(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题学案 理

第3数的合题[考考向分]1.数的综合题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等.以差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一利S，的系式求an1．列}中与S的关系nn，a＝2．数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比数求通项公式．(2)在已知数列{a}中，满足a－＝f(n，且(1)f(2)＋…＋(n)可求，则用累加法n求数列的通项a.a(3)在已知数列{a}中，满足＝)，(1)·(2)·f)求，则可用累乘法求数a列的通项a(4)将递推关系进行变换，转化常见数(差、等比数)．例1已等差数列{a}，＝，＋＝8，数列}中b＝2，前n项S满：nn1

3232

＝＋∈)．(1)求数列}，{b}的通项公式；a(2)设＝，求数列}的前项和T.nn解(1)∵＝，＋＝，∴2＋＋＋d＝，＝，a＝n(n∈N)．∵b＝＋∈)，①n∴b＝＋2(∈N，≥2)②由①－②，得b－＝－＝(∈，≥2)，n∴b＝(∈N，≥2)．n∵b＝，＝，∴{是首项为2，公比为2的等比数列，∴b＝(∈)．an(2)由＝＝，b2123－1n得＝＋＋＋…＋＋，222221123－1T＝＋＋＋…＋＋，222222两式相减，得11112nT＝＋＋…＋－＝－，222222n＋∴T＝－(∈N)．2思维升华给S与递推关系，求a，用思路：一是利－＝≥2)转化为nnna的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的推关系，先求出S与n之间的关系，再nn求.跟踪演练1(2018·绵阳诊断考)已知数{的前项满：a＝＋.n(1)求数列}的通项公式；(2)若>0，数列

an项和为T，试问当为值时最小？求出最小值．n解(1)由已知aa＝＋，①nn可得当n＝1时，＝＋，得a＝0或＝，当≥2时，由已知可得aa＝＋，②2

22①－②得a(－)n

＝.若＝，则＝，此时数列的通项公式为＝0.n若＝，则2(－)a化简得a＝a，nn即此时数列a}是以2为首项，为比的等比数列，故＝(∈

)．综上所述，数列}的通项公式为＝或a＝2.n(2)因为a>0故＝n设＝log

a，则＝－，然是等差数列，32由－5≥0解得n≥5，以当＝n5时，最小5－＋)最小值为T＝＝＝10.热点二数与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S的表式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系条进准确的转化列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2(2018·遵义联考)已知函f()ln(1＋)－.1＋(1)若≥0时，()≤0求λ的小值；1111(2)设数列}的通项a＝＋＋…＋，明：＋>ln2.23nn4(1)解由知可得f(0)＝，x∵(＝ln(1x)－，1＋λ∴′()＝，f′(0)＝①若λ≤0，则当x时，fx)>0，x)单调递增，∴()≥(0)0，不合题意；1②若0<<，21－2λ则当0<<时f′()>0f()单调递增，λ1－2λ∴当0<<时f()>(0)0，不合题意；λ3

2＋2n＋nn＋1n＋＋n＋2n＋＋＋>ln.2n2n＋2n＋2n＋22＋22＋2n＋nn＋1n＋＋n＋2n＋＋＋>ln.2n2n＋2n＋2n＋22＋22n＋24＋ln＋＋＋ln，＋＋＋…＋＋＋n＋1n＋22－n1③若λ≥，2则当>0，′(，()单调递减，当≥0时(x)≤(0)＝，合题意．1综上，≥21∴实数λ的小值为.21111111(2)证明由a－＝＋＋＋＋＋＋，nn4n＋1n＋n＋32n－241若λ＝，(1)知f(＝ln(1＋－，且当>0，(x)<0，即

x>ln(1＋)2＋2x12＋1＋1令＝，则>ln，n211n＋∴＋>ln，11n＋＋>ln，211n＋＋>ln，2…，112242－1以上各式两边分别相加可得111111＋＋＋＋＋＋＋＋>ln

n＋n2n＋2nn＋1＋2－即

11111n＋1n2n＋32－12>ln

n＋n＋＋22···…·＝ln＝ln，1∴a－＋>ln2.nn4思维升华解数列与函数、不式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视．(2)解题时准确构造函数，利用数性质时注意限制条件．4

()1TTT12n1×22×3n－n223n－()1TTT12n1×22×3n－n223n－n(3)不等关系证明中进行适当的缩．跟踪演练2(2018·南昌模拟)知等比数{}的前项和为S∈N)满足＝－，nS2－(1)求a}通项公式；111(2)记＝log·(∈，数列的前n项和，求证：＋＋…＋<2.nnn(1)解设}的公比为，由－＝，＝－得，2a－＝，a所以＝，以q＝又为S＝－，a所以＋＋＝－，所以a＝，所以＝

