高二上学期数学竞赛

高二上学期数学比赛高二上学期数学比赛高二上学期数学比赛高二上学期数学比赛一、选择题（每题6分,满分30分）2.设a,bR,ab≠0，那么，直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是yyyyOOOxOxxx(A)

(B)

(C)

(D)2.一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于

P,直线

PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为

（）12C．3D．31A．2B．223.当0k11xkx的解的个数是（）时，方程2A．0B．1C．2D．34.若x5,2)tan(x+)+cos(x+)的最大值是[]，则y=tan(x+123366(A)12(B)11(C)11123223(D)56655．O是平面上必定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P知足OPOA(ABAC),[0,),则P的轨迹必定经过△ABC的（）|AB||AC|A．外心B．心里C．重心D．垂心.填空题(每题8分,满分40分)不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________7.设F1,F2是椭圆x2y21的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F294的面积等于.__________8.2＜0,x2≤0,xR}．若AB,则实数a的取值范围已知A={x|x4x+3R},B={x|x2(a+7)x+5是____________.9.若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a–8=0有解，则a的取值范围是________.10.已知x,y都在区间(2,2)内，且xy＝1，则函数u=4+9的最小值是________.4x29y2三.解答题(满分50分)（此题满分10分）有三个城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一此中心院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直均分线上的P点处，（成立坐标系如图）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于哪处？2.（此题满分

10分）已知

a,b,c

∈R，函数

f(x)=ax

2+bx+c.（1）若

a+c=0，f(x)

在[-1,1]

上的最大值为

2，最小值为

5

，证明：

a

0且|

b

|<2；2

a（2）若

a>0，p、q知足

p+q=1，且对随意的实数

x、y

均有

pf(x)+qf(y)

≥f(px+qy)

，证明：0≤p≤1.3.（此题满分15分）已知直线l与圆x2y22x0相切于点T，且与双曲线x2y21订交于A、B两点若是线段AB的中点，求直线l的方程..T4．（此题满分15分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线订交于点P，此中λ∈R.试问：能否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明原因.高二数学比赛答案1—5BDDCB。6.（-3，125）U（51，3）.7.4.8.[-4,∞29.[8/31,72/23]10.12/511.本小题主要考察函数，不等式等基本知识，考察运用数学知识剖析问题和解决问题的能力.满分10分.解：由题设可知，ab0,记ha2b2,设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f(y)2(b2y2)(hy)23(yh)22h22b2.33所以，当yh时，函数f(y)取得最小值.答:点P的坐标是(0,13a2b2).312.剖析：（1）用反证法。假定a=0或|b|≥2，由a+c=0，得a=-c，故f(x)=ax2+bx-a.a当a=0时，f(x)=bx，是一个单一函数，其最大值为|b|，最小值为-|b|，又已知得：|b|=2且-|b|=5，矛盾，故a0。2当|b|≥2b|≥1，函数f(x)时，|-在[-1,1]上也是单一函数，由上可知矛盾，故ba2a||<2。a综合以上两种状况，得a0且|b|<2；a(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)-[a(px+qy)2+b(px+qy)+c]=ap(1-p)2x2-2apqxy+aq(1-q)y2=apq(x-y)2≥0,由于a>0,(x-y)2≥0，所以pq≥0,p(1-p)≥0，故0≤p≤1.13.直线l与x轴不平行，设l的方程为xkya代入双曲线方程整理得(k21)y22kaya2102分而k210，于是yTyAyBak进而xTkyTaa即T(ak2,a2212k2)6分kk111k点T在圆上(ak)2(a)212a0即k2a2①1k21k2k2由圆心O(1,0).OTl得kOTkl1则k0或k22a1当k0时，由①得a2,l的方程为x2；当k22a1时，由①得a1K3,l的方程为x3y1.故所求直线l的方程为x2或x3y115分14.本小题主要考察平面向量的观点和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质，曲线与方程的关系等分析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。解：依据题设条件，第一求出点P坐标知足的方程，据此再判断能否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=(1,0),c=(0,a),∴ci(,a),i2c(1,2a).所以，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y－a=－2ax.消去参数，得点P（x,y）的坐标知足方程y(y－a)=－2a2x2,a2x2(y2)1,整理得1(a)2①82由于a>0，所以得：（i）当a=2时，方程①是圆方程，故不存在符合题意的定点E和F