概率论与数理统计-参数估计

第六章参数估计6.1样本与统计量返回主目录

数理统计的任务：研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所观察的问题作出推断。后者称为统计推断问题。6.2点估计第六章参数估计6.3估计量的评选标准6.4正态总体统计量的分布6.5置信区间§1样本与统计量6.1样本与统计量总体：与研究对象的某项数量指标相联系的试验的全部可能的观察值。返回主目录一、总体、个体及总体分布个体：总体中的每个元素，即试验的每个可能观察值称为个体。总体的容量：总体中包含的个体的个数。有限总体：容量为有限的总体。无限总体：容量为无限的总体。6.1.1总体与样本第六章参数估计例如：某工厂生产的灯泡的寿命指标的全体是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；返回主目录

设X表示联系总体的随机试验的观察值，则X是一随机变量，X的所有取值即为总体。总体分布：随机变量X的分布。

检验某工厂生产的零件是正品还是次品，以“1”表示零件是正品，以“0”表示零件是次品，则总体由一些“0”和“1”组成，其中的“0”或“1”为个体。总体：研究对象,数量指标,试验,观察值。§1样本与统计量第六章参数估计

某学校男生的身高的全体是一个总体，每个男生的身高是一个个体。例如：研究某工厂生产的灯泡的寿命从该厂中任取一只灯泡测试它的寿命，用X表示该灯泡的寿命，则X是随机变量，且X的所有取值为总体。一般X服从指数分布，设参数为，则该工厂生产的灯泡的平均寿命为，故该总体为指数分布总体。返回主目录

检验某工厂生产的零件是正品还是次品，引进随机变量§1样本与统计量第六章参数估计

一般，总体的分布未知，或总体的分布已知，但某些参数未知。要对总体进行推断，我们对每个个体研究是不可能的，故须抽出部分个体进行研究。返回主目录二、样本、样本分布样本：从总体中抽出的部分个体。样本容量：样本中所含个体的个数。每抽取一个个体就得一个随机变量，故抽出容量为n的样本就得n个随机变量,从总体中抽取一个个体：§1样本与统计量第六章参数估计

是指对总体进行一次观察并记录其结果.实际上,就是做一次随机试验记录其观察值.返回主目录

容量为n的样本用表示，其中每个都是随机变量,要求它们满足以下两个性质：（1）代表性：每个与总体X同分布；（2）独立性：相互独立，即每个观察结果既不影响其它观察结果，也不受其它观察结果的影响。则称为简单随机样本，简称为样本。简单随机样本:§1样本与统计量第六章参数估计抽取简单随机样本的方法：返回主目录对于有限总体,进行n次有放回抽样，对于无限总体或有限总体容量很大时,进行n次不放回抽样，将抽样的结果按次序依次记为，就得到一个简单随机样本。当次抽样一经完成，就得到一组实数，它们依次是随机变量的观察值，称为样本值。§1样本与统计量第六章参数估计返回主目录如:某宿舍有3个男生,这3个男生的身高的全体是一个总体X={1.75，1.80,1.73},每个男生的身高是一个个体。我们从总体X中抽取容量为2的样本,得到的是2个随机变量,它的观察值是2个实数,共有9组:§1样本与统计量第六章参数估计若为来自总体X的一个样本，则是n维随机变量，且相互独立同分布，设X的分布函数为，故的联合分布函数为：若设总体X的概率密度为，则的联合概率密度为：返回主目录样本分布：§1样本与统计量第六章参数估计返回主目录样本分布:样本的联合分布函数,联合概率密度,

联合分布律.若总体X的分布律为，则样本的联合分布律为：§1样本与统计量第六章参数估计则的联合概率密度为：返回主目录例1设总体

X的一个样本，为来自总体§1样本与统计量第六章参数估计则的联合分布律为：返回主目录设总体

X的一个样本，为来自总体例2§1样本与统计量第六章参数估计§２统计量6.1.2统计量定义6.1.1:设为来自总体X的一个样本，是的函数，若g中不显含任何未知参数,

注：统计量是随机变量。返回主目录样本是总体的代表和反映，但我们抽取样本后并不直接利用样本进行推断，而需对样本进行“加工”和“提炼”，即针对不同的问题构造出样本的函数。第六章参数估计例3设

