高中数学选修1-1 模块综合测评

第页码35页/总NUMPAGES总页数35页模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2<b2，故a>beq\o(⇒,\s\up0(/))a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但a<b，即a2>b2eq\o(⇒,\s\up0(/))a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.【答案】D2.过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为()A.x2＝eq\f(1,3)y或x2＝－eq\f(1,3)yB.x2＝eq\f(1,3)yC.y2＝－9x或x2＝eq\f(1,3)yD.x2＝－eq\f(1,3)y或y2＝9x【解析】P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－eq\f(1,3)y.故选D.【答案】D3.下列命题中，正确命题的个数是()①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对命题p：∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，则﹁p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A.1B.2C.3D.4【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确.【答案】B4.函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为()A.f(－1)＝f(1) B.f(－1)<f(1)C.f(－1)>f(1) D.无法确定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1).【答案】C5.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D.∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0【解析】故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0.故选C.【答案】C6.已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,8)＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A.y＝±eq\f(1,3)x B.y＝±eq\f(\r(3),3)xC.y＝±eq\r(3)x D.y＝±2eq\r(3)x【解析】双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝eq\f(c,a)＝2，∴a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.【答案】C7.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A.1B.eq\f(3,2)C.2D.3【解析】因为双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，与抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)相交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，又p＞0，所以p＝2.【答案】C8.点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为()A.[0，π)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【解析】f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).【答案】B9.椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A.2(a－c) B.2(a＋c)C.4a D.以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D10.设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0的实数解x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2013)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2012,2013)))＝()A.2011 B.2012C.2013 D.2014【解析】(1)∵g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，∴g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝eq\f(1,2)，∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3×eq\f(1,2)－eq\f(5,12)＝1，∴g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴g(x)＋g(1－x)＝2，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2013)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2012,2013)))＝2×1006＝2012.【答案】B11.若直线y＝2x与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,eq\r(5)) B.(eq\r(5)，＋∞)C.(1,eq\r(5)] D.[eq\r(5)，＋∞)【解析】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝eq\f(b,a)x.由条件知，应有eq\f(b,a)>2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(5).【答案】B12.若0<x1<x2<1，则()A.eeq\s\up6(x2)－eeq\s\up6(x1)>lnx2－lnx1B.eeq\s\up6(x2)－eeq\s\up6(x1)<lnx2－lnx1C.x2eeq\s\up6(x1)>x1eeq\s\up6(x2)D.x2eeq\s\up6(x1)<x1eeq\s\up6(x2)【解析】设f(x)＝ex－lnx(0<x<1)，则f′(x)＝ex－eq\f(1,x)＝eq\f(xex－1,x).令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝eq\f(1,x)的图象，可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确.设g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，则g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴x2eeq\s\up6(x1)>x1eeq\s\up6(x2).【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________.【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<314.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝015.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________.图1【解析】当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，由图象可知x∈(－∞，－eq\r(3))；当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0,eq\r(2)).∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－eq\r(3))∪(0,eq\r(2)).【答案】(－∞，－eq\r(3))∪(0,eq\r(2))16.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足eq\o(PF,\s\up12(→))1·eq\o(PF,\s\up12(→))2＝0，则eq\f(e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2),e1e22)的值为________.【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，则|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.平方相加得|PF1|2＋|PF2|2＝2aeq\o\al(2,1)＋2aeq\o\al(2,2).又∵eq\o(PF,\s\up12(→))1·eq\o(PF,\s\up12(→))2＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，∴eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\f(e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2),e\o\al(2,1)e\o\al(2,2))＝2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题p：方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲线是双曲线；命题q：∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围.