考研数学二公式总结

考研数学公式总结

高等数学公式

导数公式:

(tgx)'=sec12x(arcsinx)"=/

\l-x2

(cfgx)'=-csc?x

(arcco&x)/=——/1

(secx)'=secx/gx

(cscx)'=-cscx-ctgx

(arctgxY=--------

(ax\=axIna1+x

/v1

(log“x)'=-7—(arcctgx)=--；-----r

xlna1+x

基本积分表：

jr^xt/x=-ln|cosx|4-C2

f4=fSecxdx=tgx^-C

JCOS*-XJ

jctgxdx=ln|sinx|4-C

ff=fcsc2xdx=-ctgx+C

Jsecx办:=1川secx+/gx|+CJsinx」

jsecx-rgAt/x=secx+C

Jcscxdv=ln|csex-cgj+C

ICSC^-C^X6k=-cscx+C

axdx^—+C

Ina

shxdx=chx+C

chxdx=sfu+C

1"-ln(x+^Jx2±a2)+C

J2±/

n冗

/〃=jsin"xdx=jcos"xdx=---In_2

0L〃

.__________________2_________

fy]x2+a2dx=—Jr2+/+—ln(x+Jx2+十2)+C

J22

____________2______

-a2--InX+A/X2-a2+C

2

2

2~a.x-

jyja-x'dx=：-x+—arcsin—+C

2a

三角函数的有理式积分：

.2u1-1广X2du

smx=------r,COS%=---7dx=

l+u2l+w2"吆5’1+M2

一些初等函数:两个重要极限:

,,sinx,

双曲正弦:shx=-----------lim-------=1

2x

X.-xlim(1+!)'=e=2.718281828459045...

双曲余弦:chx=-----------

3X

双曲正切:加二四二

chx

arshx=ln(x+-Jx2+1)

archx=±ln(jr+VP-1)

.1,1+x

arthx=­In------

21—%

三角函数公式:

'诱导公式：

数

sincostancot

角A\^

-a-sinacosa-tana-cota

90°-acosasinacotatana

900+acosa-sina-cota-tana

1800-asina-cosa-tana-cota

1800+a-sina-cosatanacota

270°-a-cosa-sinacotatana

2700+a-cosasina-cota-tana

360°-a-sinacosa-tana-cota

3600+asinacosatanacota

'和差角公式：•和差化积公式，

sin«+sinB=2sin+^cos———

sin(cz±/7)=sinacosjS±cosasinp

22

cos0±/?)=cosczcos胃干sinasinP

sin«-sinj3=2CQS0+'sin?——

/,小tga±tgp

rg(a±〃)=T———22

\+tga-tgP0_a+a-/3

costz+cosp=2cos-----cos........-

.,c、ctga-ctgp+\22

ctgp±ctgaa+B.a-3

cosa-cos/?=2sin--------sin---------

22

,倍角公式:

sin2==2sin6zcos6f

cos2a=2cos2a—1=1-2sin2a=cos2cr-sin2asin3a=3sina-4sin3a

ctg2a-lcos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a

letgatg3a="ga-tg%

81-3fg2a

2tga

tg2a=

1一吆2a

・半角公式:

•a/l-cos<za,(1+COS6Z

sm—=±.cos—

2V-2-2

-cosa_1-cosasinaa+/1+cosa_1+COS6Zsina

c,g2-

呜=±11+cosczsina1+cos。Vl-cosasina1-COS62

•正弦定理：」一=」

2R•余弦定理：c2=a2+b2-2abeosC

sinAsinBsinC

冗兀

■反三角函数性质：arcsinx=---arccoaxaretgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

k=0

=，，(")+〃/"-%，++…+”("-l>yi+D/y+…+MV(n)

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：j\b)-/⑷=-。)

柯西中值定理:f'®

F(h)-F(a)

当F(x)=x时，柯西中值定理就腕格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：d$=Jl+yC公,其中〉'二tga

平均曲率灭J竽,0：从M点到M，点，切线斜率的倾角妣量；As：MM弧长。

M点的曲率：玉=1皿也=也=^1=.

