2019届数学大复习第十二章概率、随机变量及其分布12.2古典概型学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE33学必求其心得，业必贵于专精PAGE§12.2古典概型最新考纲考情考向分析1。理解古典概型及其概率计算公式.2。会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国Ⅰ对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现,属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题。1．基本事件的特点（1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件（除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型．（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2）每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq\f(1，n)；如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P（A)＝eq\f（m,n）。4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽”与“不发芽”．(×)(2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面"，这三个结果是等可能事件．(×)（3）从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(×)(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为eq\f（1，3）.(√）（5)从1，2,3，4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。2。（√)（6）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为eq\f(n,m）.（√)题组二教材改编2．[P127例3]一个盒子里装有标号为1，2,3,4的4张卡片,随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（)A.eq\f（1，4） B.eq\f（1,3）C.eq\f(1，2） D.eq\f(2，3）答案D解析抽取两张卡片的基本事件有：(1，2）,（1，3），(1,4),（2，3)，(2,4），（3,4)，共6种,和为奇数的事件有：（1，2）,（1，4），（2,3)，（3,4），共4种．∴所求概率为eq\f(4,6）＝eq\f（2,3)。3．［P145A组T5］袋中装有6个白球,5个黄球，4个红球，从中任取一球,则取到白球的概率为（)A。eq\f（2,5） B.eq\f(4,15）C.eq\f（3，5） D。eq\f(2,3）答案A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f（6,15）＝eq\f(2，5)。4．［P134A组T6］已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．答案0。6解析从5件产品中任取2件共有Ceq\o\al(2，5)＝10(种）取法，恰有一件次品的取法有Ceq\o\al(1，2）Ceq\o\al（1,3）＝6（种），所以恰有一件次品的概率为eq\f(6，10)＝0.6.题组三易错自纠5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（)A.eq\f(1，2）B.eq\f（1,3)C。eq\f（2,3）D.eq\f（5,6）答案C解析设两本不同的数学书为a1,a2,1本语文书为b,则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2,a2a1b，a2ba1,ba1a2,ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P＝eq\f(4,6）＝eq\f(2,3)。6．（2017·合肥检测）已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2,若a∈{4，6,8｝，b∈｛3,5，7｝，则该函数有两个零点的概率为________．答案eq\f(2，3）解析要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4b2〉0，又a∈｛4，6，8｝，b∈｛3，5，7｝，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9（种），其中满足a>b的取法有（4，3)，(6,3），（6，5),（8,3)，(8，5)，（8,7），共6种，所以所求的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3）。题型一基本事件与古典概型的判断1．下列试验中，古典概型的个数为（）①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段［0,5］上任取一点,求此点小于2的概率．A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，硬币质地不均匀,不是等可能事件，所以不是古典概型;②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型．2．（2018·沈阳模拟）有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：(1）试验的基本事件；(2）事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3）事件“出现点数相等”包含的基本事件．解（1)这个试验的基本事件为(1，1)，（1，2）,（1，3)，（1,4），(2,1），(2,2)，(2,3），（2，4)，（3,1)，（3，2），（3，3)，(3,4)，(4，1），(4,2），(4，3)，(4,4）．(2)事件“出现点数之和大于3"包含的基本事件为(1，3),（1,4），(2,2），(2，3），（2,4),（3,1)，(3，2)，（3，3)，(3,4)，（4,1)，（4,2）,(4，3)，（4，4)．（3）事件“出现点数相等"包含的基本事件为（1，1)，(2，2)，（3，3),(4,4)．3．袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型？解（1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．（2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球",C:“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1，11),而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为eq\f（5，11），同理可知摸到黑球、红球的可能性均为eq\f（3，11),显然这三个基本事件出现的可能性不相等,故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．题型二古典概型的求法典例（1）（2017·全国Ⅱ）从分别写有1，2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(）A。eq\f（1,10)B。eq\f(1,5）C.eq\f（3，10）D。eq\f(2，5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f（2,5).(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球,2个黄球,从中一次随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为________．答案eq\f(5，6)解析基本事件共有Ceq\o\al（2，4)＝6（种)，设取出两个球颜色不同为事件A。A包含的基本事件有Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(1,2）＋Ceq\o\al（1,1）Ceq\o\al（1,1）＝5（种）．故P(A）＝eq\f(5,6).(3）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻"，则事件A发生的概率为________．答案eq\f(1，12)解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为Aeq\o\al（5,5)＝120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右,当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后,其他三个位置的属性也确定，故共有Ceq\o\al(1,5）Ceq\o\al（1，2）＝10(种)可能，所以事件A出现的概率为eq\f（10，120）＝eq\f（1，12).引申探究1．本例（2)中，若将4个球改为颜色相同,标号分别为1,2,3，4的四个小球,从中一次取两球,求标号和为奇数的概率．