2021-2022学年江苏省镇江市市区七年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年江苏省镇江市市区七年级（下）期末数学

试卷

1.计算：（一}2=.

2.分解因式：x2-l=.

3.已知a>b，用“>"或号填空：a-1b-1.

4.一个多边形的内角和等于900。，则它的边数是.

5.命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是.

6.请写出方程x+2y=7的一个正整数解是.

7.如图，把一张长方形纸片ABCO折叠，使得点。落在边BC上的点D'处，已知41=

20。，则42=°,

8.9m2-57n+1+-（3m—l）2.

9.关于x,y的二元一次方程组；二;;若丫23,则后的取值范围是.

10.如图，数轴上表示的是关于x的一元一次不等式组a”的解集，则“的

取值范围是.

-------------1O・

02

11.2022年中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，冬奥会火炬外壳采用了重量

轻、耐高温的碳纤维及其复合材料制造而成，具有“轻、固、美”的特点.已知某

种成型的碳纤维直径约6微米（1微米=10-6米），这种碳纤维的横截面的面积约为

米2（兀，3.14,结果用科学记数法表示）.

12.一块三角形空地ABC,三边长分别为20〃?、30，〃、40/n,李老伯将这块空地分成甲、

乙两个部分,分割线为AD,要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，

但又不超过甲块地的面积的三分之二，则8长的取值范围是.

13.下列计算正确的是（）

A.a3+a3=2a3B.a3-a3=a9C.a3a3=aD.（a3）3=a6

14.下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是（）

A.4cm,5cm,6cmB.5cm,6cm,\2cm

C.5cm,1cm,1cmD.6cm,8c，”,lOc/n

15.下列命题：①两直线平行，内错角相等；②三角形的外角和是180。；③互为相反数

的两个数的和为零；④若n>l,则TI2—1>O.其中，假命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如图，一副直角三角板按图1所示的方式摆放(它们的直角顶点重合)，现将含30。角

的三角板A8C固定不动，将含45°角的三角板AOE绕直角顶点A以每秒10。的速度

顺时针转动一周(如图2),设运动时间为，秒，若三角板AOE的直角边AE与三角

板ABC的斜边BC平行，贝h等于秒()

A.6或18B.12或18C.6或24D.12或24

17.我们知道：21=2,22=4,……，2】。=1024,那么2-3。接近于()

A.1C)T°B.IO—C.10-8D.IO-

18.《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱.甲语乙、丙：“各将公等

所持钱半以益我，钱成九十."乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成

七十.”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六.”若设甲、乙

各持钱数为X、乃则丙持钱数不可以表示为()

A.56-^-^B.180-2x-yC.140-2x-yD.140-x-2y

19.(1)计算：(-2)2—(}-2+(2022—兀)°；

(2)化简:(2a-l)2—(a—2)(2a+1)；

(3)因式分解：x2(y-2)+4(2-y).

20.⑴解方程组:+

(-2x<0

(2)解不等式组：x-l7X+2.

(25

21.如图，在△ABC中，ABAC=90°,过点A作4E〃BC,过点C作CF〃4B,AE与

CF相交于点D.

(1)依题意，补全图形；

(2)求证：乙4DC与乙4cB互余.

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A

22.如图，方格纸中每个小方格的边长为1个单位长度，AaBC为格点三角形(顶点都

在小正方形的顶点处).

(1)在这张网格纸上按要求画图：

①将△ABC向右平移2格，再向上平移2格，使得点B'与点C重合，画出平移后的

△A'B'C；

②画一个以AC为直角边的格点RtAACE,再画一个以A、B为顶点的格点等腰△

ABG；

(2)在上述你所画的三角形中，符合与△力BC的面积相等的三角形是.

23.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融凭借可爱的外形收获了大批粉丝.如果

购买20个冰墩墩手办和15个雪容融挂件，一共需要花费2630元；如果购买10个

冰墩墩手办和20个雪容融挂件，一共需要花费2040元.

(1)冰墩墩手办和雪容融挂件的单价分别是多少元？

(2)如果七(1)班要购买冰墩墩手办和雪容融挂件共25个，并且预算总费用不超过

20000元，那么最多能购买多少个冰墩墩手办？

24.【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么。2+儿>。匕+川”时，小明

的证明方法如下：

证明：a>b>0,

a2>.二a2+be>.

•：a>b,c<0,

・•・be>.Aab+be>.

・,・a2+儿>泌+ac.

【问题解决】

(1)请将上面的证明过程填写完整；

(2)有以下几个条件：①a>b,②a<b,③a<0,④b<0.

请从中选择两个作为已知条件，得出结论同>\b\.

你选择的条件序号是，并给出证明过程.