■TO加dsJ(l+y'2)3

直线：K=O;

半径为。的圆：KJ

a

定积分的近似计算：

bj

矩形法;J/（犬）之一（X）+y+…+y”-i）

a

梯形法:Jy（x）«[；（盟+券）+y+…+yn-]]

抛物线法:j/(x)~与?K先+以)+2(%+%+…+券-2)+4(X+/+…+y„.t)]

a

定积分应用相关公式：

功：W=Fs

水压力：F=p.A

引力：F=k誓,k为里力系数

函数的平均值少二J

£1

1b

均方根三丁一J/⑺力

h-aa

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=|叫用?|=J(%2—*)2+(巳—y)2+仁—4)2

向量在轴上的投影Pi0获二网＜0S以避痴为/轴的夹角。

Pr/“(4+2)=Pr/4+Prj4

a-b=\a\-^cos0=axbx+aybv+a.b:，是一个数量

ah+ah+a.h.

两向量之间的夹角cos®二rlArV1vZi.

M：+a：+a；4瓦2+b：+b；

c-a^b-axav4，同工同步卜后夕例：线速度：v-wxr.

bxb、b二

b二二司.同cosa,a为锐角时,

向量的混合积[abc]=(axb)c=bxby

Cx

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0,其中而二{A,-C},%(尤0,%,z°)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程3+2十三=1

abc

平面外任意一点到该喃的距离：/隼+叫+d+&

办2+炉+。2

无二再)+ml

空间直线的方程匚区。匕比。△包二f,其中f={M7,p};参数方程/)，=%+而

mnp

z=zQ+pt

二次曲面：

2122

1、椭球面3+当+1=1

a~b~c”

22

2、抛物面」一+工=z,(p,g同号)

2p2q

3、双曲面：

单叶双曲面上7+™LJ=1

a2b2c2

双叶双曲面W—E+M=K马鞍面)

a~bc~

多元函数微分法及应用

,du,du,du,

全微分：dz=—dx+—dydu——dxH-----dyH-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az«Jz=fx(x,y)Ax+力(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

z=/["«"]与dudzdv

dtdvdt

_dzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]

dudxdvdx

当〃=〃(x,y),u=v(x,y)时,

,du,du,dv^dx^dy

du——dxH----dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

dyd2y

隐函数2x,y)=O,

dxdx2

dzdz_Fy

隐函数F(x,y,z)=O,

dxFz办£

dFdF

F(x,y,u,v)=QJ/(F,G)F”F,

隐函数方程组du8v

dGdG

G(x,y,u,v)=Qv)G“Gv

dua7

包

&ia(£G)1a(F,G)

J3(x,v)Jd(u,x)

au¥i*F,G)1d(F,G)

J3(y,v)Jd(u,y)

微分法在几何上的应用:

X=(p(t)

Xf二y)'o'z-Zo

间曲y="⑺在点M5,%,z0)处的切线方程:

"(%)"'(幻〃伉)

Z=co(t)

在点M处的法平面方程：夕'(2)(x-/)+/(%)(y-)")+"(%)(z-Zo)=0

F(x,y,z)=OF,

若空间曲线方程为，则切向量F={A"工F；工

G：G,G

G(x,y,z)=OGvG：GZy

曲面R(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则：

1、过此点的法向量：/?={Fv(x0,y0,z0),Fv(x0,y0,z0),F;(x0,y0,z0))

2、过此点的切平面方程F*(x0,j0,z0)(x-x0)+Fv(x0,y0,z0)(y一%)+工z())(z-z。)=0

3、过此点的法线方程：°—=——=—三一

工“。，%，？。)Fy^0,y0,z0)Fz(xa,y0,z^

方向导数与梯度：

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为玛=geos。+gsin夕

dloxdy

其中夕为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：grad/,(x,y)=—T+—j

oxoy

它与方向导数的关系是?=grad/(九,y)Z,其中々=COSQ:+sin°.],为/方向上的

dl

单位向量。

—是graW(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

即,(%，%)=力(/，%)=0,令：，式/，%)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<O,(Xo，%)为极大值