(∈)．(2)证明由1)知＝log(·)n＝log(2×2

)＝n－，1＋所以＝n＝，21111111所以＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋n11111＝＋－＋－＋…－1＝－<2.热点三数的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型它的项是什么项是多少然后转化为解数列问题求时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．例3科研究证实，二氧化碳温室气体的排(称碳排)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市年的碳排放总量定不能超过550万，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年碳放总量为400吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(>0)(1)求市2019年碳排放总量(用的子)；5

()()()()()(]()()()()()(](2)若市远不需要采取紧急限排措施，求的值范围．解设2018年碳排放总量为,2019年的碳排放总量为a，…，(1)由已知，a＝400×0.9，a＝0.9×400×0.9＋＋m＝400×0.9＋0.9m＋3241.9.(2)＝0.9×400×0.9＋0.9m＋＋m＝400×0.9＋0.9＋＋，…，a＝400×0.90.9m＋＋…＋＋＝400×0.9＋

1－1－

＝400×0.9＋m1－0.9＝400－10m

×0.9＋m由已知∈，≤550，(1)当400－10＝，m＝时，然满足题意；(2)当400－10>0，即<40时由指数函数的性质可得400－10m综合得m<40；(3)当400－10<0，即>40时由指数函数的性质可得10≤550，解得≤55，综合得40<≤55.

×0.9＋10≤550，解得m≤190.综上可得所求m的范围是0，

.思维升华常数列应用题模型求解方法(1)产值模型：原来产值的基础为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值＝(1＋).(2)银行储蓄复利公式：按复利算利息的一种储蓄，本金a元，期的利率为r，存期为，则本利和y＝(1＋r).(3)银行储蓄单利公式：利息按利计算，本金为a元每期的率为，存期为，则本利和＝(1＋．(4)分期付款模型：a为贷总年利率b为额还款数，则＝跟踪演练(2018·上海崇明模)2016年崇区政府投资8千元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项6

32233223目2016年该项目的净收入为5百万元预在相当长的年份里年净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为1年，f(n)为1年至此后第n(∈N)年的累计利润注含第年累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万)，且当()正值时，认为该项目赢利．33值3≈1.12(1)试求fn的表达式；(2)根据预测，该项目将从哪一开始并持续赢利？请说明理由．解(1)由题意知，第1年至后第(∈N)的累计投入为8＋2(－1)＝＋6(千万元)，111第1年至此后第n(∈年的累计净收入为＋××22212＝＝千元．31－2

1＋…＋×2∴(＝

－－(2n＋3＝

－n－7(千万元．(2)方法一∵(＋fn)＝3321＝2∴当≤3时，(＋fn)<0，故当≤4时，(递减；当≥4时(n＋－()>0，故当≥4时，(递增．15又(1)－<0，23(7)214<0，(8)

－23≈25－23＝2>0.∴该项目将从第8年始持续赢利．答：该项目将从2023年始并持续赢利．7

3方法二设()＝

－x－x，3则′()＝－，′()＝，2222得＝≈＝，3ln3－21.1－ln2∴≈4.从而当x∈[1,4)时，′(x)<0，(x单调递减；当∈(4，＋∞)，′(x，(x单调递增．15又(1)－<0，23(7)

－21≈17－21＝－4<0，3(8)232>0.∴该项目将从第8年始持续赢利．答：该项目将从2023年始并持续赢利．真题体验1．(2018·全国Ⅰ记S数列{的前项．若＝1，则＝________.nnn答案－解析∵＝＋，n≥2，＝＋，n∴a＝－＝2a－2a(≥2)，n即＝(n≥2)．当＝，＝＝＋，得a＝－1.∴数列}是首＝1，公＝等比数列，a－∴S＝＝＝－，1－1－2∴S＝－＝－63.2．(2017·山)已知x}是各项均为正数的等比列，且＋＝，x－＝2.(1)求数列}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中依次连接点(,1)(，…，(，＋1)8

得到折线P…，求由该折线与直线y＝，xx＝所围成的区域的面积T.n解(1)设数列}的公比为.由题意2.所以3

－q－＝，由已知得q>0所以＝，＝因此数列{x的通项公式为x＝(∈．n(2)过，P，…P向x作垂线，垂足分别为Q，，….由得x－＝－n

＝，记梯形P的面积为b，nn1由题意得b＝×2＝n＋1)×2，2所以＝＋…＋＝3×2

＋5×2＋7×2

＋…＋(2n－1)×2

＋n＋1)×2

.①又2＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2＋(2

，②①－②得－T＝3×2＋＋＋…＋2)－(2＋1)×232＝＋21－2

－(2n＋1)×2.＋所以＝(∈)．2押题预测已知数列{a的前项S满关系式S＝ka，不等于的常．n(1)试判断数列{a}是否为等比数列；1(2)若＝，＝2①求数列{a的通项公式及前n项的表达式；n9

