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文档简介
10/10均值不等式的证明方法汇总.doc柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong（数学之家）
本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是nnGA≥:一些大家都知道的条件我就不写了
n
nnxxxn
xxx2121≥+++
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：
8444844)()(:
4422)()(abcdefgh
efghabcdhgfedcbaabcd
abcdcdabdcbadcba≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：
这样的步骤重复n次之后将会得到
nnn
xxxxxxn
2221221(2)
...≥+++
令An
xxxxxxxxxxn
nnnnn=+++======++;,...,2122111
由这个不等式有
nnnnn
nnnn
nAxxxAxxxAnnAA2
121212221)..(..2
)2(--=≥-+=即得到n
nnxxxn
xxx2121≥+++
这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：
例1：
1
1121
01(1,2,...,)11(...)n
iii
n
nnainaaaa=≤≤=====++≥--∑∑∑∑∑∏已知个实数都记，求证下述不等式成立：
要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
其实由均值不等式，以及函数1
()ln1
xxefxe+=-是在R上单调递减
因此
1(
)1
n
RSTUVRSTUVRSTUV≥
=
+≤
-
我们要证明：
1
1
(
)1
n
iiiiiiiiiiirstuvrstuv=+≥
-∏证明以下引理：
1
1
(
)1
n
niiixx=+≥-∏
2
12
12
2
12121212
2
121212121212
1212
2
1212
2
11
2()()
11
(1)(1)
2(1)(1)(1)
2(1)
(1)(1)2(1)
11
()()
11
i
i
xx
n
xx
AAxxxxxxxx
AxxxxAxxxxxxxx
Axxxx
AxxAxx
xG
xG
++
=?≥
--
=?+++++++
-+++≥+--++--
++--
?++≥+
++
?
--
时，
令
显然成立
因此
2
2
2
2
1
2
2
1
1
()
1
1
()
1
1
()
1
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
in
n
n
i
ii
GG
G
GG
G
G
x
x
-
-
-
=
=
+
≥=
-
+
=
-
+
≥
-
∏
∏
，
因此
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:
)
2
(
2
)
(
)
(
2
1
2
1
x
x
f
x
f
x
f+
≥
+
，则四维：
)
4
(
4
)
2
(
2
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
+
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
+
一直进行n次有
)
2
...
(
2
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
n
n
n
nx
x
x
f
x
f
x
f
x
f+
+
+
≥
+
+
+
,
令A
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xn
n
n
n
nn
=
+
+
+
=
=
=
=
=
=
+
+
...
...
;
,...,2
1
2
2
1
1
1
有)
(
)
2
)
2(
(
2
)
(
)
2(
)
(
...
)
(
1A
f
A
n
nA
f
A
f
n
x
f
x
f
n
n
n
n
n=
-
+
≥
-
+
+
+
所以得到
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
2
1
2
1
n
x
x
x
f
n
x
f
x
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