【解】对于命题p，因为方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>eq\f(1,2)，则命题p：m<－4或m>eq\f(1,2).对于命题q，因为∃x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.则命题q：m<－3或m>6.因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题.若命题p为真命题且命题q为假命题，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－4或m>\f(1,2)，,－3≤m≤6，))得eq\f(1,2)<m≤6；若命题p为假命题且命题q为真命题，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤m≤\f(1,2)，,m<－3或m>6，))得－4≤m<－3.综上，实数m的取值范围为[－4，－3)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6)).18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数.(1)求b，c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值.【解】(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c∵g(x)是奇函数，∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]得(b－3)x2－c＝0对x∈R都成立.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－3＝0，,c＝0，))得b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函数g(x)的单调递减区间.g(x)在x＝－eq\r(2)时，取得极大值，极大值为4eq\r(2)，g(x)在x＝eq\r(2)时，取得极小值，极小值为－4eq\r(2).19.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3eq\r(5).(1)求b的值；(2)在x轴上求一点P，使△APB的面积为39.【解】(1)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x＋b，))消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4)，|AB|＝eq\r(5)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)eq\r(1－b2－b2)＝3eq\r(5)，解得b＝－4.(2)将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，设P(a,0)，则P到直线AB的距离为d＝eq\f(|2a－4|,\r(5)).△APB的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(|2a－4|,\r(5))×3eq\r(5)＝39，则a＝－11或15，所以P点的坐标为(－11,0)或(15,0).20.(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30].(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘故x＝12时，f(x)取到极大值.因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.21.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(e,ex)，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立.【解】(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－eq\f(1,x)＝eq\f(2ax2－1,x)(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝eq\f(1,\r(2a))，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,ex－1)>0.(3)解：由(2)知，当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当0<a<eq\f(1,2)时，eq\f(1,\r(2a))>1.由(1)有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))<f(1)＝0，而geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))>0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a≥eq\f(1,2)时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).当x>1时，h′(x)＝2ax－eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)－e1－x>x－eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＝eq\f(x3－2x＋1,x2)>eq\f(x2－2x＋1,x2)>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).22.(本小题满分12分)如图2已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2eq\r(2).图2(1)求椭圆C的方程.(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明eq\f(k′,k)为定值；②求直线AB的斜率的最小值.【解】(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a＝4,2c＝2eq\r(2)，所以a＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)①证明：设P(x0，y0)(x0>0，y0>0).由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m).所以直线PM的斜率k＝eq\f(2m－m,x0)＝eq\f(m,x0)，直线QM的斜率k′＝eq\f(－2m－m,x0)＝－eq\f(3m,x0).此时eq\f(k′,k)＝－3.所以eq\f(k′,k)为定值－3.②解：设A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.由x0x1＝eq\f(2m2－4,2k2＋1)，可得x1＝eq\f(2m2－2,2k2＋1x0)，所以y1＝kx1＋m＝eq\f(2km2－2,2k2＋1x0)＋m.同理x2＝eq\f(2m2－2,18k2＋1x0)，y2＝eq\f(－6km2－2,18k2＋1x0)＋m.所以x2－x1＝eq\f(2m2－2,18k2＋1x0)－eq\f(2m2－2,2k2＋1x0)＝eq\f(－32k2m2－2,18k2＋12k2＋1x0)，y2－y1＝eq\f(－6km2－2,18k2＋1x0)＋m－eq\f(2km2－2,2k2＋1x0)－m＝eq\f(－8k6k2＋1m2－2,18k2＋12k2＋1x0)，所以kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(6k2＋1,4k)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6k＋\f(1,k))).由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k＋eq\f(1,k)≥2eq\r(6)，等号当且仅当k＝eq\f(\r(6),6)时取得.此时eq\f(m,\r(4－8m2))＝eq\f(\r(6),6)，即m＝eq\f(\r(14),7)，符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为eq\f(\r(6),2).回归课本:高考数学考前100个提醒一、集合与简易逻辑1、区分集合中元素的形式，如，，.解题时要利用数形结合思想尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具；2、已知集合A、B，当时，切记要注意到“极端”情况：或；求集合的子集时别忘记；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n个元素的有限集合的子集个数为,真子集为其非空子集、非空真子集的个数依次为4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题(正难则反)。7、原命题:;逆命题:;否命题:；逆否命题:；要注意利用“互为逆否的两个命题是等价的”来解题.8、若且，则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;9、注意命题的否定与它的否命题的区别:命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.命题的否定是；否命题是.10、要熟记真值表噢！常见结论的否定形式如下：原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或二、函数与导数11、函数:是特殊的对应关系．特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个．函数的三要素：定义域,值域,对应法则．研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则．