线性代数课后答案-习题3和习题4

习题三1.解下列线性方程组：1）3）；2）；。解：1）解为：3）无解。；2）解为：（为自由未知数）；2.讨论，，取什么值时，下列方程组有解。1）；2）。解：1）由于系数行列式，所以当时，由克莱姆法则可知方程组有解。当为时，增广矩阵为，方程组无解；当时，增广矩阵，方程组无解。2）由于系数行列式，所以当且时，由克莱姆法则可知方程组有解。当当时，增广矩阵为，方程组无解。。故当时，增广矩阵为时方程组无解。时方程组有解，当3.证明方程组有解的充分必要条件是。证明：方程组的增广矩阵为：，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是4.判断下列方程组解的存在性：。1）；2）。解：1）方程组的增广矩阵为：。当不等于，，，中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当等于，，中某一数时，方程组有解。2）方程组的增广矩阵为：。当，，互不相同时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当，，有某两个相等时，或，，全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2，方程组有无穷个解。5．设有齐次线性方程组，。讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？解：方程组系数矩阵的行列式。当时，即时，方程组仅有零解；当时，方程组有无穷多解。提高题1.证明：线性方程组证明：1）若方程组有解的充分必要条件是的解。的解全是的解。则有解，设是方程组，从而。2）若的解全是的解，即与矩阵的与同解，所以矩阵秩相等。而它们的转置即为方程组的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩有解。阵与原矩阵的秩相等，所以方程组2.已知平面上三条不同直线的方程分别为：：，：，：。证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为。证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行列式，故。2）若，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程组有唯一解。3．已知方程组（I）与（II）。问方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）与（II）同解。解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为。所以，，。4．给定齐次线性方程组，其中的行列式，且存在一，若是方程组的任一非零解，证明：。证明：由于零解。又，且存在一，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为，基础解系中仅含一个非是齐次方程组的一个非零解，所以。习题四1.设，，。且向量满足，求。解：。2.下列向量组中，向量能否可由，，线性表示？若能，写出表示式，并说明表示式是否唯一。1）2），，，；，，，。解：1）因为2）因为，故。表示式是唯一的。，故表示式不唯一，其中一个表示为。3.判断下列向量组是否线性相关：1）2）3）4），，；，，；，，；，，。解：1）线性相关；2）线性无关；3）当时线性相关，当时线性无关。4）当有某两个相等时线性相关，当互不相同时线性无关。4.设，证明：设有，线性无关，证明，，也线性无关。，即，。由于，，推出线性无关，所以。故，，也线性无关。5.设向量组线性无关，而向量组，线性相关。证明可表示成的线性组合，且表示式是唯一的。证明：因为向量组，线性相关，故存在不全为零的使得。若，则。又线性无关，可得，此与不全为零矛盾，所以。从而有，即可表示成的线性组合。下证表示式是唯一。设有线性无关，可得，可得。由，即表示式是唯一的。6.判断下列两向量组是否等价：1），，；2）；3），，；，，。解：1）因为，故两向量组不等价。2）因为，故两向量组等价。3）因为，所以无论，，的相关性如何，都是线性相关的，故，，与不等价。7.求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量：1）2），，，，。。，，，解：1）因为，所以是一个极大线性无关组，且。2）因为，原向量组即为它的一个极大线性无关组。8.证明：秩（）秩（）+秩（）。证明：记的行向量组为，极大线性无关组为，极大线性无关组为；的行向量组为，它可由。则的向量组为，线性表示。所以秩（）＝秩（）＝秩（）+秩（）。9.用基础解系表示下列方程组的解。1）；2）。解：1）因为，记为，，，，则通解（为任意数）。2）因为，记，，，则通解为（为任意数）。10.设是非齐次线性方程组的解，是的基础解系。证明：线性无关。证明：设有使得（1），若，则：，从而，即为的解，矛盾。故，代入（1），由11.设是一线性空间，线性无关，知，所以线性无关。为中一组向量，记是。证明的子空间（该子空间称为生成子空间）。，则，，从而证明：任意。又对任意数，。所以是的子空间。。证明12.设为一线性空间，求的一个基和标准正交基。证明：因为为齐次线性方程组解，由齐次方程组解得线性组合仍是齐次线性方程组的解知为一线性空间。它的基础解系为的一个基：，。施密特正交化得：，。13.在中，求由基到基，，的过渡矩阵。解：因为。，所以所求过渡矩阵为提高题1.证明向量组与向量组，，，等价。证明：因为（），所以与可以相互线性表示，故两向量组等价。。2．设为阶方阵，。证明：证明：记，则的秩等于向量组，即的秩。又是齐次线性方程组的秩小于或等于的解，从而可由的基础解系表示，所以向量组（基础解系中解向量的个数）。故有：。。3．若。证明：，得证明：因为，由提高题2知：。又，由习题8可得。故。4．设阶矩阵的秩为