两圆的公切线，交AB于D，切线长定理可求出D点标，根据

两点的坐标可求出过两直线的解析式，据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．试题解析：、DC是的线∴DADC应的是切线长定理；DCADCB

o

，应用的是三角形内角和定理(2)设C点坐标0,y),AB

BC

即

y

y

，即

25

2

,解y舍去或=−2.故点坐标(−2)，设经过

B、

三点的抛物线的函数解析式为

yax2，ab则c

1解得

3yx故所求二次函数的解析式为2(3)过C作两圆的公切线CD交于D则AD=BD=CD由(B(1,0)知

D

，设过CD两的直线为y+b,则

3k2

解得

k

43b故此一次函数的解析式为

y

x，过

O12

的直线必过C点与直线

y

x

垂直，故过OO12

的直线的解析式为

y

x由中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为

，代入直线解析式得

,

故这条抛物线的顶点落在两圆的连心

1

上7．已知O中弦AB=AC，P是BAC所弧上一动点，连接，．（）图，eq\o\ac(△,)ABP绕A逆针旋转eq\o\ac(△,)ACQ，接PC，证：ACP+ACQ=180°；（）图，若BAC=60°，试探究、、之的关系．（）若时（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（）明见解析；2）．理由见解析；3）若BAC=120°时（）

中的结论不成立，．【解析】试题分析：1）图，连接PC．根据内四边形的对角互补的”可证得结论；（）图，通过作辅助线、、（连接BC，延长至，使，连接CE）构建等eq\o\ac(△,)PCE和全等三角eq\o\ac(△,)APC；后利用等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（）图，在线段PC截取PQ，使PQ=PB，过点作于点G．利用全等三角eq\o\ac(△,)（）对应边相等推知AB=AQ，，PB、的量关系转化eq\o\ac(△,)中求即可．试题解析：1）图，连接PC．ACQ是eq\o\ac(△,)ABP绕A逆针旋转得到的，ABP=ACQ．由图知点A、、、四点共圆，（圆内接四边形的对角互补），ACQ=180°（等量代换）；（）理由如下：如图，接BC，延长BP至E，使PE=PC，接CE弦弦，BAC=60°，ABC是边三角形（有一内角为60°的等腰三角是等边三角形）．A、B、、四共圆，BPC=180°（内接四边形的对角互补），BPC+EPC=180°，BAC=CPE=60°，，PCE是等边三角形，CE=PC，E=ECP=；又BCE=60°+BCP，∠，BCE=ACP（量代换）PCeq\o\ac(△,)BECeq\o\ac(△,)APC中，

，BEC（），，

AC；（）若时（2）中的结论不成立，3理由如下：如图，线段PC上截取PQ，PQ=PB，点A作PC于点G．，BAC+BPC=180°，．弦弦，APQ=30°．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AQP中，

，ABPAQP（）

PB=PQ（等三角形的对应相等）AQ=AC（量代换）．在等eq\o\ac(△,)中，QG=CG．在eq\o\ac(△,)中，，，3

PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2

3AG

3PA=2AG，即3．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质.8．（）题背景如图，是O的直径，点O上AB=AC，为上一动点（不与，重合），求证：2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出有三条线段AB，，，，就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：eq\o\ac(△,)PAC绕着点A顺针旋转90°eq\o\ac(△,)（①；第二步：证明QB，三共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（）比迁移如图，O的半径为，点，在O上，为O内点AB=AC，，垂足为A，求OC的小值．（）展延伸如图，O的半径为，点，在O上，为O内点AB=为，则OC的小值为．

AC，，垂足【答案】（）明见解析；2）OC最值是3﹣；（3）

．【解析】试题分析：1）eq\o\ac(△,)PAC绕点A顺针旋转90°eq\o\ac(△,)（①），只要证eq\o\ac(△,)APQ是等腰直角三角形即可解决问题；

（）图中，连接，eq\o\ac(△,)OAC绕顺时针旋转90°eq\o\ac(△,)，接OB，，在BOQ中利用三边关系定理即可解决问题；（）图构造相似三角形即可解决问题．作OA，得

，接，，．eq\o\ac(△,)推出BQ=

，当BQ最小时OC最；试题解析：1）eq\o\ac(△,)PAC绕点A顺针旋转90°eq\o\ac(△,)（①）；BC是径BAC=90°，，ACB=ABC=45°，由旋转可得QBA=PCA，ACB=APB=45°PC=QBPCA+，PBA=180°，Q，B，三点共线，BAP=BAP+，QP=AP+AQ2=2AP，QP=

