2021-2022学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京市石景山区高二(下)期末数学试卷

I.已知等差数列｛aj的通项公式册=-2n+5,则它的公差为()

A.2B.-2C.5D.-5

2.如果一个物体的运动方程为s(t)=t3(t>。)，其中s的单位是千米，♦的单位是小

时，那么物体在4小时末的瞬时速度是()

A.12千米/小时B.24千米〃卜时C.48千米/小时D.64千米/小时

3.一名老师和四名学生站成一排照相，则老师站在正中间的不同站法有()

A.4种B.12种C.24种D.120种

4.在(x—展开式中，含了项的系数为()

A.-35B.-21C.21D.35

5.已知曲线y=f(K)在(5)(5))处的切线方程是y=-％+5,则/'(5)与/'(5)的值分别

为()

A.51—1B.-1,5C.—110D.0,—1

6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，

事件8：“取到的2个数均为偶数”，则P(BM)等于()

A.-B.-C.-D.-

8452

7.下列命题错误的是()

A.随机变量《〜B(nj),若E(f)=30,则n=90

B.线性回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心(x,y)

C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

D.设f〜N(l82),且P(f<0)=0.2,则P(1<f<2)=0.2

8.已知数列｛%｝的前〃项和为%,若a.=]+2+；++,」则55=()

A.2B.-C.-D.-

235

9.已知函数f(x)=x+l-de-有两个零点，则实数a的取值范围为()

A.(-B.(一白,+8)C.(一0)D.(—,4-oo)

10.等差数列｛aj的前〃项和为无，前〃项积为〃，已知。2=-11，&4=一7,贝ij()

A.Sn有最小值，%有最小值B.S”有最大值，及有最大值

C.Sn有最小值，有最大值D.Sn有最大值，”有最小值

11.离散型随机变量f的分布列如表：

012

11

pa

24

则E(f)=;D(f)=.

12.在(1+3x)4的展开式中，二项式系数之和为；各项系数之和为.(用数

字作答)

13.已知函数/(为=一/+(1/一%一1在/?上是单调函数，则实数。的取值范围是

aa

14.在数列｛tin｝中，%=｝nn+l+1=an,nGN*,则42022=-

15.若存在常数上和儿使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数X都满足：

/(x)>kx+b和g(x)<kx+b恒成立或(f(x)<kx+b和g(x)>kx+b恒成立)，

则称此直线y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=x2,g。)=

1(%<0),有下列命题：

①直线y=0为/(%)和g(x)的“隔离直线”.

②若y=-％+b为/(x)和g(x)的“隔离直线”，则人的范围为［—4,一》

③存在实数匕使得f(x)和g(x)有且仅有唯一的“隔离直线”.

④/'(x)和9。)之间一定存在“隔离直线”，且b的最小值为-4.

其中所有正确命题的序号是.

16.已知数列｛aj是公比为2的等比数列，且a2,a3+l,a,成等差数列.

(/)求数列｛斯｝的通项公式；

(〃)记“=an+log2azi+i，求数列｛砥｝的前〃项和

17.某射手每次射击击中目标的概率是|,且各次射击的结果互不影响，假设这名射手

射击3次.

(团)求恰有2次击中目标的概率；

(团)现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；

若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分.记f为射手

射击3次后的总得分，求f的分布列与数学期望.

18.已知函数f(x)=ax3+bx2,当％=1时，f(x)取得极值-3.

(回)求a,〃的值；

(团)若对于任意x>0,不等式f(x)+2m2-巾2o恒成立，求实数〃?的取值范围.

19.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位

员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.

(团)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

(回)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.设选出的3

人中男员工人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

(团)考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78,85,89,92,96；结

合答辩情况，他们的考核成绩分别为95,88,102,106,99.这5名员工笔试成绩

与考核成绩的方差分别记为*,sl，试比较式与，的大小.(只需写出结论)

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20.已知函数"x)=lnx—W.

(团)求曲线y=f(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(@)若存在殉>1,当xe(l,xo)时，恒有f(x)>k(x—l),求实数4的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：等差数列的通项公式怎=-2n+5,

则%=-2+5=3,a2=—2x2+5=1,

则它的公差为。2—%=1-3=-2.

故选：B.

等差数列｛a“｝的通项公式a。=-2n+5,求出％,a2＞它的公差为&2-%.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解:根据题意，s(t)=t3(t＞。)，则s，(t)=3t2,

则s'(4)=3x16=48,

所以物体在4小时末的瞬时速度是48千米/小时.

故选：C.

根据题意，求出s(t)的导数，由导数的定义计算物体在4小时末的瞬时速度s'(4)即可.

本题考查导数的计算，涉及导数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①、老师站在正中间，有1种情况，

②、将四名学生全排列，安排在两边的4个位置，有4：=24种排法，

则5人不同的站法有1x24=24种.

故选：C.

根据题意，分2步进行分析：①、由于老师站在正中间，易得其站法数目，②、将四名

学生全排列，安排在两边的4个位置，由排列数公式可得学生的站法数目，由分步计数

原理计算可得答案.

