23-基于动态利率期限结构模型的定价技术金融计算与建模

第23章基于动态利率期限结构模型的定价技术利用均衡模型对浮动利率债券定价Vasicek和CIR单因子模型都是经典的均衡利率模型。是通过对短期利率运动趋势的描述推导出的即期利率期限结构模型，从而能够为各种利率型金融工具进行定价和风险管理。利用这两种利率期限结构，可以解决浮动利率债券定价的问题。

设为剩余到期期限为年的贴现债券的当前价格。于是有，时间点的即期利率

连续复合利率一年期远期利率一年期连续复合远期利率

纯预期理论将远期利率视为对未来利率的预测，因此在这些均衡模型中，一年期远期利率可以用来替代浮动利率债券未来的基础利率，从而确定未来的现金流。利用现金流折现原理得到浮动利率债券的定价公式其中：P为市场价格；为第期贴现率，即第i个时间点的即期利率；为第i期票息；CF为最后一期返还的面值；为从目前时点到以后第i个计息日的时间长度（以年为单位）；n为债券剩余付息次数。在本章中将国债的折现利率提高0.4%作为金融债的折现利率

参数估计目前，对Vasicek和CIR这两种均衡模型的参数估计方法主要有三类：纯时间序列数据方法（PureTime-SeriesDataMethod）纯截面数据方法（PureCrossSectionalDataMethod）混合时间序列/截面数据方法（JointTime-Series/CrossSectionalDataMethod）。CIR模型理论价格市场价格

其中：是市场上观察到的贴现债券价格；是服从正态分布的残差项，，对于不同的值是独立同分布的；是待估参数；

CIR模型的离散状态形式为，（23.3）其中：为时间间隔，这里取为一天；为服从正态分布的残差，是待估参数。因此，连同风险溢价，总共有5个待估参数。由于假设了这些残差都是服从正态分布的，因此可以采用极大似然法来估计这些参数。假设有T天的短期利率样本数据（即每天的），以及第T天的M个贴现债券价格数据，估计第T＋1天的参数值时，构造CIR模型的对数似然函数如下，假设只以时间序列数据进行估计（即第一类方法），这时，似然函数变为，

计算环境2003年8月13日作为计算时点指标。计算数据集：基准利率数据集ResDat.B2W（七日回购利率两周指数加权平均）；银行间浮动利率金融债券信息数据集ResDat.floatbond。基准利率数据集B2W变量说明：Date—日期；Ir—基准利率。银行间浮动利率金融债券信息数据集floatbond变量说明：Bdcd—债券代码Bdnm—债券名称Couprt—票面利率Freq —年付息频率Matdt—到期日Maturity—到期期限ResDat.Floatbond创建过程：/*第一步，利用数据集Resdat.bdinfo选出银行间浮动利率金融债券，共31只。*/dataa;setResdat.bdinfo;ifCouptp='1'andtrdmktflg='3'andBdtype='3'andIssdt<'13Aug2003'dandmatdt>'13Aug2003'd;keepbdcdbdnmcouprtfreqmatdtmaturity;/*票息类型Couptp='1'为浮动利率债券；交易地点标识trdmktflg='3'为银行间债券市场；Bdtype='3'为金融债券*/run;/*第二步，通过分析2003年浮动利率债券的交易信息和报价信息，挑选出交易和报价频繁、且在定价日有合理价格的8只浮动利率债券，债券代码分别为：020211，020212，020306，030206，000201，000202，000210，000213。*/dataResDat.Floatbond;seta;ifbdcdin(020211020212020306030206000201000202000210000213);run;/*2003年8月13日银行间贴现金融债券共10只。代码分别为：020304020209020216030204030207030208030209030210030212030211*/datab;setResdat.bdinfo;ifIntmd='0'andtrdmktflg='3'andBdtype='3'andIssdt<'13Aug2003'dandmatdt>'13Aug2003'd;keepbdcdbdnmcouprtfreqmatdtmaturity;run;datadiscountbd030813;setresdat.cbdqttn;ifbdcdin(020304020209020216030204030207030208030209030210030212030211)anddate='13Aug2003'd;price=Cldirpr;keepbdcdbdnmdatepriceYrstmat;labelprice='交易价格';run;procprintdata=discountbd030813labelnoobs;run;挑选出在定价日有交易价格的4只贴现债券如表23.1所示。表23.1贴现债券信息（2003年8月13日）债券代码|债券名称日期剩余期限交易价格02021602国开162003-08-132.20274094.6503020703国开072003-08-130.88083798.0203020803国开082003-08-130.40542799.0503021103国开112003-08-130.68138398.40数据预处理/*对原始数据及加工整理*/dataB2W;setResdat.B2W;where'05jan2001'd<=date<='13aug2003'd;run;datafloatbond;setResdat.floatbond;run;dataB2W;setB2W;dir=dif(ir);lagir=lag(ir);ivir=1/lagir;ifdir=.thendelete;run;/*B2W共656个观测值*//*将数据集中的数据转换成矩阵*/prociml;resetdeflib=work;useB2W;list;listall;readallvar{lagir}intoir;readallvar{dir}intodir;readallvar{ivir}intoivir;printirdirivir;storeirdirivir;run;quit;CIR模型利率期限结构拟合/*计算常数（这些常数用于直接代入似然函数中进行最优化计算）*/prociml;resetdeflib=work;loadirdirivir;c1=sum(dir##2#365#ivir);/*，注意，*/c2=-2#sum(dir#ivir);c3=2*sum(dir);c4=sum((1/365)#ivir);c5=-2*656/365;c6=sum(ir#(1/365));printc1c2c3c4c5c6;quit;/*结果显示：C1C2C3C4C5C60.03528660.3776176-0.00885282.768353-3.5945210.0392739*//*纯时间序列估计*//*其中f就是极大似然函数*/prociml;resetdeflib=work;startF_BETTS(x);/*定义似然函数模块*/f=-(656/2)*log(x[1]**2)-1/2*(x[1]**(-2))*(0.0352866416+(0.3776176352)*x[2]*x[3]+(-0.008852)*x[2]+(82.768352682)*x[2]*x[2]*x[3]*x[3]+(-3.594520548)*x[2]*x[2]*x[3]+(0.0392739233)*x[2]*x[2]);/*x[1]表示x[2]表示,x[3]表示。且有：-(656/2)#log(x[1]##2)=;剩余部分=*/return(f);finishF_BETTS;con={000,1501};/*规定参数取值范围的条件矩阵con*/x={0.680.03};/*规定参数初值*/optn={13};/*输出选项,1最大化，0最小化，3输出结果选择项*/callnlpnra(rc,xres,"F_BETTS",x,optn,con);storexres;quit;/*估计结果：OptimizationResultsParameterEstimatesGradientObjectiveNParameterEstimateFunction1X10.0072440.0022122X21.3172010.0000131693X30.0199820.005146ValueofObjectiveFunction=2904.4708579*/时间序列和截面数据估计/*估计结果：