解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为（1,2)，(1,4),(2,3)，（3,4),共4种，所以P(A)＝eq\f(4,6）＝eq\f(2,3）。2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．解基本事件数为Ceq\o\al（1,4）Ceq\o\al（1,4)＝16，颜色相同的事件数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al（1，1)＋Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al(1，2）＝6，故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)。思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．跟踪训练（2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解(1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},｛A1，A3｝，｛A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3},｛A2，B1},｛A2,B2}，｛A2,B3｝，{A3，B1}，｛A3，B2}，{A3,B3}，{B1，B2｝,｛B1，B3}，｛B2,B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：｛A1，A2},｛A1，A3｝，｛A2,A3}，共3个,则所求事件的概率为P＝eq\f(3，15）＝eq\f(1，5)。(2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1，B1｝,｛A1，B2｝,{A1，B3｝,{A2,B1},｛A2,B2｝,｛A2，B3},{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3｝，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，｛A1，B3｝，共2个，则所求事件的概率为P＝eq\f(2，9）.题型三古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元）的茎叶图如图所示,其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；（3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．解(1)由题意知，样本数据的平均数eq\x\to（x）＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20，6）＝12.（2)样本中优秀服务网点有2个，概率为eq\f（2，6）＝eq\f(1,3)，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×eq\f(1,3）＝30（个）．（3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1,a2），(a1，b1),（a1，b2)，(a1，b3），（a1,b4），(a2，b1），（a2，b2），(a2，b3）,(a2，b4)，（b1，b2），(b1，b3)，(b1，b4），（b2,b3)，(b2,b4），（b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：（a1，b1），（a1，b2),（a1,b3），(a1，b4），（a2，b1）,(a2，b2），（a2，b3），（a2，b4)，共8种,故所求概率P(M)＝eq\f(8，15）。思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．跟踪训练从某学校2016届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组［160,165)，…，第八组［190,195］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0。008＋0。016＋0。04＋0.04＋0.06）×5＝0。82,所以后三组的频率为1－0。82＝0.18,人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0。008×5＝0。04，人数为0。04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9,所以m＝4，即第六组人数为4,第七组人数为3，频率分别为0。08，0。06，频率除以组距分别等于0.016,0。012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2）由（1）知身高在［180，185)内的男生有四名,设为a,b,c，d，身高在［190,195］的男生有两名，设为A，B。若x,y∈［180,185），有ab，ac，ad,bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190，195］，只有AB1种情况；若x，y分别在[180,185),［190，195］内,有aA，bA，cA，dA,aB，bB，cB,dB共8种情况，所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件｜x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，故所求概率为eq\f（7，15)。六审细节更完善典例(12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1，2，3，4。（1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求n<m＋2的概率．（1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后,可用集合的形式表示）把取两个球的所有结果列举出来↓｛1,2｝，｛1，3｝，｛1,4｝，｛2,3｝，{2,4｝，{3,4}↓两球编号之和不大于4（注意：和不大于4,应为小于4或等于4)↓｛1，2}，｛1,3}↓利用古典概型概率公式求解P＝eq\f（2，6)＝eq\f（1,3)(2）两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示↓(1,1)，（1，2）,（1,3），（1，4),（2,1）,(2,2），（2，3），（2，4)，（3,1）,（3,2)，(3,3)，(3，4），(4，1)，（4，2），（4,3），(4,4)↓（注意细节，m是第1个球的编号，n是第2个球的编号)n<m＋2的情况较多,计算复杂↓(将复杂问题转化为简单问题）计算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情况为(1,3),（1，4)，（2,4)↓P1＝eq\f(3,16）↓(注意细节，P1＝eq\f（3,16)是n≥m＋2的概率，需转化为其对立事件的概率)n〈m＋2的概率为1－P1＝eq\f(13,16)。规范解答解（1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1，2}，{1，3｝，｛1,4}，{2，3｝，｛2,4｝，｛3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有{1,2｝,｛1,3}，共2个．因此所求事件的概率P＝eq\f(2,6）＝eq\f(1,3).[4分]（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1，1），（1,2），（1，3)，（1,4),（2，1)，(2,2)，(2，3），(2，4），(3，1),（3,2),(3,3）,（3,4），(4，1）,(4，2)，(4,3），（4,4)，共16个．[6分］又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3）,（1，4)，(2,4），共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P1＝eq\f(3,16).[10分]故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f（3，16)＝eq\f(13,16)。［12分]1．（2016·全国Ⅰ）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.eq\f(1,3）B。eq\f(1,2）C。eq\f(2,3）D。eq\f(5,6)答案C解析将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有（（红黄）、（白紫)），（(白紫)、(红黄)）,(（红白）、（黄紫）)，(（黄紫)、（红白）），（（红紫)、(黄白）），（(黄白)、(红紫）），共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄）、(白紫))，（(白紫）、（红黄))，（(红白)、(黄紫)），(（黄紫),（红白)），共4种，故所求概率为P＝eq\f（4,6)＝eq\f(2,3).2．