本题考查了排列、组合的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：展开式中含x的项为C次然―＞3=一35%,

所以x的系数为—35,

故选：A.

根据二项式定理求出展开式中含x的项，由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

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5.【答案】D

【解析】解:•••曲线y=/(x)在(5/(5))处的切线方程是y=—x+5,

••­/(5)=-5+5=0；且/(5)=-1.

故选：D.

由切点处的函数值相等求解f(5),再由导数的几何意义可得/'(5).

本题考查导数的几何意义及应用，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：PQ4)=等=：,PQ4B)=^=3由条件概率的计算公式得P(BM)=

Cg5Cg10

PQ4B)_1

P(4)-4-

故选：B.

根据条件概率的公式计算即可.

本题考查了条件概率，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：对于A,随机变量f〜B(n*),E(f)=30,

则［n=30,解得n=90,故A正确，

对于B,由线性回归方程的性质可知，线性回归直线丫=bx+a一定经过样本点的中心

(x,y),故B正确，

对于C,两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,故C正确，

对于。，若f〜N(1Q2),且P(f<0)=0.2,

则P(0<f<1)=<1)一尸(f<0)=0.5-0.2=0.3,

所以P(l<f<2)=03故。错误.

故选：D.

对于A,结合二项分布的期望公式，即可求解，

对于3,结合线性回归方程的性质，即可求解，

对于C,结合相关系数的定义，即可求解，

对于Q,结合正态分布的对称性，即可求解.

本题主要考查命题真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由于

anl+2+3+...+n-,5+1)­n(n+l)-n+r

2

所以％=2(1…；-击)=2(1-^)=含

5

故55=当

3

故选：c.

首先利用关系式的变换整理得即=2(；-W)，进一步利用裂项相消法的应用求出数列

的和.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的变换，裂项相消法在数列求和中的应用，主要

考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

9【答案】A

【解析】解：由题意，函数f(x)=x+l—ae-x的定义域为R,

x

令f(%)=0，即％+1-m一”=0,即Q=(%4-1)-e,

设gQ)=(x4-1)-ex,可得g'(%)=e*+(%+1)•e*=(%+2)・ex,

当x<一2时，g'Q)<0,

当%>—2时，g'(%)>0,

所以g(x)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增.

又。(-2)=-2，作出简图，如图所示，

只需y=a与g(x)=(x+1).蜡的图像有两个交点，所以一套<a<0,

即实数a的取值范围是一为<a<0.

e2

故选：4

令/'(%)=。，转化为a=(x+1)-ex,设g(x)=(x+1)-ex,利用导数求得函数g(x)单

调性和最值，把函数的零点，转化为y=a与9。)=(%+1)・短的图像有两个交点，结

合图像，即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的零点，已知零点个数求参数的取值范围的方法等知识,

属于中等题.

10.【答案】C

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【解析】解：•.,等差数列｛册｝的前〃项和为土，前〃项积为"，a2=-11，a4=-7-

I：11gdJ)，解得的=一13，d=2,

:.a„=-13+(n-1)x2=2n—15,

由anWO,解得nW孩，n€N*,

••.等差数列｛aj的前”项和又满足S7最小，无最大值，

=—13,a2=-11,CZg=^9,=7,~-5,&6=—3,Cly—^1,CLQ=1,***

Tt=-13,T2=143,T3=-1287,7；=9009,心=—45045,T6=135135,T7=

-135135,-

当n28时，Tn<0,且为递减数列，

・・•〃有最大值135135,没有最小值.

故选：C.

根据已知条件求得的,d,进而是求得a”，结合数列的有关性质确定正确选项.

本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

11.【答案】好

【解析】解：由分布列可知：a+；+；=l,得a=；：

244

所以E(《)=0xi+lxi+2xi=lt

1111

D(f)=(0-l)2x-4-(1-l)2x-+(2-l)2x-=-.

4L4-L

故答案为：1;右

根据分布列的性质求出参数m再计算期望和方差.

本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.【答案】16256

【解析】解：展开式的二项式系数和为24=16,

令x=l,则各项系数和为(1+3)4=256,

故答案为：16；256.

根据二项式系数和公式即可求解，再令x=l,即可求出各项系数和.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

13.【答案】［-但向

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性，导数的运算，考查转化思想，是基础题.

由求导公式和法则求出r(x),由题意和导数与函数单调性的关系可得：((乃式0在/?

上恒成立，利用二次函数的图象和△列出不等式，求出实数。的取值范围.

【解答】

解：由题意知，/(%)=—X3+ax2—%—1,

则尸(x)=-3x2+2ax—1,

•••/(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，

••f'(x)——3x2+2ax-1<0在R上恒成立,

则^=(2a)2-4x(-3)x(-1)<0,解得一次<a<V3,

.•・实数a的取值范围是［一

故答案为：［—B,b］.

14.【答案】2

_

【解析】解：由的=anan+1+1=an,nG.N*可依次求得a?=0-3=2,a4=

…，可知数列似“｝各项值以3为周期进行周期性变化，所以。2022=。3=2.