AC3>00寸,<

A>0,(/,%)为极小值

则$AC-B2<0时,无瞰

AC—炉=。时，不确定

重积分及其应用:

j|f(x,y}dxdy=jjf(rcos。,rsin6)rdrd0

DD'

曲面z=/(%y)的面积A

JJxp(x,yyd<j

平面薄片的重心：亍="_不―JL__£_______________D________________

Mjj0(x,y)d(T'M|Jp(x,y)£/(T

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴4=JJy”(X,y)dcy,对于y轴=JJy}dc

DD

平面薄片(位于g，平面)对z轴上质点M(0,0M),(Q>0)的引力：F={工,F、/J,其中:

[川上3\

F=yjjp{x,yyxda=寸叫

D2

D(x2+y2+a2)2(x+y2+/)2D(A2+y2+a2)2

柱面坐标和球面坐标:

x=rcon6

柱面坐标？y=rsind,jj|f(x,y,z)dxdydz-JjjF(r,8,z)rdrd0clz,

z=z

其中：F{r,O,z)=/(rcos^,rsin^,z)

x=rsin(pc0^8

球面坐标*y=rsinesin/dv=rd(p-rsintp-dOdr-r2sin(pcird(pdO

z=rcofrnp

2JT尤

jj|y(x,y,z}dxdydz=|J|F(r,(p,0)r'^'w(pdrd(pd0=Jd。1d(pjF(y、(pf)/sin淑尸

QQ000

重心:无哮妒刖六卷妒.三二春梦心其中Af=jv=JUpd、

Q

222

转动惯量：Ix=^(y-+z)pdv,/,.=JJJ(.r+z)pt/v,4=JJJ(/+y2)M

£1c

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设/(x,y)在L上连续，乙的参数方程为卜=*"),(«<r<力),则:

0_____________

J/(x，y)[s=]\/[8(1),〃«)]5。'2«)+夕"(『)4/9<B)特殊'情况x=t

y二(p⑦

第二类曲线积分（对可标的曲线积分）：

设上的参数方程为！=°⑺，贝！J：

［y=/）

P

J尸（工y）dx+Q（x,y）dy=」{户即（，）,歹。）］”。）+。即«）,“（，）］，«）}dt

La

两类曲线积分之间的;：JPdx+Qdy=j（Pcosa+Qcos#）ds,其中々和/?分别为

LL

L上积分起止点处切向最勺方向角。

当尸=-y,Q=x,即；孚---2时，得到。的面积*A=jjdxdy=-jxdy-ydx

力D21

,平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域;

2、P（x,y）,Q（苍y）在G内具有一阶连续偏导数且刈=M。注意奇点，姐0,0）,应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

二元函数的全微分求积

在丝=二时，尸心+Qdy才是二元函翻《y)的全微分，其中：

dxdy

(X,v)

4(%,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设7=>'()=0。

(和-府)

曲面积分：

对面积的曲面积分，f(x,y,z)ds=y)]Jl+z：(x,y)+z：(x,y)dxdy

£%

对坐标的柚面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxcfy其111：

z

j|y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y))dxdy\取曲面的上侧时取正号；

I%

JJP(x,y,z)dydz-±||P[x(y,z\y,z\dydz,取曲面的前侧时取正号；

£生二

JJ。(m>\z)dzdx=±||Q[x,y(2,x),zjdzdx,取曲面的右侧时取正号。

I%

两类曲面积分之间的次系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=J|(Pcostz+Qcosfl+Rcosy)ds

zI

高斯公式:

