2021北京初一（上）期中数学汇编：实数

22/222021北京初一（上）期中数学汇编实数一、单选题1．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）估计的大小应（

）A．在6.3～6.4之间 B．在6.4～6.5之间C．在6.5～6.6之间 D．在6.6～6.7之间2．（2021·北京市第六十六中学七年级期中）a为有理数，定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝a；当a＝－2时，▽a＝0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（）A． B．7 C． D．13．（2021·北京市三帆中学七年级期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④4．（2021·北京·景山学校七年级期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．ac＞0 B．|b|＜|c| C．a＞﹣d D．b+d＞05．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）关于①与②的说法正确的是（

）A．①②都是有理数 B．①是无理数，②是有理数C．①是有理数，②是无理数 D．①②都是无理数6．（2021·北京市第八十中学管庄分校七年级期中）数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？（）A．在的左边 B．介于、之间C．介于、之间 D．介于、之间二、填空题7．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）现规定一种新运算：a*b＝，如：16*2＝＝4，则25*2﹣125*3＝___．8．（2021·北京育才学校七年级期中）对于有理数定义一种新运算：，如，则的值为_____________．9．（2021·北京海淀·七年级期中）有理数，在数轴上对应的点如图所示，若，且，则的值是___________．10．（2021·北京丰台二中七年级期中）观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．11．（2021·北京师大附中七年级期中）用“”定义新运算：对于任意有理数a，b，当时，都有；当时，都有．那么，______，_______．12．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是10，若点A对应的数是-1，则点B对应的数是________．13．（2021·北京市第四十三中学七年级期中）用“★”定义新运算：对于任意有理数、都有★，例如7★4==17，那么★（★2）=__________.三、解答题14．（2021·北京师范大学亚太实验学校七年级期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为：．例如：数对，都是“共生有理数对”．(1)判断数对，是否为“共生有理数对”，并说明理由；(2)若是“共生有理数对”，求的值；(3)若是“共生有理数对”，试判断是否为“共生有理数对”，并说明理由．15．（2021·北京十二中钱学森学校七年级期中）计算．（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；（2）（﹣2）2﹣|5﹣|．16．（2021·北京师大附中七年级期中）对于任意有理数，，定义运算：，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，；．(1)计算_______；(2)对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：_______（用含m，n的式子表示）．一般情况下，对于数和，，但是对于某些特殊的数和，．我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”．①是不是“理想数对”?_______；（填“是”或“不是”）②如果是“理想数对”，那么________；(3)若是“理想数对”，求的值．17．（2021·北京师大附中七年级期中）数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，例如，并把常数时多项式的值用来表示，例如时多项式的值记为．(1)若规定，①的值是_________；②若，的值是_________；(2)若规定，．①有没有能使成立的的值，若有，求出此时的值，若没有，请说明理由，②直接写出的最小值和此时满足的条件．18．（2021·北京·汇文中学七年级期中）观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式a-b＝2ab-1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为(a，b)，如：数对(1，)，(2，)，都是“同心有理数对”．（1）数对(-3，1)，(3，)是“同心有理数对”的是．（2）若(a，4)是“同心有理数对”，求a的值；（3）若(m，n)是“同心有理数对”，则(-n，-m)“同心有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由．19．（2021·北京四中七年级期中）用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．（1）求的值；（2）若，求a的值；（3）若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小．20．（2021·北京·北师大实验中学七年级期中）“☆”是新规定的某种运算符号，设a☆b＝ab＋a－b，解方程：2☆x＝－8．21．（2021·北京海淀·七年级期中）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个有理数都加上同一个有理数，其余各数不变．如图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数．（1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数；（2）将图3圆圈上的有理数都变为相同的数，最少需要几次操作？给出你的判断，并说明理由；（3）能否将1，2，3，5这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由．22．（2021·北京市第四十四中学七年级期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．（1）数对，是“同心有理数对”的是；（2）若是“同心有理数对”，求的值；（3）若是“同心有理数对”，则“同心有理数对”（填“是”或“不是”）．23．（2021·北京·北师大实验中学七年级期中）阅读理解：对于任意一个三位数正整数n，如果n的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新“陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为M(n).例如n=123，可以得到132.213.231.312.321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和为123＋132＋213＋231＋312＋321=1332，因为，所以M(123)=12.(1)计算：M(125)和M(361)的值；(2)设s和t都是“陌生数”，其中4和2分别是s的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百位上的数字小2；规定：.若，则k的值是多少？24．（2021·北京师范大学亚太实验学校七年级期中）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值.例如，对于数列2，-1，3，因为，，，所以数列2，-1，3的价值为.小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列-1，2，3的价值为；数列3，-1，2的价值为1：…经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为.根据以上材料，回答下列问题：(1)数列4，3，-2的价值为______.(2)将“4，3，-2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，求这些数列的价值的最小值(请写出过程并作答).(3)将3，-8，a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为_______(直接写出答案).

