2020-2021中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附详细答案

»»中考数学专题复习分类练习的综合综合解答题附详细答案一、圆综合1．如图，点在O的直径AB的延长线上为O的切线，点C为点，连接，过点作PC的线，点D为足AD交O于点．(1)如1，求证DAC=；(2)如2，点F（与点C位直径两）O上的平行线交于G，求证FG=DE+DG；

BF

，连接EF过点作AD(3)(的件下，如图3，若AE=

，求的．【答案】（）明见解析；2）明见解析；）EF=3

．【解析】【分析】（）接，求出，出OCPC，据切线的判定推出即可；（）接BE交GF于H，接OH求出四边形是形，求出DE=HG，即可得出答案；（）OC交HE于M，连接OE、，FHO=EHO=45°，据矩形的性质得出EH，出

AE，设，则HM=a，AE=2a，，，求出ME=CD=2a，直角三角形得出tanMBO

MO，BM2PO

,设，，据OP=5k=5求出k=5，据勾股定理求出a，可求出答案．【详解】（）明：连，PC为O的切线，

»»PC，PCAD，OCA=，，OCADAC=；（）明：连交于H，接OH，FGD+D=180°，D=90°，FGD=90°，AB为的径，，，D=BED=90°，四形是矩形，，DG=HE，GHE=90°，，HEF=FEA=

=45°，HFE=90°﹣，HEF=HFE，FH=EH；（）：设OC交HE于M，连接、，EH=HF，，FHO，EHO=45°，

四形是矩形，EHDG，OCP=90°，﹣45°=45°，HM=MO，OMBE，，OM=

AE，设OM=a，HM=a，AE=2a，AE=GCM=GHE=90°，四形GHMC是形，，﹣，，，，BM=2a，

DG，，在eq\o\ac(△,)BOM中，tanEHDP，，

MOaBM2a

，tanP=

COPO

，设，则PC=2k，在eq\o\ac(△,)中OP=k=5，解得：，，在eq\o\ac(△,)OME中，OM+ME=OE，5a=5a=1，在eq\o\ac(△,)HFE中，，EF=

2

HE=3

2．【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．2．如图，Oeq\o\ac(△,)ABC的外接圆，点E为内切圆的圆心，连接AE的长线交BC于点F，交O于点D；连接，过点D作直线DM，使．（）证：直DM是O的切线；（）DF=2，AF=4求BD和DE的长．

¶¶¶¶【答案】（）明见解析223【解析】【分析】（）据垂径理的推论即可得到ODBC，再根=DBC即可判定BCDM进而得到ODDM，据此可得直线O的线；（）据三角内心的定义以及圆周角定理，得BED，即可得出DBDE再判eq\o\ac(△,)DAB，可得到DB=DA，据此解答即可．【详解】（）图所示连接OD．点Eeq\o\ac(△,)ABC的心，BAD=CAD，

，ODBC．又BDM，，，BC，ODDM又OD为O半，直DM是O的切线．（）接BE．E为心，ABE=CBE．BAD=CAD，DBCCAD，BADDBC，BAE+ABE=CBE+DBC，BED=DBE，BDDE．又BDF（公共角），DBF△DAB，

DFDBDB

，即

2DFDADF，=4DAAF=62DF•DA，=DE=2．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．3．如图，B两的坐标分别为，），（，）点为x轴半上一动点，过点作AP的线，过点B作BP的线，两垂线交于点，连接，为段PQ的点．

（）证：、、、四在以M为圆心的同一个圆上；（）当M与x轴切时，点Q的标；（）点P从点2，）动到点（，），请直接写出线段扫过图形的面积．【答案】见;Q的标为3

，）;(3)

.【解析】（）：连接、，AQAP，和△都直角三角形M是边PQ的中点AM＝PM=QM=

，A、B、、四点在以M为心的同一个圆上。（）：作MGy轴G，x轴于C，AMBM

111222121212211122212121221是的中点，由A（06，（，）可得MC＝＝在P运动的过程中，点M到轴距离始终为则点到x轴距离始终为9，即点的坐标始终为，当M与x轴切时则PQx轴作QHy轴，HB＝－＝，OP＝HQ＝eq\o\ac(△,由)△，x＝3×6＝，＝