12、一次函数:(k≠0),b=0时是奇函数;依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题.二次函数：①三种形式:一般式(轴-b/2a,顶点?);b=0为偶函数;顶点式(轴?);零点式;②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;反比例函数:平移的对称中心为(a,b).13、指数式、对数式：，，，，，，，，(对数恒等式).要特别注意真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论的呀.对数的换底公式及它的变形，.14、你知道函数吗？该函数在或上单调递增；在或上单调递减，求导易证，这可是一个应用广泛的函数！对号函数是奇函数,;,.要熟悉其图像噢.15、确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等．注意：①.能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②.单调区间是最大范围，注意一定不能写成“并”.③.复合函数由同增异减判定、图像判定.作用:比大小,解证不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函数，脱号性，避免讨论;f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数必定过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分条件。奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数则为相反的单调性；注意：既奇又偶的函数有无数个(如，只要定义域关于原点对称即可)．17、周期性:①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③满足条件的函数的周期.18、图象变换:“左加右减”（注意是针对而言）、“上加下减”(注意是针对而言).①函数的图象是把的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的；②函数+的图象是把的图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；③函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的；④函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.19、函数的对称性:①满足条件的函数的图象关于直线对称；②点关于轴的对称点为；③点关于轴的对称点为；④函数关于原点的对称曲线方程为；⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为.区别:若,则图像关于直线对称（自对称）;函数与的图像关于直线互对称；两函数与关于直线互对称.(由确定).⑥如果函数对于一切，都有，⑦形如的图像是双曲线，对称中心是点.⑧的图象、的图象你会画吗？20、几类常见的抽象函数模型：借鉴模型函数进行类比探究。①正比例函数型：；②幂函数型：，；③指数函数型：，；④对数函数型：，；⑤三角函数型：。21、反函数:求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你别忘记注明该函数的定义域哟！①函数存在反函数的条件是一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数；③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数；④互为反函数的两函数具有相同的单调性；⑤f(x)定义域为A,值域为B,则有还原性：,；⑥单调函数必有反函数，但反之不然，如.原函数与反函数图象的交点不全在y=x上（如：单调递减函数），但单调递增函数则交点都在y=x上；只能理解为在x+a处的函数值。22、题型方法总结Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同.Ⅱ求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型.（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。这里值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，得到关于及另外一个函数的方程组。Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?偶次根式被开方数?对数真数?底数?零指数幂的底数?)实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④单调性法；⑤数形结合；⑥换元法：运用换元法时，要特别注意新元的取值范围；⑦分离参数法;⑧不等式法――利用基本不等式求函数的最值。⑨判别式法；=10\*GB3⑩导数法.Ⅴ解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.Ⅵ恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如：若，满足，则的奇偶性是______（答：奇函数）；23、函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率,即,切线方程为.24、常见函数的导数公式:(为常数)；．25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点;⑶求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！千万别上当噢.三、数列26、,注意一定要验证a1是否包含在an中,从而考虑要不要分段.27、;在等差数列中;仍成等差数列；28、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式组,或用二次函数处理;(等比前n项积?……).29、等差数列;;等比数列中;当q=1,Sn=na1；当q≠1,Sn==.30、常用性质：等差数列中：；若，则；等比数列中：；若，则；31、常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,则(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三数等差可设为;四数;等比三数可设；四个数成等比的错误设法：(为什么？q2>0)33、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列,公差为；等比数列的任意连续m项的和（且不为零时）构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列,公比为.注：公比为-1，n为偶数时就不对，此时、-、-、…不成等比数列？34、等差数列,①项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;②项数为时，则;项数为奇数时，.35、求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减法、倒序相加法.关键是要找准通项结构.在等差数列中求；在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论：时，；时，.在等比数列中你还要时刻注意到.常见和：，，；.你还记得常用裂项形式(拆项消去法)吗？如：；；；;；;;常见放缩公式：．36、求通项常法:（1）已知数列的前n项和,你现在会求通项了吗？（2）先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：；叠乘法(迭乘法)：.（4）构造法(待定系数法):形如、（为常数）的递推数列。（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.高中数学资料共享群（734924357）（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。37、“分期付款”中的单利问题、复利问题你熟悉吗？四、三角38、一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如的周期都是,但的周期为，的周期为）．弧长公式,扇形面积公式,1弧度.39、函数y=b（）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=,频率?=kπ时奇函数;=kπ+时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处y为0;（问问自己：正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你熟记了吗？）求单调区间：①确保x系数为正；②让角进入单调区间;④变换:正左移负右移；b正上移负下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②锐角中,,;类比得钝角结论．③,射影定理；④正弦定理:;内切圆半径r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦术语:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，这些统称为1的代换，常数“1”的代换有着广泛的应用．42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视a为锐角)记住奇,偶,象限指什么？三角函数“正号”记忆口诀：“一全正二正弦,三两切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧变角(角的拆拼)：如，，，，等.高中数学资料共享群（734924357）44、辅助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，你要注意到它们各自的取值范围及意义：=1\*GB3①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是；②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是；③向量的夹角的取值范围是.