参考答案1．B【分析】根据算术平方根的概念可以找到接近的两个完全平方数即可求解．【详解】解：∵6.42＜42＜6.52，∴6.4，∴的大小应在6.4～6.5之间．故选：B．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”．2．A【分析】定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝a；当a＝－2时，▽a＝0．先判断a的大小，然后按照题中的运算法则求解即可．【详解】解：且当时，▽a=a，▽(-3)=-3，4+▽（2-5）=4-3=1>-2，当a>-2时，▽a=-a，▽［4+▽（2-5）］=▽1=-1，故选：A．【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．3．D【分析】由新定义可得：利用新定义逐一计算判断，从而可得答案.【详解】解：根据新定义可得：故①不符合题意；故②符合题意；，解得：故③符合题意；，故④符合题意，故选D【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键.4．D【分析】根据实数在数轴上的位置判断大小，结合实数运算法则可得.【详解】根据数轴，﹣4＜a＜﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，2＜d＜3，∵﹣4＜a＜﹣3，0＜c＜1，∴ac＜0，故A错误；∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，故|c|＜|b|，故B错误；∵﹣4＜a＜﹣3，2＜d＜3，∴﹣3＜﹣d＜﹣2，故a＜﹣d，故C错误；∵﹣2＜b＜﹣1，2＜d＜3，∴b+d＞0，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．5．C【分析】直接利用有理数以及无理数的定义分析得出答案．【详解】①是有理数，②是无理数．故选C．【点睛】此题主要考查了有理数和无理数，正确把握相关定义是解题关键．6．D【分析】根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．【详解】解：，，，，，点介于、之间，故选D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．7．0【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】25*2﹣125*3＝﹣＝5﹣5＝0．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．8．##【分析】根据新定义运算的规律，先计算，所得的结果再与（-1）进行“”运算．【详解】解：由题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查新定义、有理数的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．-2或-6【分析】先化简绝对值，再代入解方程即可．【详解】∵，∴a=2b或a=-2b，当a=2b时，∵，∴b-2b=3，解得b=-3，∴a=2b=-6；当a=-2b时，∵，∴b+2b=3，解得b=1，∴a=-2b=-2；故答案为：-2或-6．【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程，分类思想，熟练进行绝对值的化简，灵活求解一元一次方程是解题的关键．10．515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，故它们的和为256+259=515，故答案为：515．【点睛】考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．11．

24

【分析】先判断两个数的大小，再根据题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：∵2＜6，∴22×6=4×6=24；∵＞，∴×=×9=，故答案为：24；．【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解题的关键是正确理解题目规定的运算法则，然后把数据代入其中计算即可．12．-1+【分析】根据正方形的面积是10，可求出正方形的边长为，根据点A表示的数为-1，即可求出点B对应的数．【详解】解：∵正方形的面积是10，∴正方形的边长为，即AB=∵点A表示的数为-1，点B在点A的右侧，∴点B对应的数是-1+，故答案为：-1+．【点睛】本题主要考查了平方根以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据正方形的面积表达出点A，B之间的距离．13．26【详解】试题解析：★（★2）=★（22+1）=★5=52+1=26.故答案为26.14．(1)不是“共生有理数对”，是共“共生有理数对”，理由见解析(2)(3)是“共生有理数对”，理由见解析【分析】（1）先计算，然后根据题目中的新定义，可以判断（-2，1），是否为“共生有理数对”；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（-n，-m）变形即可判断．(1)因为，所以，即不是“共生有理数对”又因为，所以

