专题三导数与三次函数

(完整版专三导数与三次函专题三

导数与三函三次函数f(、b、c、d且0）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。例1、已知函数f

⑴求函数f

的单调区间及极值；⑵求

上的最值.解令

x2、f

＋

的变化情况如下表－1（）0－

10

＋f∴ff

极大值的单调递增区间是的单调递减区间是

极小值当

时，f

有极大值当x时，

有极小值f⑵f

，

∵f

上只有一个极值点∴f

上的最小值为－，最大值为18变式一、已知函数f

x

x

，其他不变解f1

(完整版专三导数与三次函∴f

没有极值f

上的最小值为f

,最大值为f变式二、已知函数f

；其他不变解：f

x△

∴f

没有实数根∴f立∴f

没有极值f

上的最小值为f

，最大值为f变式三、已知函数，，数t为何值时,函数与y的图象的交点有一个、二、12三个？解由例1画出函数

2

的大致图象如图，观察图象，可得y当

或

时，函数1

与

2

只有一个交点。

O－

x当t

或t

时，函数1

与

2

－2有二个交点当

时，函数与y有三交点.12变式四、a为何值时，函数(3x有个零点？两个零点三个零点？解：令fxx2

、

、(x)

的变化情况如下表

－1

(－

1

1,1）f

＋0－

0＋2

(完整版专三导数与三次函f(x)

极大值

极小值∴(f(x)

的单调递增区间是的单调递减区间是当x，f

有极大值f当

时，f

有极小值

要使

f(

有一个零点需且只需

，解得要使x)

有二个零点，需且只需

，解得a要使

f(

有三个零点，需且只需

,解得变式五、已知函数f

，如果过点A

可作曲线yf

的三条切线，求a

的取值范围解：设切点为f∴切线方程f

即0

0∵切线过点

∴20即3∵过点

可作f

的三条切线∴方程

有三个相异的实数根设

x

ax

，则g

x

当x0

变化时，g

的变化情况如下表x0

0

a

g

＋0－0＋g

极大值

极小值3

11111由单调性知:①若极大值a

a或极小值,方程g

只有一个实数根；②若

或

3

a

，方程g

只有两个相异的实数根，综上，要使方程g

有三个相异的实根，须且只须a3a

，所以，所求的a

的取值范围是变式六、已知函数3

3

2

ax

,若函数f

的图象与x

轴有且只有一个交点，求a的取值范围解：∵f

∴a①若a

，则∴f

在R

上恒成立∴f

在

上单调递增∵f∴当a

时，函数

的图象与x

有且只有一个交点.②若a，则∴f

有两个不相等的实根，不妨设为、x且x11

2，则121当

变化时，f

的取值变化情况如下表

x1

,x2

x

2

,

f

＋

0

－

0

＋f∵x211

极大值f∴a1

极小值f∴f

1

13ax33

x14

11112319944322992(完整版专三导数111123199443229921xaxx33同理f2

x21

∴f1

f2

19

xx12x121112a

34

令f

1

f

2

，解得a当0a时，f∴当a

时，函数f

的图象与x

轴

y

y=f(x)有且只有一个交点∴f图所示：

x

x

x－a综上所述，的取值范围是5

(完整版专三导数与三综合练习题1、已知数在点x处取得极大值5,导函数yf0

的图象经过点

；如图所示y求：⑴0

的值；⑵a

、

、c

的值北京）

O

1

2

x解⑴由数形结合可知当1x2

时，f

；∴f

上递减当

或2

,

f

，∴f∴当0

时，f

有极大值⑵解法一、f

由已知，得

f解得

解法二、由数形结合可设f又f

ax

∴

ma3mm6

3m1(完整版专三导数与三3m1由a∴

m3∴

，c32若函数fx3ax3

2

在区域

内为减函数在区间实数

的取值范围国卷）解：f

ax令f

解得x1

，xa2①当a即2时，f②当a

即2

时函数f

内为减函数，在为增函数，依题意应有：当所以4a

，解得a综上，

的取值范围是3、已知函数x在

处取得极值，⑴讨论f

的极大值还是极小值；⑵过点yf

的切线，求此切线方程(2004天）解：⑴f

，依题意有f

f

即

3a解得

∴f

x∴f令

得1

，x27

(完整版专三导数与三次函若

∴f

的单调递增区间为若

,则f

∴f

的单调递减区间为所以，

是极大值，

是极小值⑵曲线方程为，点上设切点为My0

，则点M

的坐标满足x0

x因f

00

程为00

0

∵点

在切线上∴160

x00

0

解得x0∴切点为

，切线方程为x变式:若第⑵小题A

，其他不变提示:仿照上题中的解法，有0002xx000

x0

或x

12所求的切线方程为

或9xy3、已知函数f

ax

在x

23

与

时都取得极值。⑴求

、

的值及函数f

的单调区间；⑵若对

恒成立求的取值范围。(2006江西)解：⑴f

ax

,依题意,得8

,13与，递减区间为22(完,13与，递减区间为224fa，解得

∴f

x

变化时，f

的变化情况如下表

23

23

1

f

＋0

－

0

＋f

极大值

极小值所以

f

的递增区间为

22,33⑵f

x

x

3

1x2

2

，x当x

23

时，27

为极大值，而∴f

为最大值要使f

恒成立只须c

f解得

或c思考：若样?4、已知函数

是R

上的奇函数，当

时

f

取得极值

，⑴求

的单调区间和极大值；⑵证明：对任意x

，x

，不等式f12

恒成立。⑴解：由奇函数的定义，应有即

3

2

∴注意:可用fd因此，f

9

22(完整版专三导数与三次函22由条件f

为f

的极值得

即

解得a

，c∴f

f

f当

，故f

在单调区间

上为增函数当x

,故f

在单调区间

上为减函数当x

在单调区间所以f

在

处取得极大值，极大值为

⑵证明：由⑴知

f

，x

是减函数且ff所以对任意x12

M5已知

，

,函数f

的图象与函数

的图象相切⑴求b

与

的关系式(用表示b设函数F湖北）

内有极值点的值范围解：⑴依题意,令

，得2xx

12由

f

，得∵

∴⑵F

3

bx

2

2

∴F令

即3x

2

2

10

(完整版专三导数与三次函则△

2

2

2

c

①若，则

有一实根上，且变化时

的变化如下

x0

x

f

＋

0

＋于是x0

不是函数F