12121222n＋n＋312121222n＋n＋34n＋，1②设＝logS列}足＝＋·nnb

列}的项为Tn时n4n＋求使<S＋成的最小正整数n的．n－n22押题依据本综合考查数列知，(1)考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力．解(1)若数列}是等比数列则由＝＝＝，而a＝.又取＝，得＋，于是＝，显然矛盾，故数{a}不等比数列．，(2)①由条件得

，解得，从而＝.当≥2时，由S＝，a＝aa，nnn1即＝2a，此数列是首项为＝，比为2等比数列．n，＝，综上所述，数列}的通项公式为＝nn从而其前n项和＝(∈N*

)．②由①得b＝－，1从而＝＋·2.记＝

111＋＋＋2×33×4111111＝－＝

n2记＝1·2＋2·2＋…n·2，则2＝1·2＋2·2＋＋·2，1两式相减得C＝(＋，210

n1从而＝＋－1)·2＋22＝

n＋1＋n－1)·2，n＋24＋1n＋则不等式<＋可为＋<2＋，n－2222即－90>0，因为n∈N

*

且n≠1，故>9从而最小正整数n的值11

a所以aa所以aA组专通关1．(2018·安徽省“皖南八校”)删去正整数数列1,2,3，…中所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2项是)A．2062C．2064

B．063D．065答案B解析由意可得，这些数可以为12,3,25,6,7,8,3，…，第k个平数与第＋1个平方数之间有2个正整数，而数列12,3,25,6,7,8,3，，45

共有2025项去掉45个平方数后，还剩余2－＝980(个数，所以去掉平方数后第2018项应在2后的第38个，即是原来数列的第2063，即为2063.2．(2018·百校联盟联)已知列}满足0<<1－a＋4＝，数n

4a8为公差的等差数列，{}的项为S，则满足S>10的n的小值为)nnA．60B．C．121D．122答案B4解析由－a＋＝，a＋＝，4所以＋＝＋8(1)＝n，a24＝＋＋＝＋，n2所以＋＝2＋1，即－2＋1＋2＝022＋±22－所以＝2

＝2＋±2－，因为0<<1，所以＝2＋1－2n－，S＝2＋1－1，由得2＋1>11，所以>60.12

()＝()aaa1－a1－1－()＝()aaa1－a1－1－－，aaa－3．(2018·商丘模)已知数列{a满足＝，－≥2(n∈N)，S为列}的前n项nn和，则)A．≥2＋

B．≥nC．≥2

D．≥2答案B解析由意得a－≥2，a－≥2a－≥2，…，a≥2，∴a－＋＋－a＋…＋－≥2(n－，n∴a－≥2(n－，∴≥21.n∴a≥1，a≥3，a≥5，，≥2－，∴a＋＋…＋≥13＋5＋…2－，n∴S≥(1＋n－＝2

.6－4．(2018·河南省豫南豫北联)数{}满＝a＝(∈)，对n∈，有5－111>＋＋＋成，则最小的整数()aA．3B．4C．D．6答案Ca－解析由＝，－＝a－，a1∴

1a－

111＝－，a－1－1111即＝－，a>1.a－1－11111∴＋＋＋＝－

＋1111－－＝

11a－a－1111∴＋＋＋＝－<5.111又对∈，都有k＋＋…＋成立，an∴≥5.故最小的整数k5.13

nn5．(2018·马鞍山联考已fn)表正整数n的所因数中最大的奇数，例如12的因有1,2,3,4,6,12，则(12)3；的因数有1,3,7,21，(21)＝21那么

)的值为()A．2488B．495．498．500答案D解析由(n的定义知f()＝(2，且若n为奇则(＝n，则＝f(1)＋(2)＋…＋(100)＝＋＋＋＋99＋＋(4)＋…＋(100)＝

50×1＋992

＋＋(2)…＋(50)＝＋)，∴

f()＝

)－

f()＝2500.