点的坐标为（

，）（）：由相可得：当点P在（20），（，）则M（，4.5）当点P在P（，）时，（，，则M（，）MM＝

3－＝，Q＝－＝2线段扫的图形为梯形MM其面积为：

×(＋2)×4.5＝.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ三角形都直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题【详解】

（）：连接、，AQAP，和△都直角三角形M是边PQ的中点AM＝PM=QM=

，A、B、、四点在以M为心的同一个圆上。（）：作MGy轴G，x轴于C，AMBM是的中点，由A（06，（，）可得MC＝＝在P运动的过程中，点M到轴距离始终为则点到x轴距离始终为9，即点的坐标始终为，当M与x轴切时则PQx轴作QHy轴，HB＝－＝，OP＝HQ＝

111222121212211122212121221eq\o\ac(△,由)△，x＝3×6＝，＝点的坐标为（

，）（）：由相可得：当点P在（20），（，）则M（，4.5）当点P在P（，）时，（，，则M（，）MM＝－＝，QQ＝－＝2线段扫的图形为梯形MM其面积为：×(

＋2)×4.5＝

.【点睛】本题主要考查学生根据题意能找到三角形和三角形都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关.4．（类比概念）三角形的内切圆是以个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，探究圆外切四边形的ABCD两对边AB，与，之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（序号）A：平行四边形：：形：C：形：方形②如2，外切四边形ABCD，AB=12，，则四边形的周是．③圆切四边形的周长为48cm，邻的三条边的比为：：，四边形各边的长．

【答案】见解析【解析】【分析】（）据切线定理即可得出结论；（）圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图，知：四边形的边，，，都于O相于，，，．求证：BC=+CD证明：AB，和O相，=AH，理=BF，=，=DH+BC=AH+DH+BFCFAGBG+CEDE=+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．平四边形和矩不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：，；②圆切四边形ABCD，AB+=+BC．AB=12，=8，AD+=12+8=20，四边形的周长是ABCD+BC=20+20=40．故答案为：；③相的三条边的比为54：此三边为，x，，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x﹣x．圆切四边形的长为48cmxx+7x+8xx，x，四边形的四边为4=8，xcm，x=14cm，x=16．【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．5．如图，已eq\o\ac(△,知)中，A=30°，，AB为径O与BC边相交于点，AC交于点F，过点D作DE于点E．（）证：是O的切线；（）CE的；（）点作，交O于点G，求弧BG的．【答案】（）明见解析28-43（）π【解析】【分析】（）图1，接AD，，AB为O的径，可得BC，再根据AB=AC，得BD=DC，再根据，可得，继而可得DE，题得证；（）图2，接BF，根据已知可推导得出DE=

，，A=30°，，得BF=8继而得DE=4，由DE为的线，可得，4

=CE（﹣）继而可求得CE长（）图3，接，接AD，由BGDF可得CDF=30°，根据AB=AC，推导得出OBG=45°，OG=OB，得OGB=45°从而可BOG=90°，据弧长式即可求得BG的度【详解】（）图1，接AD，；AB为的径，，即ADBC，，BD=DC，OA=OBOD，DEAC，DEOD，，DE为O的切线；（）图2，接BF，

AB为的径，AFB=90°BFDE，CD=BD，

，，，AB=16，BF=8，DE=4，DE为O的切线，ED=EF，4

=CE（﹣）﹣

3，3（合题意舍去）；（）图3，接，接AD，，，，ABC=，OBG=75°﹣，，OBG=45°，

BG

的长度

=4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关.6．如图，四边形内于O对角线AC为O的直径，过点作AC的线交的延长线于点，点为CE的点，连接，DF．（）证：DF是O的线；（）平ADC，2，

DE1，的．

¶¶【答案】见;【解析】分析：1）接利用直角三角形的性质得出DF=，再求FDO=FCO得出答案即可；（）先得出=BC即可得出它们的长，再利eq\o\ac(△,)～ACE，出AC=AD•，进而得出答案．详解：1）接．=，OCD．AC为O的直径，ADC=90°．点F为的点DF==EF，FDCFCD，=FCO．又ACCE，FDO，DFO的线．（）AC为O的径，ADCABC．平分，=，