“唱+篆詈)du=目Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=目(Pcos。+Qcosp+Rcos/)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div匠=2+独+空，即：单位体积内所产生的流体质量，若div±<0,则为消失…

dxdydz

通量:Jp,而ds=jjA“ds-JJ(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds,

zz

因此，高斯公式又可写成:用div瓦入=gA0

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

ff(--也)dydz+(---)dzdx+(丝——}dxdy=\Pdx+Qdy+Rdz

7zdydzdzdxdxdy*

dydzdzdxdxdycosacos6c>os/

上式左端又可写成g£dddd

办dz魔办dz

QRQR

dRdQdPdRdQ8P

空间曲线积分与路径赛的条件:•

dydzdzdxdx

ijk

3A3

旋度：rotA-&

axey。

-pR

向量场区沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=，鼠&/s

「

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以侬Jg(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)dy=J/(x)力得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分用呈可以写成电=/(x,y)=e(x,y),即写成£的函数，解法：

axx

设”=工贝。包="+X也，"+包=0(“),.•・'=—^分离变量，积分后培代替〃,

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程—+P*)y=Q(幻

dx

/当Q(x)=O时,为齐次方程，y=Ce公

[当QO)丰0时,为非齐次方程，y=(J。⑴C)e仍""

2、贝努力方程四+尸(幻y=Q(x)y\(n=0,1)

dx

全微分方程：

如果尸(羽y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

由如X,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中：斗■=P(x,y),R=Q(x,y)

oxdy

」./x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

d2y+P(x)半+Q(x)y=/(%),(/(幻三0H寸为齐次

京f(x)w0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)/+py'+qy=0,其中p,夕为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程。)/+pr+q=0,其中产，厂的系数及常数项恰好灿*)式中y”,yr的系数;

2、求出(△)式的两个帆，2

3、根据斗弓的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

4，口的形式

两个不相等实根(//一4g>0)

两个相等实根(J1

p2-4q=0)y=(q+c2x)^'

一对共枕复根M

(p2-4”0)y=e(qcosJ3x+c2sin/Jr)

八=a+i/3,r2-a-ip

a=-L£-

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+py'+qy=f(x),p,夕为常数

/%)=*,(力型,a为常数;

J(jc)=e^[Pt[x}CGsci)x+E(x)sin⑦幻型

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材匕S有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷

的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不

知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A+B=6+A

②(A+B)+C=A+(8+C)

(3)c(A+B)=cA+cB(c+d)A=cA+dA

④c(dA)=(cd}A

⑤cA=0oc=0或4=0。

(4-

(A±B)「=AT+BT

(cA)，=c(A)

=BTAT

r(n(»-l)---21)=C,；=〃(7)

D—ci21A，2J+Q)2A>2+…,+

转置值不变[A[=|A]

逆值变|A*百

|CA|=

3，一+尸2，0=卜，尸i，M+k尸2，/|

A=(al,a2,a3),3阶矩阵

B=1P\,。2'

k+w斗网

A+B=(ai+4,%+42，%+A)

|A+国=|%+B3az+P2,a3+阂

A0

0B*BI胭

国,)(或=1

有关乘法的基本运算

Gj=ai\b\j+%2b2j*++-《/（/

线性性质（A+A?）8=AB+A?B,

A（B1+B2）=AB,+AB2

（cA）B=c（AB）=A（cB）

结合律（AB）C=A（BC）

（A”=BTA'

|4耳=|小忸|

AkA1=Ak+I

（A"）=Akl

（AB）k=屋8"不一定成立！

AE=A,E4=A

A（kE）=kA,（kE）A=kA

AB=E<=>BA=E

与数的乘法的不同之处

（AB）"=不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E=（A-3E\A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当AB=O时为A=0或8=0

由A力0和AB=0力B=0

由A/0时A8=AC势6=C（无左消去律）

特别的设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB=AC=B=C。

右消去律：BA^CA=>B=C.