故答案为：2.

由的=：,anan+1+1=an,neN*可依次求得a2,a3,a4,■■■,然后根据周期性可得

。2022值・

本题考查数列递推公式应用，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题.

15.【答案】①④

【解析】解：①因为当x<。时，/(x)=/>o,g(x)=1<0,所以直线y=0为f(x)和

g(x)的“隔离直线"，所以①正确，

②，因为y=—x+b为/(x)和g(x)的“隔离直线”，所以/z—x+b恒成立，所以bW

x2+x=(x+|)2—即bS

同时:〈一x+b(x<0)恒成立，所以b2x+：(%<0)恒成立，因为％+1=-(-%+

<-2J(-x)-=-2,当且仅当一工=一；，即x=—l时，取等号，则匕2-2.综上

—2<b<-J,所以②错误，

对于③④，设f(x)=/，。(工)=i(x<0)之间的隔离直线为y=kx+b,B|k2>kx+b,

x2-kx-b>0恒成立，所以4=fc2+46<0,所以匕<0,

因为：0依+V0),所以依2+以一i工oQvo)恒成立，当人>0时，不合题意，

当k=0,b=0时，符合题意，

当々V0时，令y=/c%2+bx—i,对称轴为％=一嘏工0,所以只需满足/72+软式0.所

以<一4"且/<-4fc,所以d<16b2<-64k,所以一4<k<0.,同理可得一4<b<

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0,

所以f(x)和g(x)之间一定存在“隔离直线“，且b的最小值为-4,f(x)和g(x)之间有

无数条“隔离直线”，且实数k不唯一，所以③错误，④正确，

故答案为：①④.

根据“隔离直线”的定义，建立不等式关系，根据不等式恒成立分别进行判断即可.

本题主要考查不等式恒成立问题，根据“隔离直线”的定义转化为不等式恒成立是解决

本题的关键，是中档题.

16.【答案】解：(/)由题意可得2(。3+1)=+。4，

即2(4%+1)=2%+8%,

解得：臼=1,

•••数列｛即｝的通项公式为an=2-1；

n

(〃泡=an+log2an+1=2t+n,

Tn=br+b2+b3A------+-bn

=(1+2+3+…+n)+(2。+2】+2?+…+2n-1)

_n(n+l)1-22_n(n+l),2„_t

―21-2-2'

【解析】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前"项和,

属于较易题.

(/)由题意可得2(d3+1)=+&4，由公比为2,把&2、。3、口4用为表示，求得心，可

得数列的通项公式；

(〃)利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后用分组求和法求解数列的和即可.

17.【答案】解：(/)记“射手射击3次，伶有2次击中目标”为事件A,

因为射手每次射击击中目标的概率是|,

所以P(4)=废x©2x(l—|)=g；

(〃)由题意可得，X的可能取值为0,1,2,3,6,

P(X=0)=(1一|)3=/；p(x=l)=cix|x(l-|)2=|；

P(X=2')=-x-x-=-lP(X=3)=-x-x-+-x-x-=-,

P(X=6)=(|)3=*

所以X的分布列如下：

X01236

12488

P

279272727

因止匕，E(X)=0x±+1x|+2x±+3xA+6x±=g.

【解析】(/)先记''射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件A,根据题中条件，即可

得出结果；

(〃)先由题意确定X的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出

期望即可.

本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式,

以及分布列与期望的概念即可，属于中档题.

18.【答案】解：(团)由((%)=3ax2+2bx,

当x=l时，的极值为-3,

-{/(??=-3'解得{'I

(助由(圈)可得f(x)=6x3-9x2,

不等式/(%)+2m2—m>0对任意%>0恒成立，

等价于/(%)>m-2/对任意%>0恒成立，即f(x)min2m2.

/'(%)=18x2—18%,

由/(%)>0得％<0或%>1,由/'(x)<0得0V%V1,

・•・函数/(%)的单调递增区间是(一8,0)和(1,+8),单调递减区间是(0,1),

.•.当x=1,y(x)min=/(1)=-3,

—3>m—2m2,BP2m2—m—3>0,

:.m<-1或zn>I，

即实数m的取值范围是(-8,-l]U[|,+8).

【解析】(团)求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，即可求出”，匕的值；

(团)问题转化为f(x)>m-27n2对任意久>0恒成立，利用导数求出/(x)的最小值，从而

求出，〃的范围即可.

本题考查了函数的极值与最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题.

19.【答案】解：(回)抽取的5人中男员工的人数为於x27=3,

女员工的人数为5x18=2.…(4分)

(日)由(回)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.

所以，随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

根据题意，P(X=1)=萼=*P(X=2)=萼=1,P(X=3)=等=)

GcXUGeXUUgXU

随机变量x的分布列是：

X123

361

P

101010

数学期望EX=1X^+2XA+3X±=12==凯.（10分）

（团）sg=S/L（13分）

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【解析】(团)利用抽取的比例即可得出.

(图)由(团)可知，抽取