1a2＋＋6于数列a}义H＝

为}“优值”在已知某数{的“优n值”H＝2

，数{a－的前n和为，≤对任意的n恒立，则实数k的取nn值范围为________．712答案5a2＋＋解析由意可知＝，∴a＋＋…＋

a＝·2

，a2＋＋

＝－1)·2，由①－②，得2

a＝n·2

－(≥2∈

)，则＝＋n，又当＝1时，＝，合上式∴a＝n＋∈N)，∴－＝－k)·＋2n令＝－)·＋，712∵S≤，b≥，≤0解得≤≤，3514

333333712∴k的取范围5

.47已知数列{a的前项为S－1)(4＋1)＋nn

的最小值为_________．答案444解析∵＝a－1)，∴＝a－1)(≥2)，334∴a＝－＝()n4∴a＝，又a＝＝(a－，∴a＝，∴{a是首项为4，比为4的比数列，n∴a＝，16416∴(4＋1)＋＋1416＝＋＋≥2＋2＝，164当且仅当n2时取＝”．8．知数列的首项＝，其前n项和为S，且满足S＋＝4n(≥2∈N)若对n任意∈，<a恒成立，则a的值范围是______________答案(3,5)解析由件S＋＝(n≥2，∈)，得＋S＝4(＋，n两式相减，得a＋＝＋，n故＋a＝8n＋，两式再相减，得a－a＝8，n由＝，得＋＋＝16－，从而＝－＋8(n－＝n＋－2；n由＝，得＋＋＋a＋＝＝＋，从而4＋2a＋－1)＝－4＋2，－a由条件82<8－4＋a，42，解得3<<5.15

＋22＋>＋－＝＋＝－n＋22＋>＋－＝＋＝－n9．知数列中，＝，点P(，)(∈N在直线x－＋＝上．n(1)求数列}的通项公式；123(2)若函数fn＝＋＋＋…＋(∈，且>2)求函数f(n)的最小值；n＋n＋n＋a＋1(3)设＝，示数列}的前n项，试问：是否存在关于的整式g，使得＋ann＋S＋＋＝S－1)·()对于一切不小于2的然数n成立？若存在，写出gn)的n解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解(1)点Pa，)直线－＋＝上，即－a＝1且＝，n∴数列}是以1首项，为差的等差数列，∴a＝＋n－1)·1＝(∈)．12n(2)∵(＝＋＋…＋，n＋＋22n12－＋∴(＋1)＝＋＋＋＋＋，n＋＋32＋12＋111∴(＋1)－()＝－＋＋＋n2＋

n＋1n2＋222＋1n＋11n1222＋＋111＝－>0，2312＋＋∴(＋1)－()>0，∴()是调递增的，23故()的最小值是f＝.201111(3)∵＝＝＋＋＋…＋，n23∴S－

1＝n≥2)，n即－(－1)S＝＋，∴(－－n－2)S＝＋1，…2－＝S＋，∴－＝＋＋＋＋－1，∴S＋＋＋＝＝－1)·(n，16

n31n31∴(＝n.10．(2016·四)已知数列{的首项为1，为数列的前n项，qS＋，其中nnn>0∈.(1)若2a，，＋成等数列，求数列的通项公式；y54－3(2)设双曲线x－＝的心率为e，e＝，明e＋…＋.a33(1)解由知S＝1，得＝qS＋，两式相减得到a＝，又由S＝nqS＋得到＝qa，a＝qa所有n≥1都立．n所以，数列a}是首项为1，公比为q的比数列．从而＝

.由2，，2等差数列，可得2＝＋，即2＝＋，(2＋1)(－2)＝，由已知，>0，故＝2.所以a＝

(∈．(2)证明由1)可知，＝

.y所以双曲线x－＝的离心率ae1a＝1＋n54由＝1＋＝，解得q＝.33因为1＋

>，所以1＋

(∈N．－于是＋＋＋>1＋＋＋q＝.－14－3故＋＋＋>.B组能提高aa11．数{满足－＝，a＝5则数列a}的100项，能被5整除的2＋n＋3项数为)A．42B．C．30D．答案Ba解析∵列满足－＝，2＋2n＋17

－＝，＝，2＋3bbbbbbb－＝，＝，2＋3bbbbbbbbbb即

aa22＋32×1＋3∴数列1为首，1为公的等差数列，∴

a＝，2＋3∴a＝n

＋n，由题意可知，项个位数

15

24

37

44

55

60

79

82

99

100∴每10项有4项被5整除∴数{的前100项中，能被5整的项数为40.12江西省重点中学协作联设＝1是数(x＝x－－a＋1(∈)的极值点，数列}满足a1，＝，＝loga，若[x表不超过x最大整数，则201820182018＋＋＋等于()A．2017B．018C．2019D．020答案A解析由意可得f′()3－x－，∵＝函数(的极值点，∴′(1)3－－＝，n即－3a＋2＝∴a－＝(－a，n∵a－＝，∴a－＝2×1，－＝2×22，…－＝2n以上各式累加可得a＝2.∴b＝loga＝log2＝.201820182018∴＋＋＋111＝018＋＋＋2×32018×2019

，＝018

12

20181＝018－＝017＋.20192019201820182018∴＋＋＋

＝017.18

13．知数列的前n项为，且满足－＝－∈N．nn(1)证明：数列{a