2022年湖南省娄底市中考数学试卷解析版

2022年湖南省娄底市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给

出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合

题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）

1.（3分）2022的倒数是（）

A.2022B.-2022C.二—D.--J_

20222022

2.（3分）下列式子正确的是（）

A.10B.8C.7D.6

4.（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的

是（）

6Q，

C.D.

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站一一云南昭通

溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代

标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨.5000亿用科学记

数法表示为（）

A.50X1010B.5X10"C.0.5X1012D.5X1012

6.（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知Nl=80°,则

C.100°D.120°

7.（3分）不等式组［3-^1的解集在数轴上表示正确的是（)

12x>-2

—----1----1----1-A—

A.-1012B.-1012

"^>।।1>

C.D.-10I2

8.（3分）将直线y=2x+l向上平移2个单位，相当于（）

A.向左平移2个单位B.向左平移1个单位

C.向右平移2个单位D.向右平移1个单位

9.（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当

时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上

打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经

出生了（)

A.1335天B.516天C.435天D.54天

10.（3分）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，

等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△A8C的内

心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与AABC的面积之比是

)

A.M兀B.近c.M冗D.后

181899

11.（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点尸（相，1）、

Q（1,机）（机>0且加W1）,过点尸、。的直线与两坐标轴相交于

A、B两点，连接OP、OQ,则下列结论中成立的有（）

①点尸、。在反比例函数y=@的图象上；

X

②△AOB为等腰直角三角形；

③0°<ZPO2<90°；

@ZPOQ的值随m的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

12.（3分）若1O'=N,则称％是以10为底N的对数.记作：x=lgN.

例如：102=100,则2=/gl00；10°=1,则0=/gl.

对数运算满足：当M>0,N>0时，lgM+lgN=lg（MN）.

例如：/g3+/g5=/gl5,则（/g5）2+/g5X/g2+/g2的值为（）

A.5B.2C.1D.0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）函数的自变量％的取值范围是

Vx<

14.（3分）已知实数％1,%2是方程%2+工-1=0的两根，则％1%2=

15.（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1〜15号

台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球

编号为偶数的概率是.

16.（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木

地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计

算发现点E是4。的黄金分割点，即OE-0.618AD.延长”尸与

AD相交于点G,则£>£.（精确到0.001）

17.（3分）菱形ABCO的边长为2,NA3c=45°,点尸、。分别是

BC、BO上的动点，CQ+PQ的最小值为.

AD

//

BpC

18.（3分）如图，已知等腰△ABC的顶角NBAC的大小为仇点。

为边8C上的动点（与8、C不重合），将4。绕点A沿顺时针方

向旋转0角度时点。落在处，连接80'.给出下列结论：

①△ACQ之△A8D'；

②△ACBS/XAZ）。'；

③当8D=C□时，△4Q。'的面积取得最小值.

其中正确的结论有（填结论对应的应号）.

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19.（6分）计算：（2022-7T）°+（1）*+|1-V3|-2sin60°.

2

20.（6分）先化简，再求值：（x+2+人）+-X—，其中％是满足

x-2X2-4X+4

条件xW2的合适的非负整数.

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21.（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任

督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动,

取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课

外阅读时间（A：10/z以上，B：8/z-10/?,C：6h〜8h,D：6h以

下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完

整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共名;

（2）a,h；

（3）补全条形统计图.

22.（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握

力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端

固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm,即PQ=

3cm.开始训练时，将弹簧的端点。调在点3处，此时弹簧长尸B

=4cm,弹力大小是100N,经过一段时间的锻炼后，他手部的力

量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，

使弹力大小变为300N,已知NP3C=120°,求3c的长.

注：弹簧的弹力与形变成正比，即产=%・△%,攵是劲度系数，

是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为新，在外力作用

下，弹簧的长度为％,则△%=%-%（）.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23.（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合

作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净

化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐

树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,若一片国槐树叶与一片银

杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.

（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;

（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,

据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平

均滞尘总量约多少千克？

24.（9分）如图，以8c为边分别作菱形8cOE和菱形BbG（点C,

D,方共线），动点A在以8C为直径且处于菱形8CFG内的圆弧

上，连接£尸交于点O.设NG=9.

（1）求证：无论e为何值，Eb与3C相互平分；并请直接写出使

MLBC成立的e值.

（2）当6=90°时，试给出tanNASC的值，使得£尸垂直平分AC,

请说明理由.