为来自总体的一个样本，

问下列随机变量中那些是统计量返回主目录§２统计量与抽样分布第六章参数估计定义6.1.2（常用的统计量---样本的数字特征）返回主目录设为来自总体X的一个样本.第六章参数估计它们的观察值分别为：返回主目录§２统计量与抽样分布第六章参数估计分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶矩、样本k阶中心矩。统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。返回主目录§２统计量与抽样分布第六章参数估计返回主目录§２统计量与抽样分布注意：1）说明1:第六章参数估计返回主目录§２统计量与抽样分布注意：1）相互独立，且与总体X同分布，证明：所以相互独立，且与总体同分布。故有由辛钦大数定律（120页定理5.1.3）知

第六章参数估计返回主目录§２统计量与抽样分布n充分大时，即样本的容量充分大时，说明2：第六章参数估计设为来自总体的一个样本，则返回主目录§２统计量与抽样分布定理6.1.1第六章参数估计相互独立，且与总体X同分布，返回主目录§２统计量与抽样分布第六章参数估计返回主目录§２统计量与抽样分布第六章参数估计返回主目录§２统计量与抽样分布说明3：当总体的期望未知时，可用近似代替。的观察值当总体的方差未知时，可用近似代替。的观察值说明4：第六章参数估计返回主目录例1(1)设总体

X的一个样本，为来自总体则(2)则X的一个样本，为来自总体设总体§２统计量与抽样分布第六章参数估计返回主目录设总体

X的一个样本，为来自总体例2则§２统计量与抽样分布第六章参数估计自学：经验分布，直方图。不考。第6章参数估计§6.2点估计§6.2点估计:返回主目录1.矩估计法2.极大似然估计法第6章参数估计§6.2点估计§6.2点估计点估计问题：返回主目录第6章参数估计§6.2点估计6.2.1.矩估计法返回主目录

矩估计法是1889年由英国数学家皮尔逊提出的。n充分大时，即样本的容量充分大时，

矩估计法的理论基础为:第6章参数估计§6.2点估计

矩估计法返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录称为矩估计值。称为矩估计量；第6章参数估计第6章参数估计返回主目录第6章参数估计例1设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从

返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例3（续）第6章参数估计返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计6.2.2.极大似然估计法返回主目录

引例一口袋装有一些黑球和白球、但不知哪种球多，只知道它们的数目比是1：2，今从袋中有放回地取出5个球，发现黑球有2只，白球3只，问袋中哪种球多？解：设X表示取出的5个球中的黑球数，第6章参数估计§6.2点估计返回主目录有放回地取出5个球，发现黑球有2只，白球3只，意指:从总体X中抽出容量为1的样本第6章参数估计§6.2点估计返回主目录从总体X中抽出容量为1的样本上述解法的数学形式如下：第6章参数估计§6.2点估计极大似然估计法返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计第6章参数估计§6.2点估计第6章参数估计§6.2点估计第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计解:

一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，发现废品10件，试用最大似然估计法估计这批产品的废品率。设这批产品的废品率为p(p未知).第6章参数估计返回主目录

由于产品是一大批，所以从中随机抽取75件，发现废品10件，意指：第6章参数估计试求参数p的极大似然估计值。似然函数为返回主目录估计这批产品的废品率p问题转化为：第6章参数估计§6.2点估计-------它与矩估计量是相同的。返回主目录例5(2)（续）第6章参数估计§6.2点估计返回主目录第6章参数估计另解:返回主目录

一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，发现废品10件，试用最大似然估计法估计这批产品的废品率。设这批产品的废品率为p.问题转化为：试求参数p的极大似然估计值。留给同学自己完成。第6章参数估计§6.2点估计返回主目录似然函数为第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例6（续）第6章参数估计似然函数为：返回主目录第6章参数估计似然函数为：返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例7（续）第6章参数估计§6.2点估计返回主目录似然函数为第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例8（1）（续）第6章参数估计X的概率密度为：返回主目录似然函数为：第6章参数估计返回主目录例8（2）（续）第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例8（2）（续）§1点估计返回主目录似然函数为第6章参数估计§1点估计返回主目录第6章参数估计第6章参数估计返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计试求的极大似然估计量。返回主目录第6章参数估计试求的极大似然估计量。故似然函数为返回主目录第6章参数估计返回主目录第6章参数估计§6.2点估计返回主目录书中140页例9

一口袋装有一些黑球和白球，今从袋中有放回地取出n个球，发现黑球有k只，试求袋中黑球和白球数目比R的极大似然估计。分析：设袋中有黑球a个和白球b个，黑球率为p,则R的极大似然估计为第6章参数估计§6.2点估计返回主目录故R的极大似然估计为第6章参数估计§6.2点估计返回主目录似然函数为第6章参数估计§6.2点估计返回主目录例9（续）第6章参数估计§6.2