25.(1)从图1中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于〃、人的等

量关系是；

(2)尝试解决：

①已知：m+n=2,m2+n2=1,则mn=；

②已知：2a+b=3,ab=1,求(2a—6产的值；

③已知：(4-x)(5-x)=6,求(4—x)2+(5—%产的值；

(3)填数游戏：如图4,把数字1〜9填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上

的四个数字的和都等于21,将每边四个数字的平方和分别记A、&C,已知A+B+

C=411.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x、y、x+

y,求节的值.

图1

图4

26.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍,我们称这两个角互为“开

心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在△ABC中，NA=70°,NB=35°,

则乙4与4B互为“开心角”，XABC为“开心三角形”.

【理解】

(1)若A4BC为开心三角形，44=144。，则这个三角形中最小的内角为°；

(2)若A4BC为开心三角形，44=70。，则这个三角形中最小的内角为。；

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(3)已知乙4是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定乙4的取

值范围，并说明理由；

【应用】

如图，AO平分A/IBC的内角NBAC,交BC于点E,C£＞平分△ABC的外角NBCF,

延长BA和。C交于点P,已知4P=30。，若NB4E是开心AABE中的一个开心角，

设NB4E=za,求z_a的度数.

答案和解析

1.【答案】;

【解析】

【分析】

本题考查了有理数的乘方，掌握负数的偶数次募和奇数次易的符号规律是解题的关键.

根据有理数的乘方运算法则计算即可.

【解答】

解：（-尹=i

故答案为：

4

2.【答案】（x+l）（x-1）

【解析】解：X2-1=（X+l）（x-1）.

故答案为：（x+l）（x-l）.

利用平方差公式分解即可求得答案.

此题考查了平方差公式分解因式的知识.题目比较简单，解题需细心.

3.【答案】>

【解析】解：？a>b,

a一1>b—1.

故答案为：>.

根据不等式的性质判断即可.

本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不

变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除

以）同一个负数，不等号的方向改变.

4.【答案】7

【解析】解：设这个多边形的边数是〃，

则：（n-2）x180°=900°,

解得九=7,

故答案为：7.

根据n边形的内角和为（n-2）x180。列出关于n的方程式，解方程即可求出边数〃的

值.

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键在于要根据公式进行正确

运算，变形和数据处理.

5.【答案】末位数字是5的数，能被5整除

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【解析】解：命题“能被5整除的数，它的末位数字是5”的逆命题是“末位数字是5

的数，能被5整除”，

故答案为：末位数字是5的数，能被5整除.

根据逆命题的概念解答即可.

本题考查的是逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第

一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题

称为另一个命题的逆命题.

6•【答案】仁：

【解析】

【解答】

解：方程％+2y=7,变形得：x=7-2y,

当y=1时，，%=5,

则方程的一个正整数解为t::.

同样地，当y=2、3,X存在正整数解，

・•・答案不唯一.

故答案为：I;二:,答案不唯一.

【分析】

将y看做已知数求出x,即可确定出正整数解.

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出万.

7.【答案】35

•••四边形A3。是长方形，

•••Z.C=4。=90°,

在RtZkOMC中，Z1=20",

•••乙D'MC=90°-Z1=90°-20。=70°,

•••乙D'MD=180°-乙D'MC=180°-70°=110°,

由折叠得，乙MD'N=4。=90。，乙DMN=乙D'MN,

4D'MN="'MD=-x110°=55\

22

乙MD'N=90°,

42+4D'MN=90。，

42=90。-4D'MN=90°-55°=35°,

故答案为：35.

先根据直角三角形两锐角互余求得ND'MC=70。，再由折叠的性质求出ND'MN=55。，

最后由直角三角形两锐角互余求得N2.

本题主要考查了折叠的性质以及直角三角形两锐角互余，正确识别图形是解答本题的关

键.

8.【答案】（一m）

【解析】解：（3rn-I）2=9m2-6m+1,

9m2—6m+1—（9m2—5m+1）=­m,

故答案为：（—m）.

将右式化简后，移项即可求得答案.

本题考查了完全平方公式的基本运算，解题关键在于熟记完全平方公式.

9.【答案】k>-\

【解析】解:{2x-y=3-fc®；

2%+y=5+3fc@

②-①得：2y=8+4k,

解得y=4+2k,

••1y>3,

4+2/c>3.

解得：k>—

故答案为：k>—\

先用加减消元法求得y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可.

本题主要考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，求得y的值（用含上的式

子表示）是解题的关键.

10.【答案】m>2

rinj-r-wAn,X—m<0①

【解析】解：{““、cX-

解不等式①，得x<m,

解不等式②，得x<2,

••・从数轴可知：不等式组的解集为x<2,

:.m>2.