五、平面向量45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、逆向量、共线向量、相等向量、平行向量.注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）46、加、减法的平行四边形与三角形法则:;.47、,向量数量积的性质：设两个非零向量，,其夹角为,则：①;若，,则,的充要条件要熟记.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是个实数,可正可负可为零!).49、若和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一).特别：＝则是三点P、A、B共线的充要条件。50、三角形中向量性质：①过边的中点：；②为的重心；;③为的垂心,；④为的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；外心;⑤向量面积公式你记住了吗？设,．．51、定比分点公式中P分的比为,则=,＞0内分;＜0且外分.＝;若λ＝1则＝(+);设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)则;中点；重心;52、平移公式你记住了吗?（这可是平移问题最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式两边同时乘以一个代数式，如果正负号未定，要注意分类讨论噢!54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你要注意到a，b，且“等号成立”时的条件？积ab或和a＋b其中之一应是定值。注意：①一正二定三等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方.56、(何时取等号？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比、平方差比；②综合法—由因导果;③分析法--执果索因．基本步骤：要证…需证…,只需证…；④反证法--正难则反。⑤放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的：⑴添加或舍去一些项，如：；.⑵将分子或分母放大（或缩小），如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用结论：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设()；⑦最值法,如：方程有解(为的值域)；恒成立,恒成立．58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方;④公式法.不等式的解集的规范书写格式是一般要写成集合的表达式!解指对不等式应该注意指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回。在解含有参数的不等式时，是要进行讨论的（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…．七、立几60、位置：①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法;②直线与平面呢?③平面与平面呢?61、你知道三垂线定理的关键是一面四直线，垂线是关键，垂直三处见，故曰三垂线.62、求空间角：①异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：平移以及补形法、向量法。用“平移法”时要注意平移后所得角是所求角或其补角。②直线和平面所成的角：（1）范围；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；③二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法、法向量法。63、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间有什么联系?三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则:S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?64、空间距离:①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;正四面体(设棱长为)的性质：高，全面积，体积；相邻面所成二面角；外接球半径；内切球半径.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体)．在直角四面体中,两两垂直,令,则⑴底面三角形为锐角三角形；⑵直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半径．65、求球面两点A、B距离:关键是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度数;③用公式L球面距离=球心角×R;纬线半径r＝Rcos纬度.球内接长方体;;.66、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;67、立平斜三角余弦公式,你熟练掌握了吗?68、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题;②将空间图展开为平面图;③割补法;④等体积转化;⑤线线平行线面平行面面平行;⑥线线垂直线面垂直面面垂直;⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.69、长方体:对角线长;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有或；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有高中数学资料共享群（734924357）或．八、解析70、解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质。要注意，但谁也别忘了它还是几何，要注意画图。71、倾斜角,.斜率.当，但是直线是存在的.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0。（截距不是距离”！）直线方程:点斜式;斜截式;一般式:;两点式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,(由局限性，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该先考虑斜率不存在的情形）。直线Ax+By+C=0的方向向量为=(B,-A)=(1,k).72、两直线平行和垂直你记住了吗?点线距呢?是什么?到的角;夹角;73、线性规划：利用特殊点来判断.求最值?求范围?整点问题?（文科）74、圆:⑴圆的标准方程?⑵圆的一般方程圆心为,半径为;⑶圆的参数方程：;⑷圆的直径式方程你会写吗?75、若，则P(x0,y0)在内(上、外).在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。圆的几何性质别忘了。76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式法。一般来说，前者更简捷。弦长公式.77、圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：相离公切线有4条；外切公切线有3条；相交公切线有2条；内切公切线有1条；内含没有公切线；两圆同心．78、直线系方程系：过定点、平行、垂直的直线系方程你会设吗？推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为．时为两圆相交弦所在直线方程，即两圆方程相减可得相交弦所在直线方程；79、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心).圆上一点,则过点的切线方程为：；圆上点切线方程为.过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.80、椭圆:①方程;参数方程;②定义:;注意：当轨迹为线段F1F2;轨迹为;③e=,，椭圆有何特性？④长轴长为2a，短轴长为2b;⑤焦半径：(“左加右减”);左焦点弦,右焦点弦;⑥通径(最短焦点弦),焦准距p=;⑦=,当P为短轴端点时∠PF1F2最大,近地点a-c,远地点a+c;=8\*GB3⑧点在椭圆.高中数学资料共享群（734924357）81、双曲线:①方程;等轴双曲线a=b,.②定义:,注意：是两射线;无轨迹.③e=,;④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐近线交点为中心;在不含焦点的区域.共轭双曲线有何结论？⑤焦半径;、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离;⑥通径(最短焦点弦),焦准距p;⑦=;⑧渐近线或,令“1”为0即可;焦点到渐近线距离为;82、抛物线:①方程;②定义:;③顶点为焦点到准线垂线段中点;范围?轴？焦点,准线;④焦半径，，焦点弦;，；⑤通径2p(最短的弦),焦准距p.点P在内部；⑥已知A、B是抛物线y2=2px上的两点，且则直线AB过定点M（2p，0）.83、你会用相关点法来求有关的对称问题吗？如：求对称点:关于直线？84、相交弦问题:在用圆锥曲线与直线联立求解消元后要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）。①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,焦点弦长;其它用弦长公式:②涉及弦中点与斜率问题常用“差分法”.如:曲线(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=;对抛物线y2=2px(p≠0)有KAB＝.垂直问题:;;.85、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义