OptimizationResultsParameterEstimatesGradientObjectiveNParameterEstimateFunction

1X10.0072520.0003032X21.8491630.0005143X30.0205200.0025724X40.0183240.0010195X5-1.7997390.000632*//*根据CIR模型的参数估计利率期限结构*/datacirrate;sigma=0.007252;a=1.849163;u=0.020520;lemda=-1.7997399;gamma=((a+lemda)**2+2*sigma**2)**(1/2);r1=0.021027;dot=0to30by0.05;P=(2*gamma*exp((a+lemda+gamma)*t/2)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma))**(2*a*u/(sigma**2))*exp(-(2*(exp(gamma*t)-1)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma))*r1);p1=(2*gamma*exp((a+lemda+gamma)*(t+1)/2)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1))-1)+2*gamma))**(2*a*u/(sigma**2))*exp(-(2*(exp(gamma*(t+1))-1)/((a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1))-1)+2*gamma))*r1);R=-1/t*log(P);/*连续复合利率*/R=(1/P)**(1/t)-1;/*即期利率*/fr=log(P)-log(P1);/*一年期连续复合远期利率*/fr=(P/P1)-1;/*一年期远期利率*/output;end;run;为浮动利率债券定价程序略结果分析用极大似然法，通过Newton-Raphson非线性最优化方法分别估计出两个模型的参数如下。表23.2参数估计结果（2003年8月13日当天的参数）模型估计方法Vasicek纯时间序列1.3198940.0199860.001071时间序列/截面1.5982980.0203520.001073-200.014609CIR纯时间序列1.3172010.0199820.007244时间序列/截面1.8491630.0205200.007252-1.7997390.018324从两个模型的参数估计结果来看，用纯时间序列数据以及混合使用时间序列和截面数据两种方法的估计结果存在一定的差异。而且纯时间序列估计方法得不到风险溢价参数的估计值，只能作为外生变量事先给定，从而有一定的人为主观性。这两种方法的差异说明了在参数估计过程中引入更多有效的信息确实能够提高参数的准确性和有效性。在得出这些参数之后，将它们代入到原模型中可以模拟短期利率的变动过程。模型模拟利率过程与实际利率过程的比较见图23.1。图23.1模型模拟利率过程与实际利率过程（蓝色：CIR模拟利率过程；黑色：Vasicek模拟利率过程；红色：真实利率过程）在估计出两个短期利率模型参数的基础上，结合前文给出的零息票债券理论价格公式，可以推导出利率期限结构。图23.2Vasicek模型的利率期限结构（蓝色：远期利率；黑色：即期利率）图23.3CIR模型的利率期限结构（蓝色：远期利率；黑色：即期利率）为了分析对浮动利率债券定价是否合理，需要将浮动利率债券的理论价格与市场的实际价格进行对照，并分析其中的差异。