故答案为：m>2.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

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大小小无解了，确定不等式组的解集，最后求出团的取值范围即可.

此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集

求出不等式组的解集是解题关键，难度适中.

11.【答案】1.1304X1O-10

【解析】解：3.14x(6x10-6)2=3.14X36x10-12=1.1304xI。一】。(米2),

故答案为：1.1304xIO-10.

科学记数法的表示形式为axIO"的形式，其中1<|a|<io,〃为整数.确定”的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值之10时，及是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1(T的形式，其中

|«|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

12.【答案】ym<CD<87n或10m<CD<12m或曰m<CD<16m

【解析】解：如图，设AABC中BC边上的高是〃,4。将△ABC

分成甲、乙两个部分，其中△4BD为甲部分，△ACC为乙部

分.

由题意,可得■一3-

CD>^BC

即

CD<|(40-CD),

如果BC=40m,

那么可zn<CD<16m.

如果BC=207n或30m,

同理可得gm<CD<87n或10m<CD<12m.

故答案为：ym<CD<87n或10?n<CD<12nl或<CD<16m.

设4ABC中BC边上的高是h,4。将4ABC分成甲、乙两个部分，其中△4BD为甲部分,

△4CD为乙部分.根据乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块

(―CD-h—BC-h

地的面积的三分之二，列出不等式组%I;，再分BC=40m或

I-CD,h<—,—(40—CD)•h

20m或30/n,解不等式组即可求出CD的取值范围.

本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形的面积，根据题意列出不等式组是解题的

关键.

13.【答案】4

【解析】解：A、a3+a3=2a3,故本选项符合题意；

B、a3-a3=a6,故本选项不符合题意；

C、a34-a3=l,故本选项不符合题意；

D、(a3)3=a9,故本选项不符合题意.

故选：A.

先根据合并同类项法则，同底数幕的乘除法法则，幕的乘方法则计算，再判断即可.

本题考查了合并同类项，同底数暴的乘除法法则以及幕的乘方法则，解题的关键是掌握

相关运算法则并熟练运用.

14.【答案】B

【解析】解：A、<4+5>6,.•.能组成三角形；

8、5+6<12,.•.不能组成三角形；

C、••・5+7>7,.•.能组成三角形；

。、••・6+8>10,.•.能组成三角形.

故选：B.

根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可.

此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注

意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一

个三角形.

15.【答案】A

【解析】解：①两直线平行，内错角相等，是真命题；

②三角形的外角和是360。，故本小题命题是假命题；

③互为相反数的两个数的和为零，是真命题；

④若n>l,则/一1>0,是真命题；

故选：A.

根据平行线的性质、三角形外角和、互为相反数的概念、实数的乘方以及实数的大小比

较法则判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命

题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

16.【答案】C

【解析】解:如图2中，

LEAC="=30°,

••・旋转角为60。或240。时，AE//BC,

■■■t=6或24,

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故选：c.

判断出4E〃CB时，旋转角的度数，可得结论.

本题考查等腰直角三角形，平行线的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

17.【答案】8

【解析】解：；210=1024,1024«103,

230=(210)3x(103)3=109,

11

2-30=—«--=IO—.

230109

故选：B.

利用事的乘方和负整数累的运算法则进行运算.

本题考查了事的乘方和负整数幕，掌握运算法则是解题的关键.

18.【答案】C

【解析】解：设丙持钱数为Z,

根据丙语得Z+3+3=56,

整理得z=56——p

故A选项不符合题意；

根据甲语得x+：+：=90,

整理得z=180-2%-y,

故3选项不符合题意；

根据乙语得y+；+|=70,

整理得z=140—x-2y,

故。选项不符合题意，C选项符合题意.

故选：C.

设丙持钱数为z,根据丙语列方程为z+；+：=56,根据甲语列方程为％+：+：=90,

根据乙语列方程为y+|+；=70,再整理，用含x,y的代数式表示z即可.

本题考查列代数式，能根据已知条件正确列出等量关系是解题的关键.

19.【答案】解:(1)原式=4-9+1=-4；

(2)原式=4a2—4a+1—2a2—a+4a+2=2a2—a+3：

(3)原式=(y-2)(x2-4)=(y-2)(x-2)(x+2).

【解析】(1)先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案.

(2)先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案.

(3)通过提取公因式化简，即可得出答案.

本题考查了完全平方公式的基本运算以及提取公因式的基本算法，关键在于能够正确进

行计算，解出答案.

2x+y=4①

20.【答案】解：(1){

3x-2y=1②'

①x2+②，得7%=9,

所以x=1

把x=5代入①，得2x^+y=4,

解得y=学

所以方程组的解为I；0；

(y=-

-2.x40(1)

(2){匕壮⑵，

解不等式①，得：x>0,

解不等式②，得：x>-l.