2，

2AP=PC+PB．（）图中，连接，eq\o\ac(△,)OAC绕A顺针旋转90°eq\o\ac(△,)，接OB，，ABAC,BAC=90°,由旋转可得，AQ=OA，QAB=OAC，BAO=BAO+OAC=90°在eq\o\ac(△,)OAQ中，

2，AO=3，eq\o\ac(△,)OQB中，﹣2﹣，即OC最值是3﹣；（）图中，作OA，得AQ=

，接，BQ，OB．

BD=CDBD=CDBAC=90°，QAB=，

QA=，OA3，BQ=

，当BQ最时OC最，易知，，，BQ≥OQ﹣，OQ，BQ的小为2的最小值为

3×2=，2故答案为

．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.9．如图eq\o\ac(△,)内接于O，BAC的平分线于点，BC于点E（＞EC，且＝3．点作，交AB的延长线于点．（）证：为的线；（）若BAC＝，DE＝，图中阴影部分的面积．【答案】（）见解析；293﹣．【解析】【分析】（）结，据垂径定理得到ODBC，据平行线的性质得到OD，根据切线的判定定理证明；（）结，连结交于，作BHDF于，eq\o\ac(△,)OBD为边三角形，得到，

3，据勾股定理求出PE证eq\o\ac(△,)ABE△AFD，据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面=BDF的积弓BD的积计算．【详解】证明：1）结，AD平BACO于，BAD=，»ODBC，BCDFOD，

，

DFO的线；（）结，连结交于，作BHDF于，BAC=60°，平，，，OBD为边三角形，ODB=60°，OB=BD=2BDF=30°，BCDFDBP=30°，

3，在eq\o\ac(△,)中，PD=

BD=，PD=3，在eq\o\ac(△,)DEP中，3，，

2

2

，OPBC，﹣，DBE=，BED=AEC，△ACE，：：，AE：：7

，AE=

7BEDF，AFD，

5BEAE7，，DFADDF127解得DF=12在eq\o\ac(△,)BDH中，

BD=3阴部分的面积eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)BDF的积﹣弓形的面积eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)BDF的积﹣（扇形的积

．．．．．．．．的面积=

233)4

2

=92．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．10．如eq\o\ac(△,)ABC中ACB＝，＝＝．是段AC上个动点（不与点重合）D与AB相切，切点为，D交射线DC于点，作交线BC于点，D的径为．（）证AE＝；（）当D与线相时，求r的值；（）点G落在D内时，直接写出的值范围．【答案】见析(2)r=3

3【解析】【分析】（）接DE，则ADE=60°=DEF+DFE，DEF=DFE，则DEF=，即可求解；（）图2所，连接DE，圆与BC相切时，切点为，，AB=6，则，AD=2r，由勾定理，即可求解；（）点在线段AC上点F在段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（）接DE，则ADE=60°=DEF+DFE，而DEF=DFE，DEF=，

AE=EF；（）图2所，连接DE，圆与BC相切时，切点为FA=30°，AB=6，，，由勾股定理得：3r），解得：；（）当点F在线段上时，如图3所，接DE、，FC3r,GCFC3r②当F在线段AC的长线上时，如图4所，连接DE，FC3r,GCFC3两种情况下符号相反，

2

相同，由勾股定理得：=CD+CG，点在的内部，故DG2＜，即：3r)

3rr

整理得：rr0解得：

3

【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．11．图1，腰直eq\o\ac(△,)ABC中ACB=90°，，点A，C的交AB于D交BC于点，连结DE（）AD=7，，别求DECE的（）图2，结CD，若CE=3，的积为10求（）图3，圆上取点使得PCD=BCD（P与E不重合），连结PD，点eq\o\ac(△,)CPF的心①请画eq\o\ac(△,)CPF，明画图过程并CDF的度数②设PC=a，，，（c）b-2c，eq\o\ac(△,)CPF的切圆半径长【答案】（），CE=

32；（）BCD=

；（）①135°②2.【解析】【分析】（）A、、、四共圆对角互补为突破口求解；（）找与为顶角，O中，CAD，eq\o\ac(△,)为腰直角三角形，从而得到EDC+ODA=45°，可证明CDF=135°；（）点做CB于H，为心，DH为径画圆，过点P做D切PF交CB的长线于点，合圆周角定理得，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得，后根据角平分线性质得出1DCFCFDPCF2