表23.3Vasicek模型的浮动利率债券定价结果（2003年8月14日）债券代码债券名称日期理论全价交易全价误差00020100国开012003-08-14102.160102.6853-0.5248600020200国开02.101.032..00021000国开102003-08-14102.366102.33770.0278400021300国开132003-08-14101.694101.9602-0.2666602021102国开112003-08-14103.539103.11480.4246802021202国开122003-08-14104.157103.49730.6601402030602进出06.103.786.03020603国开06.100.875.表23.4CIR模型的浮动利率债券定价结果（2003年8月14日）债券代码债券名称日期理论全价交易全价误差00020100国开012003-08-1498.094102.6853-4.5908800020200国开02.96.706..00021000国开102003-08-14100.288102.3377-2.0501700021300国开132003-08-1499.286101.9602-2.6740002021102国开112003-08-14101.538103.1148-1.5764102021202国开122003-08-14101.822103.4973-1.6750702030602进出06.101.013..03020603国开06.106.717..利用套利模型为可赎回/可回售债券定价可赎回债券和可回售债券定价原理可赎回债券和可回售债券均可以被拆分为一个不含权债券和一个期权；买入一个可赎回债券，相当于买入一个不含权债券，同时卖出一个债券看涨期权。买入一个可回售债券，相当于买入一个不含权债券，同时买入一个债券看跌期权。拆分以后，就可以通过分别为不含权债券和附息债券欧式期权定价，然后将两个价格相加（或相减），来为可赎回债券和可回售债券定价。

附息债券欧式期权定价原理

考虑一个执行价格为X、到期日为T的附息债券的欧式看涨期权。假设债券在期权到期后共提供n次现金流，设第i次现金流为，且发生在时间。定义：：在时间T使得附息债券价格等于执行价格的短期利率的值。：在时间T当时，在时间支付单位1的贴现债券的价值。该期权的收益是：其中，是时间到期的贴现债券在时间T的价格。由于所有的利率都是与短期利率正相关的，因此所有债券的价格都是与负相关的。这意味着，当且仅当时，在时间T附息债券的价值大于X,应当执行。又，当且仅当时，构成附息债券的在时间到期的贴现债券在时间T的值大于。因此，期权的收益为这说明，附息债券欧式期权是n个基于贴现债券的欧式期权的总和，其中，第i个基于贴现债券的欧式期权的执行价格为，到期日为T，其基础债券的到期日为。于是，附息债券欧式期权的定价方法为：附息债券欧式期权的价格等于这n个基于贴现债券的欧式期权的价格的和。

贴现债券的欧式期权定价公式

在连续时间形式的Ho-Lee模型中，基于贴现债券的欧式期权有如下定价公式：在时间0，时间T到期的基于到期日为s的贴现债券（）的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为

其中：L是该债券的面值，X是它的执行价格； ；。

在Hull-White模型中

其中：L是该债券的面值，X是它的执行价格；

；计算环境本章选择2005年1月31日作为计算可赎回债券和可回售债券价格的时间点。取2005年1月31日之前发行，2005年1月31日之后到期的可赎回/可回售政策性金融债，共16支，其发行单位全部为国家开发银行，其中有一支包含的是延期选择权。

为了计算方便，本章仅考虑只包含一次选择权的可赎回/可回售债券；本章的重点考察对象是期权，因此选择2005年1月31日之后行权的债券，共13支。

如果某支债券在2005年1月这一个月内既不存在报价，又不存在成交价格，也就是说在这一个月内完全无法得到有关这支债券的任何价格信息，在这种情况下，这支债券在2005年1月31日这一天的价格，即使可以由以前的价格求得“合理价格”（假设债券的到期收益率不变计算的价格），也是没有可比性的。因此，本章选择在2005年1月有价格的9支债券作为样本债券。然后根据债券在过去三个月内的报价频数和成交频数之和，将这9支债券按流动性排序，选择用流动性较高的前5支债券（0302020，0302150，0402020，040211，040216）来拟合模型，再用拟合的结果为剩下的4支债券（020205，0302130，0302160，040224）定价。计算数据集：价格频数前五的含权债券数据集Resdat.optionbond1，用来计算模型参数；价格频数非前五的含权债券数据集Resdat.optionbond2，用来计算合理价格（定价研究）；利用Nelson-SiegelSvensson扩展模型拟合银行间市场的固定利率政策性金融债券，得到的利率期限结构模型参数Resdat.Nelson。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2具体生成过程见习题1。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2变量说明：Bdcd—债券代码Bdnm—债券名称Par—债券面值Putflg—回售标识，1为是，2为否Callflg—赎回标识，1为是，2为否Matdt—到期日Maturity—到期期限Optionmat—含权期限Couprt1—票面利率1，期权执行日之前的票面利率Couprt2—票面利率2，期权执行日之后的票面利率Freq —年付息频率Price—债券2005年1月31日合理价格（全价）结果分析用债券Resdat.optionbond1中的债券数据拟合Ho-Lee模型，得到的拟合结果为：用债券Resdat.optionbond1中的债券数据拟合Hull-White模型，得到的拟合结果为：

表23.5Ho-Lee模型为可赎回和可回售政策性金融债券定价结果（2005年1月31日）债券代码不含权部分理论价格期权部分理论价格期权种类含权债券理论价格含权债券实际价格02020579.4810.46投资人回售权89.94100.58030213094.180.00发行人赎回权94.18101.01030216086.035.81投资人回售权91.84101.28040224115.360.00发行人赎回权115.3699.77表23.6Hull-White模型为可赎回和可回售政策性金融债券定价结果（2005年