故不等式组的解集为x>0.

【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；

(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.也考查

了解二元一次方程组.

21.【答案】(1)解：补全图形如图所示;

(2)证明：•••4BAC=90。，

:.乙B+/.ACB=90°,

■：AE//BC,

•••ABAD+Z.B=180",

•••CF//AB,

:.Z.BAD+AADC=180°,

Z.ADC=Z.B,

：.乙ADC+^ACB=90°,即4ADC与44CB互余.

【解析】(1)根据题意画出图形；

(2)根据直角三角形的性质得到NB+44cB=90。，根据平行线的性质、同角的补角相

等得到乙4DC=4B,证明结论.

本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题

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的关键.

22.【答案】△A'B'C

【解析】解：(1)①如图，△A'B'C'为所作;

②如图，RtAACE和△4BG为所作；

(2)△48£'与44BC的面积相等.

故答案为：△A'B'C.

(1)①利用点平移的规律画出A、B、C的对应点A、B'、C'即可；

②把AC绕A点顺时针旋转90。得到AE,则AACE为格点直角三角形，然后在48的垂

直平分线上取格点G得到等腰△4BG；

(2)根据平移的性质得到△&8'(；'与44BC的面积相等.

本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照

平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.也考查了

等腰三角形的判定与性质.

23.【答案】解：(1)设冰墩墩手办的单价为x元，雪容融挂件的单价为y元，根据题意

得：

[20x+15y=2630

(10x+20y=2040，

解得:{J谓

答：冰墩墩手办的单价为88元，雪容融挂件的单价为58元.

(2)88m+58(25-m)<20000,

解得:x<618|,

因为x要取整数，

所以最多购买618个冰墩墩手办.

【解析】(1)根据“购买20个冰墩墩手办和15个雪容融挂件，一共需要花费2630元;

如果购买10个冰墩墩手办和20个雪容融挂件，一共需要花费2040元”列出二元一次

方程组计算即可；

(2)设购进机个冰墩墩，则购进(25-爪)个雪容融，利用总价=单价x数量，结合总价不

超过20000元，即可得出关于〃?的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准

等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式.

24.【答案】abab+bcacab+ac②④.

【解析】(1)证明：

:.a2>ab,

2

・・•・abe>ab+bef

a>b,c<0,

・•・be>ac,

・•・ab+be>ab+QC,

AM+儿>昉+aCf

故答案为：ab,ab4-be,ac,ab+ac；

(2)va<ft,bV0,

|a|>|b|,依据：两个负数，绝对值大的反而小，

故答案为：②④.

(1)根据不等式的基本性质填空；

(2)根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可.

本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键.

25.【答案】图1：(a+b)2=a?+2ab4-b2,图2：(a—b)2=a2—lab+b2,图3：

4ab=(a+b)2-(a-b)2(填一个即可)-1

【解析】解：(1)由题意得：图1：^a+b)2=a2+2ab+b2；图2：(a-b)2=a2-2ab+

b2；图3：4时=9+6)2-9一切2；(填一个即可)

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+h2；(a—h)2=a2-2ab4-b2；4ab=(a+b)2—(a—

b)2；(填一个即可)

(2)①m4-n=2,

-(m+n)2=m2+2mn4-n2=4,

vm24-n2=7,

:.7+2mn=4,

3

・•・mn=一—,

2

故答案为：—I；

②,・,ab=1,

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8ab=8.

v(2a—b)2=(2a+b')2—8ab,2a+b=3,8ab=8,

(2a-b)2=32-8=1；

③•••(4—x)—(5—x)=—1>

[(4-%)-(5-x)]2=1,

v(4—x)(5—x)=6,

•••(4-x)2+(5-%)2=1+2(4-x)(5-%)=1+12=13；

(3)数字1〜9的和为：1+2+3+4+5+6+7=8+9=45,

•••各边上的四个数字的和都等于21,

21x3-45=18,

x+y+(x+y)=18,即x+y=9,

•••每边四个数字的平方和分别记A、B、C,满足A+B+C=411,

且#+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

•­•x2+y2+(x+y)2=411-285,

•••x2+y2+81=411-285,

x2+y2=45,

•••(x+y)2-2xy=45,

xy=18.

(1)观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；

(2)直接根据(1)的结论代入求值即可；

(3)先得出(4一乃一(5-％)=-1,再得出[(4一x)—(5—x)F=1,最后利用(1)的结

论解答即可；

(4)先求数字1〜9的和，再求出M+22+32+42+52+62+7?+82+92=285,最

后根据(x+y)2-2xy