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①43=0=3=0

②AB=AC=8=C

可逆矩阵的性质

i)当A可逆时，

“也可逆，且(“广=(4-了。

A”也可逆，且(A")"=(A-『

数CHO,cA也可逆，(cA)-1=-A-\

c

ii)A,8是两个”阶可逆矩阵oAB也可逆，且(AB)T=6X

推论：设A,B是两个”阶矩阵，则A6=EoBA=£

命题：初等矩阵都可逆，且

(E(z,./))-'=£(/,；)

(E(i，/(c)))7=E(i"(-c))

命题：准对角矩阵

A.000司000

0000蜀00

4=可逆<=>每个A,都可逆，记A-1=

000000

000000A1

伴随矩阵的基本性质：

AA*=4*4=小

A*

当A可逆时，=E(求逆矩阵的伴随矩阵法)

lAl

且得：(A*)T=6=伊卜=甲仙厂=6

伴随矩阵的其他性质

①|蝴=『,A*=|A|A-1

②(A，)=(A*)，，

@(cA)*=c"-正,

④(AB>=8*A*,

⑤(A&〉=(A*y,

⑥(人中,斗尸人。〃=2时，(A*»=AA*=

关于矩阵右上肩记号：T,k,-1,*

i)任何两个的次序可交换，

如卜=(A*y,

5*尸=(A')*等

ii)(AB)，=BTAT,(ABY'=B''A-',

(A8)*=B*A*

但(A?)*="A*不一定成立！

线性表示

0->ax,a2,---,as

xa

P—>%。2,…，%oii+x2a2+■■■+xsas=,有解

<=>（%,。2,…，％）x=仅有解（》=（X|,…,X,）'）

Ax=/有解，即夕可用A的列向量组表示

AB=C=G，弓，…“,），A=

则小々，…，Gf%.，…，％。

力，，2,…，力

则存在矩阵C，使得的，/2,…,0)=(%,%，…,a,)C

线性表示关系有传递性当…，夕一>£],%「,,，&$-八,々,…'。，

则QI，尸2,…，Af八，马,…，小

等价关系：如果%,％，…,％与四，22,…，目互相可表示

%,%，…，见安四，四，…，氏

记作%,…，口。

线性相关

s=l,单个向量a,xa=Oa相关u>e=O

S=2,%,。2相关O对应分量成比例四,。2相关=：4=。2也=…=。"：久

①向量个数$=维数〃，则必，…,%线性相(无)关o®…叫=田0

A=(a"％,…,a“)，Ax=O有非零解。同=0

如果6>〃，则%，%，…,%一定相关

Ax=0的方程个数n<未知数个数s

②如果％,。2,…,见无关，则它的每一个部分组都无关

③如果%,%，…,见无关，而%，%，…，&，£相关，则&

证明：设G，…,c.,,c不全为0,使得G4+…+c。，+。尸=0

则其中cwO,否则G，…,q不全为0,C/]+…+c,a*=0,与条件外,…,a*无关矛

盾o于是/?=—(ZO

CCs

④当B一%,…,见时，表示方式唯一•=/…见无关

(表示方式不唯一=必…4相关)

⑤若川,…，4…并且r>s,则夕”…，目一定线性相关。

证明：记A=(a1-,a)B=的,…,?)

则存在sxt矩阵C,使得3=AC。

Cr=O有s个方程，/个未知数，s<t,有非零解〃，。〃=0。

则8〃=A。7=0,即〃也是8r=0的非零解，从而四,…,丹线性相关。

各性质的逆否形式

①如果%,鬼，…，&无关，则sW〃。

②如果四,&2,…,见有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果囚…见无关，而尸f%,…,巴,则因,…,见月无关。

⑤如果⑶一/…%,尸।…以无关，贝h《s。

推论：若两个无关向量组%…&与丹…丹等价，则$=人

极大无关组

一个线性无关部分组(/),若#(1)等于秩a”%，①，4.⑺，。)就一定是极大无关组

①四，％「••,见无关O7(%,12,…，a、)=s

②P-a,，4…，见)