（2016·全国Ⅲ）小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3，4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A.eq\f(8,15)B。eq\f(1，8)C.eq\f(1，15)D。eq\f（1,30）答案C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2，3，4，5中的一个数字,所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种,概率为eq\f（1,15),故选C.3．（2017·山东)从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(）A。eq\f（5,18)B.eq\f（4,9)C.eq\f（5,9)D.eq\f(7，9)答案C解析由题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同）＝eq\f(5×4，C\o\al(2,9））＝eq\f(5,9）.故选C.4．（2018·梅州一模)甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，则选出的2名教师来自同一学校的概率为(）A.eq\f（5,9） B.eq\f（4,9)C。eq\f(3，5) D。eq\f(2,5)答案D解析从6名教师中任选2名教师的种数为Ceq\o\al（2,6)＝15，其中来自同一学校的种数为2Ceq\o\al（2，3)＝2×3＝6，故所求事件的概率P＝eq\f(2,5），故选D.5．(2017·深圳一模)一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4，6.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（)A.eq\f（1,4） B.eq\f(1,2)C。eq\f(1,3） D。eq\f(2，3)答案B解析因为从四个球中随机选三个共有Ceq\o\al(3,4)＝4(种）不同的选法，其中能构成等差数列的三个数分别为（2，3,4），（2,4,6）,共2种不同的选法，所以根据古典概型概率公式，得P＝eq\f（2,4)＝eq\f（1,2)，故选B.6．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为（）A.eq\f(11,36) B。eq\f（7，36）C.eq\f(7，11） D。eq\f(7，10)答案C解析先后两次出现的点数中有5的情况有：(1，5),（2，5)，（3，5),(4，5)，(5,5)，(6,5），（5，1),(5，2)，(5，3），（5，4)，(5,6），共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5，5），(6，5)，(5,1)，(5,2)，（5，3），（5，4)，(5，6)，共7种．故所求事件的概率P＝eq\f（7,11)。7．（2016·四川)从2，3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．答案eq\f（1，6)解析从2,3，8，9中任取2个不同的数字，记为(a，b)，则有（2，3）,(3，2)，（2,8），（8,2)，(2,9），（9,2），（3，8)，（8，3)，（3，9），(9，3），(8,9）,（9,8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，∴P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6）。8．(2018届唐山模拟）无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4〉a5时称为波形数，则由1，2,3，4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．答案eq\f（2，15）解析∵a2〉a1，a2>a3，a4>a3,a4〉a5，∴a2只能是3,4，5中的一个．(1)若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2,这时共有Aeq\o\al(2，2)＝2(个）符合条件的五位数．(2）若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2，3，共有Aeq\o\al（3，3）＝6（个)符合条件的五位数．（3)若a2＝5,则a4＝3或4,此时分别与（1）(2)中的个数相同．∴满足条件的五位数有2（Aeq\o\al（2,2）＋Aeq\o\al（3，3)）＝16(个)．又由1,2,3,4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数有Aeq\o\al(5，5）＝120(个），故所求概率为eq\f(16，120）＝eq\f（2，15）。9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球,5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________．答案eq\f（10，21)解析从袋中任取2个球共有Ceq\o\al（2,15)＝105(种)取法，其中恰好1个白球、1个红球共有Ceq\o\al(1，10)Ceq\o\al(1,5）＝50（种）取法，所以所取的球恰好1个白球、1个红球的概率为eq\f（50,105)＝eq\f（10,21).10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案eq\f（1，2)解析从10件产品中取4件，共有Ceq\o\al(4，10)种取法，取到1件次品的取法有Ceq\o\al(1,3）Ceq\o\al（3，7)种，由古典概型概率计算公式得P＝eq\f（C\o\al（1,3）C\o\al（3，7），C\o\al(4,10）)＝eq\f(3×35，210)＝eq\f（1，2).11．设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n,令平面向量a＝（m，n），b＝（1，－3)．（1）求事件“a⊥b”发生的概率；(2)求事件“|a|≤｜b|”发生的概率．解（1)由题意知,m∈{1,2,3，4，5，6｝，n∈{1，2,3，4,5,6},故(m,n)所有可能的情况共36种．因为a⊥b,所以m－3n＝0，即m＝3n,有(3，1)，(6，2），共2种，所以事件“a⊥b”发生的概率为eq\f（2，36）＝eq\f(1,18）。(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10,有（1,1)，(1，2)，（1,3)，（2,1),（2,2)，(3,1），共6种，其概率为eq\f（6，36)＝eq\f（1，6)。所以事件“|a|≤|b｜”发生的概率为eq\f（1，6).12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解（1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6，300)＝eq\f(1，50），所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50）＝3,100×eq\f(1，50）＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.（2）设6件来自A，B,C三个地区的样品分别为：A；B1,B2，B3；C1,C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：｛A，B1}，{A，B2}，｛A,B3｝，｛A,C1}，{A，C2},｛B1,B2｝，｛B1，B3｝,｛B1，C1}，{B1，C2},｛B2，B3｝,｛B2，C1}，{B2,C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1,C2},共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区"，则事件D包含的基本事件有：｛B1，B2｝,｛B1，B3}，{B2，B3｝,｛C1，C2}，共4个．所以P(D）＝eq\f(4,15）,即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f（4,15)。13．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2,3，4，5,6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P（A)最大时,m＝________。答案7解析1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5，1＋5＝6,1＋6＝7,2＋1＝3，2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．14.（2016·山东)某儿童乐园在“六一"儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由．解(1)用数对(x，y）表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S＝｛(x，y)｜x∈N，y∈N,1≤x≤4,