=

BC

，BC=AB=5

2．在eq\o\ac(△,)中，22BC=100．又ACCE，ACE=90°，eq\o\ac(△,)，

AC=AC=AE．ADAC设DE为x，AD：DE：1，ADx，x，x•5x，=，5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出A=AD•AE是解题的关键．7．如图，已知eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°O在AC上以OC为半径O，AB于D点，且BC=BD

（）证：为O的切线；（）BC=6，

，求O的半径；（）（）的条件下，点上为一动点，求BP的最大值与最小值【答案】（），明略；2）径为3；3）大值35+3，5【解析】分析：1）接，，eq\o\ac(△,)ODB即可.（）sinA=

且BC=6可，且cosA=，然后求出的度即可（）三角形三边关系，可知当连接OBO于点E、，点P分别于点E、重时，BP分别取最小值和最大值详解：1）图：连接、eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中OD=OC,OB=OB,BC=BD;OCB）C=90°.AB为的线（）图：

sinA=

3，AB

,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,sinA=

，cosA=，5OA=5OD=3，即O的半径为：（）图：连，O为E，由三角形的三边关系可知：当点与点重合时，取小值由（）知OD=3DB=6,OB=

3

2

5

.

.当点与F点重合时去大，35.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知.键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解8．如图，已知O的直径，点，在O上，BC=6cm,AC=8cm,．E在O外做直线，D．（）证：直是O的切线．（）图中阴部分的面.

【答案】见;

-50

.【解析】分析：1）据圆周角定理及推论证BAE=90°，可得到AE是O的切线；（）接，扇形ODA的积减eq\o\ac(△,去)的积即.详解：证明：（）AB是O的直径，，即，EAC=ADC，ADC=ABC，EAC=ABC=90°，即90°直AE是的线；（）接ODBC=6AC=8

22=5又=OA45°=90°S＝S阴影

扇ODA

=

12

25

（cm2

）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应

9．如图，是O的径，是O的线，点在O上，CB．（）断PC与O的位置关系，并说明理由；（），，的．【答案】（）是O的切线，理由见解析；2）

【解析】试题分析：1）证PC是O的切线，只要连接，证即可．（）以连接AC根据已知先证eq\o\ac(△,明)△，根据勾股定理和相似角形的性质求出PC的．试题解析：1）论：PC是O的线．证明：连接CBPOPOA=B，POC=OCB=BPOA=又，OP=OPAPOOAP=PA是的线OAP=90°OCP=90°PC是O的切线．（）接ACAB是的径（分由（）PCO=90°，

ACB=△PCO

．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．10．图、PBO的切线，，为点APB=60°，连接PO并长与O交于C点连接AC、BC．（）求ACB的小；（）若半为，四边形的面积．【答案】（）；）

3【解析】分析：（）接AO，据切线的性质和线长定理，得到OAAPOP平分APB，后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质30°的直角三角形的性质，得ACB的度数；（）据30°角直角三角形的性质和等腰角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（）接OA，图，、PBO的切线，OAAPOP平APB

APB=30°AOP=60°，，

======OAC=OCA

AOP=30°，同理可得，；（）eq\o\ac(△,)中APO=30°，AP=

3OA=，OP=2OA=2，而

eq\o\ac(△,)OPA

×1×，

eq\o\ac(△,)AOC

eq\o\ac(△,)PAO

，

eq\o\ac(△,)

=

3

，四形ACBP的积

=

3

．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．11．腰eq\o\ac(△,)O如放置，已知，，O的半径为，心与直线AB的离为5．（）eq\o\ac(△,)以秒2个位的速度向右移动，O不动，则经过多少时eq\o\ac(△,)ABC的与圆第一次相切？（）两个图同时向右移动eq\o\ac(△,)的速度为每秒2个位O的速度为每秒1个位，则经过多少时eq\o\ac(△,)的与圆第一次相切？（）两个图同时向右移动eq\o\ac(△,)的速度为每秒2个位O的速度为每秒1个位，同eq\o\ac(△,)ABC的长、都以每秒个位沿、方向增大eq\o\ac(△,)ABC的与圆第一次相切时，点运了多少离？【答案】（）