F

六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

25.（10分）如图，已知3。是的角平分线，点O是斜边

AB上的动点，以点。为圆心，03长为半径的。。经过点。，与

OA相交于点E.

（1）判定AC与。。的位置关系，为什么？

（2）若3C=3,CD=1,

2

①求sinND3C、sinNABC的值；

②试用sinZDBC和cosZDBC表示sinZABC,猜测sin2a与sina、

cosa的关系，并用a=30°给予验证.

26.（10分）如图，抛物线y=1x2-2%-6与％轴相交于点4、点3,

与y轴相交于点C.

（1）请直接写出点A,B,。的坐标；

（2）点P（m，n）（0</n<6）在抛物线上，当相取何值时，

的面积最大？并求出△P8C面积的最大值.

（3）点尸是抛物线上的动点，作尸石〃AC交工轴于点£,是否存

在点R使得以A、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

2022年湖南省娄底市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给

出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合

题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）

1.（3分）2022的倒数是（）

A.2022B.-2022C.-J—D.-

20222022

【解答】解：2022的倒数是」

2022

故选：C.

2.（3分）下列式子正确的是（）

235

A.Q3・Q2=Q5B.(a)=aC.(ab)2=ab2D.a3+a2=a5

【解答】解：A、43・Q2=Q5,故A符合题意;

B、（〃）3=/，故J?不符合题意；

C、（ab）2=a2b2,故C不符合题意；

D、与q2不能合并，故。不符合题意；

故选：A.

3.（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示:

编号12345678910

月份26861047887

这组数据（月份）的众数是（）

A.10B.8C.7D.6

【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8,共出

现3次，因此众数是8,

故选：B.

4.（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的

是（）

【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站—云南昭通

溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代

标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨.5000亿用科学记

数法表示为（）

A.50X1010B.5X10"C.0.5X1012D.5X1012

【解答】解：5000亿=500000000000=5X10”,

故选：B.

6.（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知Nl=80°,则

VZ2+Z3=180°,

.•.Z2=180°-80°=100°.

故选：C.

7.（3分）不等式组，品?1的解集在数轴上表示正确的是（）

2x>-2

A.-1012B.-1012

—II।——1>11（1__>>

C.-1012D.-1012

【解答】解：吗,

12x>-2②

解①,得xW2,

解②，得%>-1.

所以原不等式组的解集为：-1<XW2.

故符合条件的选项是C.

故选：C.

8.（3分）将直线y=2x+l向上平移2个单位，相当于（）

A.向左平移2个单位B.向左平移1个单位

C.向右平移2个单位D.向右平移1个单位

【解答】解：将直线y=2x+l向上平移2个单位后得到新直线解析

式为：y=2%+l+2,即y=2x+3.

由于y=2x+3=2（x+1）+1,

所以将直线y=2x+l向左平移1个单位即可得到直线y=2x+3.

所以将直线y=2x+l向上平移2个单位，相当于将直线y=2%+l向

左平移1个单位.

故选：B.

9.（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当

时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上

打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经

出生了（）

I

A.1335天B.516天C.435天D.54天

【解答】解：孩子自出生后的天数是：

1X7X7X7+3X7X7+3X7+5

=343+147+21+5

=516,

答：那么孩子已经出生了516天.

故选：B.

10.（3分）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，

等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内

心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是

)

A.«冗B.近C.百冗D.近

181899

【解答】解：作AD.LBC于点。，作BELAC于点E,AD和BE

交于点O,如图所示，

设46=2a,则

VZADB=90°,

AO=7AB2-BD2

：.OD=lAD=®a,

33

nX（浮a）?义看

.•.圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是:-----——

2a73a

2

=-M-7兀

18

故选：A.

11.（3分）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知点P（"z,1）、

Q（1,m）（m>0且mWl）,过点P、。的直线与两坐标轴相交于

A、8两点，连接OP、OQ,则下列结论中成立的有（）

①点P、。在反比例函数丁=史的图象上；

X

②AAOB为等腰直角三角形；

③0°<ZPOQ<90°；

④NPOQ的值随m的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【解答】解：•，点P（m，1）、Q（1,m）（m>0且加/1）,则/力

1=1•m=m,

...点P、。在反比例函数了=典的图象上，故①正确;

X

设直线。。为）=履+4则（城+b=l,解得『=-1,

lk+b=mlb=m+l

直线PQ为y—-x+m+1,

当y=0时，x—m+1；当％=0时，y—m+1,

.,.A(/n+1,0),B(0,m+l),

：.OA=OB,

VZAOB=90°,

...△A03为等腰直角三角形，故②正确；

\•点P（m,1）、Q（1,m）（加>0且小Wl）,

...P、。都在第一象限，

.*.0°VNPOQ<90°,故③正确；

;•直线。。为》=4:,直线OQ为y=/nx,

m

.•.当0<m<1时，ZPOQ的值随m的增大而减小，当m>\时,

ZPOQ的值随m的增大而增大，

故④错误；

12.（3分）若1O'=N,则称％是以10为底N的对数.记作：x=lgN.