即是共“共生有理数对”(2)由题意得：，即解得：．(3)是．理由：因为，①又因为是“共生有理数对”，所以即

而

所以由①式可知：所以是“共生有理数对”．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．15．（1）22；（2）．【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法，然后计算减法即可得；（2）先计算乘方、化简绝对值，再计算实数的加减即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．16．(1)-4；(2)m（n+1）；①是；②-8；(3)-16【分析】（1）根据新定义，计算-2×（-2+）-1即可；（2）根据，定义m（n+1）；①验证等式是否成立；②构造方程，解方程即可；（3）是“理想数对”，确定m，n之间的关系，化简已知代数式，代入求值即可．(1)∵，∴-2×（-2+）-1=-4，故答案为：-4；(2)∵，∴m（n+1）；①∵，时，有，∴是“理想数对”，故答案为：是；②∵是“理想数对”，∴，解得x=-8；(3)∵是“理想数对”，∴，解得n=-4m，∵===，当n=-4m时，原式==-16．【点睛】本题考查了实数的新定义，一元一次方程的解法，代数式的化简求值，正确理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法，熟练进行化简求值是解题的关键．17．(1)①-5；②5，(2)①有，x=，见解析；②的最小值是5，-3≤x≤2【分析】（1）①当x=-1时，计算；②计算，求得x即可；（2）①或，解方程即可；②表示动点x到2和-3的距离和，按照x＞2，x＜-3，-3≤x≤2分别计算比较结果即可．(1)（1）①∵，∴当x=-1时，=-5，∴的值是-5，故答案为：-5；②∵，∴=7，∴x=5，故答案为：5；(2)①有，x=，理由如下：∵，，且，∴，无解；或，解得x=，故当x=时，；②设动点P表示的数为x，点A表示的数是-3，点B表示的数2，则表示数轴上动点P到点A和点B的距离和即PA+PB，当x＞2时，如图所示，PA+PB＞AB=2-（-3）=5；当x＜-3时，如图所示，PA+PB＞AB=2-（-3）=5；当-3≤x≤2时，如图所示，，PA+PB=x+3+2-x=5=AB=2-（-3）=5；故当-3≤x≤2时，有最小值，且为5．【点睛】本题考查了求函数值，自变量的值，解方程，绝对值的化简，数轴上的动点问题，熟练掌握绝对值的化简，数轴上的动点问题是解题的关键．18．（1）(3，)；（2）；（3）是，见解析【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，判断出数对（-2，1），（3，）是“同心有理数对”的是哪个即可．（2）根据（a，3）是“同心有理数对”，可得：，据此求出a的值是多少即可．（3）根据（m，n）是“同心有理数对”，可得：，据此判断出（-n，-m）是不是同心有理数对即可．【详解】解：（1）∵-3-1=-4，2×（-3）×1-1=-7，-4≠-7，∴数对（-3，1）不是“同心有理数对”；∵3-=，2×3×-1=，∴3-=2×3×-1，∴（3，）是“同心有理数对”，∴数对（-2，1），（3，）是“同心有理数对”的是（3，）．故答案为：（3，）；（2）∵（a，4）是“同心有理数对”．∴a-4=8a-1，∴a=；（3）∵（m，n）是“同心有理数对”，∴m-n=2mn-1．∴-n-（-m）=-n+m=m-n=2mn-1，∴（-n，-m）是“同心有理数对”．故答案为：是．【点睛】此题主要考查了有理数的运算，理解新定义：同心有理数对的含义是解本题的关键．19．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；（3）先根据新运算展开，再求出m、n，比较大小即可得出答案．【详解】（1）；（2），，，，；（3），，，，，，，，．【点睛】本题考查新定义问题，，熟练掌握有理数及整式的混合运算法则是解决问题的关键．20．【分析】根据规定的运算法则可得一元一次方程，解方程即可求得解．【详解】由题意得：解得：【点睛】本题考查了新运算及解一元一次方程，关键是理解定义的新运算．21．答案见详解．【分析】（1）根据题目中的操作步骤进行推理，即可得到答案；（2）根据题目中的操作步骤进行推理，即可得到答案；（3）根据题目中圆圈边上几个数的和都是偶数，即可进行判断．【详解】解：（1）如图所示：（2）至少需要两次操作，理由如下：（3）不可以；理由如下：∵2+3+5=10，最后变成相等的数字6；1+2+3=6，最后变成相等的数字4；1+2+3+4=10，最后变成相等的数字4；又∵1+2+3+5=11，不是偶数；∴这四个数排列后不可能相等．【点睛】本题考查了数字的规律变化，解题的关键是正确地掌握题目中的规律，从而进行解题．22．（1）；（2）；（3）是．【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，判断出数对，是“同心有理数对”的是哪个即可；（2）根据是“同心有理数对”，得到，求解即可；（3）根据是“同心有理数对”，得到，进行判断即可；【详解】解：（1）∵，，，∴数对，、不是“同心有理数对”；∵，，∴，∴是“同心有理数”，∴数对，是“同心有理数对”的是；（2）∵是“同心有理数对”，∴，∴．（3）是．理由：∵是“同心有理数对”，∴，∴，∴是“同心有理数对”．【点睛】本题主要考查了有理数和等式的性质，准确理解计算是解题的关键．23．【分析】（1）根据M（n）的定义式，分别将n=125和n=316代入M（n）中，即可求出结论；（2）设s的百位数字是x，则t的十位数字是x-2，得到s=100x+42；t=200+10(x-2)+5=10x+185，根据题意求得M（s）=2x+12，M（t）=2x+10，再结合，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将x的值代入中，从而求解．【详解】解：（1）M（125）=（125+152+215+251+521+512）÷111=16，M（316）=（316+361+136+163+613+631）÷111=20；（2）设s的百位数字是x，则t的十位数字是x-2∴s=100x+42；t=200+10(x