另一种说法：取%,。2,q的一个极大无关组(/)

(/)也是药,。2,…，4,尸的极大无关组0(1),£相关。

证明：43&0力7(/)0(/),尸相关。

7(a”…,aj,〃Tarq

J(a”…，aj+l，尸分％，…，&

③夕可用6,…,a,唯一表示=7（%,…,a,,4）=y（q,…,a,）=s

@A'a,,<»/（a1,---,<zs,y?1,---,/?,）=/（（z1,---,aJ

--saj

⑤即…,a、=%…,0o.Qi，…4,之…夕）=y（儿…血）

矩阵的秩的简单性质

0<r（A）<min{m,n}

r（A）=0oA=0

A行满秩：r（A）=m

A列满秩：r（A）=n

〃阶矩阵A满秩：r（A）=〃

A满秩oA的行（列）向量组线性无关

<=>网=0

<=>A可逆

oAr=0只有零解，Ax=/唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①r（A，）=r（A）

②c¥0时，r（cA）=r（A）

③r（A±8）4r（A）+r（B）

④r（AB）<nin{r（A）r（B）}

⑤4可逆时，r（AB）=r（B）

弱化条件:如果A列满秩，则7（A8）=7（8）

证：下面证ABx=0与Bx=0同解。

〃是A8x=0的解o=0

OBT]=0<=>;7是BY=0的解

5可逆时，r（AB）=r（A）

⑥若A3=0,则r（A）+《B）W〃（A的列数，8的行数）

⑦A列满秩时，・（/3）=r（8）

8行满秩时，（钻）=44）

⑧r（AB）+n>r（A）+r（B）

解的性质

1.Ax=0的解的性质。

如果7,〃2,…，”是一组解，则它们的任意线性组合G7+C2772——+G/7,一定也

是解。

=0=A（G7+c2rj2+…+q7）=0

2.Ac=£（/#0）

①如果。看2,…，,是Ax=用的一组解，则

C&+0242+…+44也是4x=夕的解=ci+c2+•••+、=1

c&+c2^2+…+q>5是Ax=0的解=.+c2+…+c«=0

=Q.Vi

A（c&+c£?+…+eg）=GA。+c2A幺+…+ceA^e

=（C|+C2+…+cj/?

特别的：当是4x=£的两个解时，卷一是Ax=0的解

②如果品是Ax=°的解，则n维向量J也是Ax=尸的解=J一4是土=0的解。

解的情况判别

方程:Ax=0,即.%+x2a2+…+%〃”=月

|有解|oP

0/伽用）=7（4）0/（。]，。2，.・・，。〃，尸）=7（/，%，.・.，4）

|无解|<=>/（A|/3）>/（A）

唯一解=y（A|尸）=/（A）=n

无穷多解|oy（A|⑶=/（A）＜n

方程个数加：

y（A\/3）＜m,y（A）＜m

①当y（A）=/〃时，y（A|A）=m,有解

②当tn＜〃时,y（A）＜n,不会是唯一解

对于齐次线性方程组Ax=O,

只有零解0/（A）=n（即A列满秩）

（有非零解oy（A）＜〃）

特征值特征向量

九是A的特征值oX是A的特征多项式A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

9।**、

A=022*

、00乙

X-A]-*-*

^xE—川=0x—A2—*=（x-A।—42X%—丸3）

00X-A3

（2）r（A）=1时：A的特征值为0,0,…,0,行⑷

特征值的性质

命题：〃阶矩阵A的特征值几的重数之〃——

命题：设A的特征值为X”/l2,…则

①X/2…2"=|W

②A,[+A.2+■,.+2“="（A）

命题：设〃是A的特征向量，特征值为2,即=则

①对于A的每个多项式f（A）,/（A）//=/（x）〃

1IAI

②当A可逆时，A~lr/=—r/,=

A4

命题：设A的特征值为4i，%2,…则