例如：1O2=IOO,则2=/gl00；10°=1,则0=/gl.

对数运算满足：当M>0,N>0时，lgM+lgN=lg（MN）.

例如：/g3+/g5=/gl5,则（/g5）2+/g5X/g2+/g2的值为（）

A.5B.2C.1D.0

【解答】解：原式=/g5（/g5+/g2）+lg2

=lg5Xlg（5X2）+lg2

=/g5/glO+/g2

=lg5+lg2

=/glO

=1.

故选：c.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）函数=的自变量％的取值范围是3

VX-1

【解答】解：由题意得：

x-l>0,

解得：x>1,

故答案为：X>1.

14.（3分）已知实数即，即是方程9+x-1=0的两根，则汨%2=

1.

【解答】解：,方程好+%-1=0中的。=〃=1,C=~1,

•«X1X2=――=11•

a

故答案是：-1.

15.（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1〜15号

台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球

编号为偶数的概率是工.

一~15—

【解答】解：由题意可得，

从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶

数的有7种可能性，

故摸出的球编号为偶数的概率是工，

15

故答案为：工.

15

16.（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木

地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计

算发现点E是AD的黄金分割点，即。E^0.618A。.延长“尸与

AD相交于点G,则EG^0.618DE.（精确到0.001）

【解答】解：•.•点石是4。的黄金分割点，且QE^0.618A。,

.,.DE=AE^O.618,

ADDE

由题意得：

EG=AE,

殷心0.618,

DE

EG=0.618DE,

故答案为：0.618.

17.（3分）菱形49co的边长为2,NA3c=45°,点尸、。分别是

BC、上的动点，CQ+PQ的最小值为

AD

Q

BpC

【解答】解：连接AQ,作A”,3c于”,

•.•四边形A8CD是菱形，

：.AB^CB,ZABQ=ZCBQ,

•：BQ=BQ,

:.4ABQ咨XCBQ（SAS）,

：.AQ=CQ,

当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，

•.•4B=2,NABC=45°,

:.AH=®

...CQ+尸。的最小值为我,

故答案为：&.

18.（3分）如图，已知等腰△ABC的顶角NBAC的大小为。，点。

为边8C上的动点（与反C不重合），将49绕点A沿顺时针方

向旋转0角度时点。落在处，连接8D'.给出下列结论：

②△ACBs/vim；

③当8D=CD时，△ADD'的面积取得最小值.

其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）.

【解答】解：由题意可知AC=AB,，ZCAD=ZBAD',

...△ACZ）名△ABD',故①正确；

'：AC=AB,AD^AD',/BAC=/D‘AO=e,

•••-A-C=--A-B,

ADAD'

:.XACBsXADb,故②正确；

'：ADD',

»SAADDZ—（AD）2,

S&CBAC

\,当AO_L3C时，A。最小，△A。。'的面积取得最小值.

而AB=AC,

：.BD=CD,

.,.当BD=CD时，△490’的面积取得最小值，故③正确；

故答案为：①②③.

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19.（6分）计算：（2022-K）°+（1）,+11-V3l-2sin60°.

2

【解答】解：原式=1+2+在-1-2X近

2

=1+2+%-1-73

=2.

,3

20.（6分）先化简，再求值：（%+2+一\）-^――---，其中％是满足

x-2X2-4X+4

条件％<2的合适的非负整数.

23

【解答】解：原式=（3+人）4-^_

2

x-2x-2（x-2）

22

=x.（x-2）

x-2x，

=乌

X

•.*0且％-2W0,

.,.%W0且%W2,

••%=1,

则原式=上2=-1.

1

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21.（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任

督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动,

取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课

外阅读时间（A：10/i以上，B：8力〜10九C：6/z〜8九D：6h以

下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完

整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共200名;

（2）a=30>b=50；

（3）补全条形统计图.

