《平面向量及其应用》中档卷

《平面向量及其应用》中档卷（解析版）一、单选题1．在中，角的对边分别为，且，，，则（????）．A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.2．下列说法正确的是（????）A．若，则B．零向量的长度是0C．长度相等的向量叫相等向量D．共线向量是在同一条直线上的向量【答案】B【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，故未必成立，所以A错误；B：根据零向量的定义可判断B正确；C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.故选：B.3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（????）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故选：C.4．若四边形是矩形，下列说法中不正确的是（????）A．与共线 B．与相等C．与是相反向量 D．与模相等【答案】B【详解】解：四边形是矩形且，故，答案正确；但的方向不同，故答案错误；且且的方向相反，故答案正确；故选：．5．在中，内角、、所对的边分别为、、.若，的面积，当时，的内切圆的面积为（????）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由正弦定理可得，，则，故，因为，则，则，，故，则，因此，，所以，为等边三角形，设等边的内切圆半径为，则，则，因此，的内切圆的面积为.故选：D.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（????）A． B． C． D．【答案】B【详解】在△ABC中，A+B+C＝π，∵角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，∴2B＝π﹣B，∴B．∵直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，∴圆心（2，3）在直线ax+cy＝12上，则2a+3c＝12，∵a＞0，c＞0，∴12＝2a+3c，即ac≤6．当且仅当2a＝3c，即a＝3，c＝2时取等号．∴，∴△ABC的面积的最大值为．故选：B.7．在中，已知，，，则（????）A．1 B． C． D．3【答案】D【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.8．在中，已知，则（????）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】D【详解】解：由得所以，故，即，即，故.故选：D.二、多选题9．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（????）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.10．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（????）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，由，所以A正确；由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，即，所以B正确；根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；由重心的性质，可得，所以D正确.故选：ABD.11．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（????）A． B．C． D．【答案】CD【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，因为，故A错误；由,故B错误；因为,故C正确；因为,故D正确.故选：CD12．在中，角A，，所对的边分别为，，，下列叙述正确的是(????)A．若，则为等腰三角形B．若，则为等腰三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则为等腰三角形【答案】AC【详解】对于A，若，则根据正弦定理得：，∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，则a=b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若，则根据正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若，则根据正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC为等腰三角形，故C正确；对于D，若，则根据正弦定理得：，则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误．故选：AC．三、填空题13．已知向量．若，则______________．【答案】##【详解】由题意知：，解得.故答案为：.14．在中，角A，，的对边分别为，，，且，则的形状为____________三角形．【答案】直角【详解】根据正弦定理得，则，为直角三角形．故答案为：直角15．已知等边的边长为，P为它所在平面内一点，且，则的最大值为___________.【答案】7【详解】等边的边长为，令，则有：由，即，得，所以的最大值为7.故答案为：716．已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．【答案】????????【详解】由题意，平面向量，其中，的夹角是，可得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为.故答案为：；.五、解答题17．在△ABC中，A＝60°，sinB＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.【答案】B=30°，，，.【详解】由且，即，可知：.∴，由正弦定理，∴，.18．某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知.(1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度；(2)请计算原棚户区建筑用地的面积.【答案】(1)；(2).(1)，由余弦定理，得，，，.故原棚户区建筑用地中对角线的长度为.(2)在△中，因为，故，又，故可得，则，故.即原棚户区建筑用地的面积为.19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.(1)求角A的大小；(2)若边上的高为2，，求的周长，【答案】(1)；(2).（1），，因为，所以，即，因为，所以；（2）因为边上的高为2，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以三角形周长为：.20．在中，点，是所在平面内的两点，，，，，.（1）以，为基底表示向量，并求；（2）为直线上的一点，设（，是实数），若直线经过的垂心，求，的值.【答案】（1），；（2），.【详解】（1），则，，则，所以，；（2），则，在直线上，则，可设，即，得：，因为与不共线，所以，得：，则，又直线经过的垂心，所以，即，即：，得：，则.21．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求内角B的大小；(2)已知的面积为，，，求线段BM的长．【答案】(1)(2)(1)解：因为，所以所以由正弦定理边化角得：，因为，所以，即，因为，所以.(2)解：因为的面积为，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，即为直角三角形，因为，