2

；（）52；（3）

【解析】分析：1）析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时eq\o\ac(△,)ABC移eq\o\ac(△,)′B处，′C与O切于点E连OE并延长，交B′C于F由切线长定理易得CC的，进而三角

形运动的速度可得答案；（）运动的间为秒根据题意得：，′=t，C′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（）结列式得出结果；（）出相切时间，进而得出B点移动的距离．详解：1）设第一次相切时eq\o\ac(△,)ABC移eq\o\ac(△,)′B′C处如图，A与切点E，接OE并延长，交′C于，设O与直线切点D，接，OEA′C，直线，由切线长定理可知′E=C，设′D=x，则C，ABC是腰直角三角形，A=，A′CACB=45°，EFC是等腰直角三角形，C′F=

x，，OFD也是等腰直角三角形，OD=DF，

2

x+x=1，x=

2

-1，CC′D=5-1-（

-1=5-

，点运动的时间为

2

；则经过

2

秒eq\o\ac(△,)的与圆第一次相切；（）图2，经过teq\o\ac(△,)的与圆第一次相切eq\o\ac(△,)ABC移eq\o\ac(△,)A′B′C处O与BC所在直线的切点D移处′C与O切于点E连OE并延长，交B′C于F

CC，，C′D′-CC′=4+t-2t=4-t，由切线长定理得′E=C′D，，由（）：4-t=解得：

-1，答：经过5-eq\o\ac(△,)的边与圆第一次相切；（）（）得CC′=2+0.5），，则′D′=CD+DD′=4+t-2.5t=4-1.5t，由切线长定理得′E=C′D′=4-1.5t，由（）：

，解得：

，点运的距离

2202=3

．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．12．图，在直角坐标系中M经过原点O(0，，6，与B(0，2，点D在劣弧OA上连结交x轴点，CBO.(1)M的径；(2)求：平分ABO；(3)在段的长线上找一点E，得直线恰M的线，求此时点的标．【答案】（）的半径＝；（）明解析；3点的坐标

23

，2

)．【解析】试题分析：根据点和B的标得出和OB的度，根据eq\o\ac(△,)的股定理得出

22的度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得ABD=，后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得eq\o\ac(△,)ABE，而出BH=BA=22，从而求出OH的长度，即点E的坐标，根据eq\o\ac(△,)的角函数得ABO的数，从而得出的度数，然后根据eq\o\ac(△,)得出HE的长度，即点E的横坐标试题解析：1）点A为6，，点B为，－）∴OA=OB=

根eq\o\ac(△,)的股定理可得AB=2M的径r=

AB=

2

.（）据同弧对的圆周角相等可得ABD=CBOABD=CBOBD平=（）图，由2）的角平分线可eq\o\ac(△,)ABE∴BH=BA=222

－在eq\o\ac(△,)AOB中，

OAOB

3

ABO=60°CBO=30°在eq\o\ac(△,)HBE中，HE=

BH26

2点E的坐标为（，）3考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函.13．图，AB是eO直径，弦ABF，连接.

于点E，点C的线交AB的长线于点（）证：DFO的线（）接

，若

BCF

，BF2，求

CD

的长【答案】（）解析；2）【解析】【分析】连OD,垂径定理证OF为CD的直平分线，得CF=DFDCF，OCD，再CDB=，可得OD，论成.(2)由OCF=90°,BCF=30°，得，证ΔOCB等边三角形，得COB=60°，可

得CFO=30°，所以FO=2OC=2OBFB=OB=，在直角三角形OCE中解角三角形可得CE,再推出【详解】（）明：连接OD是O的切线OCF=90°DCF=90°直AB弦CDCE=ED，即OF为CD的直平分线CF=DFDCFOC=OD，OCDCDB=OCD+DCF=90°ODDFDFO的线（）：连接OCF=90°,BCF=30°OCB=60°为等边三角形，COB=60°CFO=30°在直角三角形OCECOE=60°COE

2

3CD=2

【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角.解关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角.

»»»»14．图eq\o\ac(△,)ABC外接圆O的直径，且BAE．（）证：AE与O相于点；（）BC，＝3，AC＝，的长．【答案】（）明见解析；2）【解析】【分析】（）据题目已出现切点可确定“连半径，证垂”的法证明线，连接并长交O于F