【解答】解：（1）本次调查的学生共：10・5%=200（名）,

故答案为:200；

(2)。=也义100=30,^=100X100=50,

200200

故答案为：30,50；

(3)C类人数为200X15%=30,

补全条形统计图如图:

22.（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握

力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端

固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm,即PQ=

3cm.开始训练时，将弹簧的端点。调在点8处，此时弹簧长

弹力大小是TOON,经过一段时间的锻炼后，他手部的力

量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点C处，

使弹力大小变为300M已知NPBC=120°,求的长.

注：弹簧的弹力与形变成正比，即尸=占4%,左是劲度系数，

是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为％。，在外力作用

下，弹簧的长度为％,则△%=%-%（）.

【解答】解：由题意可得,

%()=3cm,

100=%(4-3),

解得％=100,

:.F=m^x,

当尸=300时，300=100X(PC-3),

解得PC—6cm,

由图可得，

NB43=90°,ZP5C=120°,

，NAP"30°,

•；PB=4cm,

.,.AB=2cm,PA=VPB2-AB2~（cm）,

'：PC=5cm,

AC-7PC2-PA2=2娓Cem）,

.,.BC=AC-AB—（2迎-2）cm,

即3c的长是（2企-2）cm.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23.（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合

作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净

化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐

树叶一年的平均滞尘量的2倍少4/咫，若一片国槐树叶与一片银

杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.

（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;

（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,

据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平

均滞尘总量约多少千克？

【解答】解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为劝吆，一片

国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg,

由题意得：卜4y=62,

Ix=2y-4

解得：『=40,

ly=22

答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg,一片国槐树叶一年

的平均滞尘量为22mg；

(2)50000X40=2000000(mg)=2kg,

答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.

24.(9分)如图，以8c为边分别作菱形8cOE和菱形BbG(点C,

D,方共线)，动点A在以8C为直径且处于菱形8CFG内的圆弧

上，连接£尸交于点O.设NG=9.

(1)求证：无论e为何值，Eb与8c相互平分；并请直接写出使

MLBC成立的e值.

(2)当6=90°时，试给出tanNABC的值，使得£尸垂直平分AC,

请说明理由.

：.CF//BG,CD//BE,CB=CF=CD=BG=BE,

'：D,C,尸共线,

：.G,B,E共线，

：.DF//EG,DF=GE,

四边形DEGF是平行四边形，

；.E尸与BC互相平分.

当E尸，尸G时，VGF=BG=BE,

:.EG=2GF,

:./GEF=30°,

.•.8=90°-30°=60°；

(2)解：当tanNA8C=2时，£厂垂直平分线段AC.

理由：如图(2)中，设AC交于点J.

二•四边形3C/G是菱形,

：.ZG=ZFCO^90°,

•.•E/与3c互相平分，

OC=OB,

:.CF=BC,

：.FC=2OC,

tanZFOC=tanNABC,

，/ABC=/FOC,

J.OJ//AB,

'：OC=OB,

，CJ=AJ,

•「BC是直径，

：.ZBAC=ZOJC=90°,

...£/垂直平分线段AC.

六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

25.(10分)如图，已知BD是Rt^ABC的角平分线，点O是斜边

48上的动点，以点。为圆心，08长为半径的。O经过点。，与

OA相交于点E.

(1)判定AC与。。的位置关系，为什么？

(2)若BC=3,8=3,

2

①求sinNOBC、sin/ABC的值；

②试用sinZDBC和cos/DBC表示sinNABC,猜测sin2a与sina、

cosa的关系，并用a=30°给予验证.

【解答】解：（1）AC是。0切线，理由如下:

如图，连接0。，

OD=OB,

：./ODB=/OBD,

•：BD是△ABC的角平分线，

：.NOBD=/DBC,

：./ODB=/DBC,

二.OD//BC,

.•.NOD4=NC=90°,

•.•0。是。。的半径，且AC，。。，

二.AC是。。的切线；

(2)①在RtZXQBC中，'：BC=3,CD=1,

2

BD=VCD2+BC2=｛既产+九=萼"，

3__

sinZDBC=%—2—?Z1_,

BD3455

2

如图2,连接。E,OD,过点O作OG,8c于G,

...四边形OOCG是矩形,

二.OG=CD=&,

2

•「BE是。。的切线，

：.ZBDE=90°,

cosZDBE—cosZCBD,

•••B—C=BD,

BDBE

3代

-3=2

3M5BE

~2~

4

08=工8石=互