专题突破之《折叠问题的处理技巧》

《折叠问题的理技巧》考点动向折叠问题在教材中有所体现是立体几何传统的典型问题合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念同折问题既可以考查空间想象能力考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．方法范例例（2005湖南）如图７－１，已知

A

是上、下底边长分别为2和，高为

的等腰梯形，将它沿对称轴

OO1

折成直二面角．（Ⅰ）证明：

BO1

；（Ⅱ）求二面角

OAC1

的大小．O

CDO

C

DO

BA

OB

图７－１

A解

本题是立体几何中有证有求的典型问题以借助向量解答助三垂线定理证明直线异面垂直然作二面的平面角并之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．解１（：由题设知

OAOO1

，

O

z

COB1

．所以

是所折成的直二面

D角的平面角OA．可以为点，OAOB,所在直线分别为轴轴1轴建立空间直角坐标系如７２则相关

A

OB－２

各点的坐标是

(3,0,0)

，

，C(0,1,3)

，O

．从而

AC

，

11111111BO，3．所以ACBO11

．（II）解：因为

BO3

，所以

OCBO1

，由（I

1

，所以

BO1

平面

OAC

，

BO

是平面

的一个法向量．设

n,y

是平面

O

的一个法向量，由

0,

取

z

，得

3)

．设面角O的大小为，、BO的方向可知，>1所以

,1|n||BO|4

．即二面角

O1

的大小是arccos

34

．解法２（I）证明：由题设知

OAO，1

OB，以是折成的直二面角的平面1角，即

OA

．从

AO

平面

1

，

是

B

在面

OC的射影．因为1

A

图７３B

OBOO

O33，OOO1

所

，OC36

，从而

OC1

，由三垂线定理得

BO1

．（II）解由（I

OC，BO，知BO面OAC．OC111

，过点E作AC于F，结OF（图７－３），则是OF在平AOC内射11影，由三垂线定理得

OFAC1

．所以

OFE1

是二面角

O1

的平面角．由题设知OAOOOC11

，

所

以

OA1

2

OO1

3

，ACOA1

2

1

2

，从而

A23F11AC

，又

OOsin

O13所以sinFEOF41

，即二角

O1

的大

小是arcsin

．规律结折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．考点误区分析解答折叠类问题最忌没有认识折叠前后的变化就盲目解答要加强对比认变化产生的解题影响及作用需培读图能力以及动手能力平时训练时需对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的要亲自动手做一下到考试时不用动手也可以想到具体情形．同训１．（2005·江）设M,N是角梯形

CABCD

两腰的中点，

DE

于

（如图７

N－４）．现将

△ADE

沿

DE

折起，使二面角DE为45A在面内的射影恰为点BM,的连线与所成角

－４

的大小等于_．２东７５腰形

ABCD中，

ABCD，60E为AB的点，将与BEC别沿上折起，使

AB

重合于点

，则

PDCE

三棱锥的外接球的

图７－５体积为（）(

36()2

()

(D)３．（·江苏在三角形中、、分是AC、BC边上的点，满足AE:EB＝＝CP:PB＝（图７－５将△AEF沿EF折到△AEF使二面角A－EFB成二面角，连结AB、AP．11

的位置，

11（Ⅰ）求证AE⊥平面；1（Ⅱ）求直线A与面A所角的大小；1（Ⅲ）求二面角－AP－的小（用反三角函数表示）1AEEF

A

FBPC

B

PC［参答］１．［解析］如图７－６，可知

为二面角

D

CDEB的平面角，于是BEA可知，则取中，MPNB，等直

N角三角形，有AEBP，AEMN．

［答案］

．

图７－６２．［解析］所求实