，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明CFD=45°，而证是角，再求证四边形PKDN是方形，最后eq\o\ac(△,)PCF面不变性建立等量关系，结合已知a-出值即求eq\o\ac(△,)CPF的内切圆半径长为．

c（b-

c=8消去字母，求【详解】（）图可知

ACDDCBACDDCB设BC=x在eq\o\ac(△,)中．由勾股定理得：AC+BC

=AB2，，，BD=1，x+x

=8

，解得：

4O内接四边形，，，，，BDE是腰直角形．DE=DB又DB=1DE=1，又，CE=

422．（）图所示eq\o\ac(△,)中点作，设BE=y则又CE=3，BC=3+y，

y，

eq\o\ac(△,)

=S+S，

13y22

，解得：或（舍去）．EM=1CM=CE+ME=1+3=4，又BCD=MCD，

BCD=tanMCD，在eq\o\ac(△,)DCM中MCD=

DM=，CM4

．（）如下图所示：过点D做

CB

于点H，以D为心为半径画圆，过点P做eD切PF交CB的延长线于点．，，又点D是

的内心，PDCD、DF都是角平分线，FPD=CPD，PCD=，CFDCPF=90°PCF+PFC=90°

DCF

PFC2CDF=180°-CFD，即CDF的数135°②如图所示过点D分作DKPC，DMCF，于线PC，和于点K，，三，eq\o\ac(△,)PCF内圆的半径为，则DN=m，

点D是PCF的心，，又CFD+，FDC=45°，CFD=45°，又，DF分别是和PFC的角平分线，DCF，DFC，PCF+，．在四边形中，NPK=，四形是形，又KD=ND四形是方形．又∠，BDM=KDP，KDP=45°．，，PD=c，

C，

CK=a，2又，FM=FNCF=CM+FM，CF=

2c，又

eq\o\ac(△,)

，

222c(ac），2化简得：

2

（），又若a-）（b-c）化简得：

2

），将（）入）得：2=8，解得：，或舍去），m=

2c2，2eq\o\ac(△,)CPF的切圆半径长为．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式eq\o\ac(△,)CPF的

切圆半径长．12．于平面直角坐标系中图形P，Q给出如下定义M为形上任意一点N为图形上任意一点，如果，N两间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的非距”，作（,Q）．已知点（4,0）（）连接．（）（O，AB）=

；（）O半径为，若（O，）求r的值范围；（）（，－）连接，BCT的圆心为（，），半径为2，（，ABC），且0<d，t的值范围．【答案】（）2；2）r；3）5或6<<8【解析】【分析】（）下图所，由题意得：过点O作AB的垂线，则垂线段即为所求；（）下图所，当（O，）时，过点作OEAB交AB于E则：OB=2，OE=22，可求解；（）分T在ABC左Teq\o\ac(△,)右侧两种情况，求解即可．【详解】（）点作ODAB交AB于点D，根据非距”的义可知，d（点O，AB）

AB

=

2

2

=2;（）图，

当d（O，AB）时过点作OE则OE=2

2,OB=OA=4，O与线段AB“非常距离为，

2r；（）当T在ABC左时，如图，当T与BC相切时，d=0,BC=

2

2=5,过点C作CEy轴，过点T作TFBC,eq\o\ac(△,)TFH△BEC,

TFTHBE

,即

2=6

,

5HO△BEC,HO=2此时T(--2，当时如图，

同理可得，此时T（）0<d<2，

；当Teq\o\ac(△,)右时，如图，当时，当时t=8.0<d<2，6<<8综上，或6<<8【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌非常距”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．13．图，eq\o\ac(△,)中，＝，AC为径作O交BC于D过点D作于点，的长线于点F．（）证：与O相；（）6＝

，求的．

【答案】见析2【解析】【分析】

如图，欲证明EF与e相，只需证得OD．

通过解直角VAEF可求得e的径为，由已知可eq\o\ac(△,得)△，继而得到

OFr，，则易求AC2rAFAE

，所以AE

32

．【详解】（）图，连OD，QOC

，OCD

．AC

，ACBODC

，，OD

，ODF

，QAB，ODFAEFo，OD

，QOD是O的径与

eO

相切；

，

OD

．

在AEF中sin则，/，△OD，AFAE

CFD

AE，，AF5设

eO

的半径为r，

，解得，

r

，ABAC2r

，EBAB

32

．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关.14．图，

是大半圆的直径，

是小半圆的径，点是半上点，

与小半圆交点，点作

于点.（）证：（）

是小半圆的线；，点在上动（点不

两点重合），设，

.①求与之的函数关系式，并写出自变量的值范围；②当

时，求

两点之间的距离【答案】（）解析；2）或.

，，

两点之间的距离为【解析】【分析】（）接、，需到CDCM．