2020-2021学年四川省眉山市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020・2021学年四川省眉山市高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.设集合2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则Cu(AUB)=(

A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

2.下列图象中，表示函数关系y=/（x）的是（）

A.-1B.1C.0D.2

2冗

4.若a=2O.5,h—log3,c=logsirr,则（

n2"T)

A.a>b>cB.h>a>cC.c>a>hD.h>c>a

5.如果函数y=G（〃>0,的反函数是增函数，那么函数y=-log”（x+1）的图象大

6.cos160°sinl0°-sin20°cosl0°=()

…喙B.喙

7.已知函数/(x)=\(«GR),若函数/(x)在R上有两个零点.则。的

3x-l,x>0

取值范围是()

A.(-8,-I)B.(-8,I)C.(-1,0)D.［-1,0)

兀

8.为了得到函数丁=8$2%的图象，可以将函数y=sin(2x+—)的图象()

7T兀

A.向左移4个单位B.向左移个单位

48

兀兀

C.向右移一1一个单位D.向右移一尸个单位

48

9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的

扇形制作而成，设扇形的面积为‘，圆面中剩余部分的面积为$2,当即与用的比值为

时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()

A.(3-遥)兀B.(我-1)兀C.(V5+1)7TD.(浜-2)兀

10.已知为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已

知药物释放过程中，室内空气中的含药量y(mg/“3)与时间t(h)成正比(0<t<j)；

药物释放完毕后，y与，的函数关系式为(。为常数，t/),据测定，当

空气中每立方米的含药量降低到0.5(相g/必)以下时，学生方可进教室，则学校应安排

工作人员至少提前()分钟进行消毒工作

11.已知3>0,函数f(x)=2sin(3x4-)在［合，±1记~］上单调递减，则实数3的取值

范围是()

A.(0,1]B.,,-]C.[-1-,,1-]D.f-|-,-|-]

12.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)-f(-x)=0,且当xe[0,1]时，f(x)

则下列结论正确的是()

=log2(x+1),

的图象关于直线x=l对称；

②/'(x)是周期函数，且2是其一个周期；

③樗)〈吗)；

④关于x的方程/(冗)-f=0(0<7V1)在区间(-2,7)上的所有实根之和是12.

A.①④B.①②④C.③④D.①②③

二、填空题(共4小题).

13.函数/(X)=4x2)20+2(4>0且的图象必经过定点.

]

14.函数/(x)=J]0g]7的定义域为.

15.已知函数/(x)=x+tanx+l,若f(a)=2,则/(-〃)=.

16.设函数f(x):cosx-cos(x'^~)-sin:x，sin(x'^-)+L有下歹U结论：

①点兀，0)是函数/(X)图象的一个对称中心；

JT

②直线X是函数/(X)图象的一条对称轴；

③函数/(X)的最小正周期是m

-7T

④将函数/(x)的图象向右平移g个单位后，对应的函数是偶函数.

6

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(共6小题).

17.已知tana=2.

TV„

(1)求tan(a+一=)的值；

4

sin2a

(2)求一；~~~~~~_.的值,

sina+sin.CtcosQ-cos2a-1

18.已知集合A={xl2“+1WxW3a+5},8={xlxW-2或x25}.

(1)若a=-2,求AUB,AC1B；

(2)AQB=A,求实数a的取值范围.

19.已知函数f(x)=2>/"§sinx・Gosx+cos2x-sin,-L(xeR)

（1）求函数y=/（x）的单调递增区间；

（2）若［-甘-，0］，求/（X）的取值范围.

20.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的

飞行速度V（单位：m/s）与其耗氧量。之间的关系为：Y=a+'bl0g-1-^r（其中a,b是

J1U

实数）.据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单

位时，其飞行速度为10m/s.

（1）求出a,b的值；

（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于20〃加，求其耗氧量至少要多少个单位？

兀一

21.已知函数/（x）=Acos（3x+（p）（A>0,3>0,IcpK-r-）的部分图象如图所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）设a,。为锐角，cosa=W*,sin（a+P）变"，求f（与）的值.

565C

22.已知函数f（x）=kx+logg（9*+1）,（依R）是偶函数.

（I）求左的值；

（II）若《）-击地）〉0对于任意广恒成立，求h的取值范围；

（山）若函数=x£［o,］0ggg］，是否存在实数，〃使得人

（x）的最小值为0?若存在，求出机的值，若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则加(AUB)=()

A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.[1,2,4,6)

【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可.

解：集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},8={3,4,5),

则AUB={1,3,4,5).

Cu(AUB)={2,6}.

故选：A.

2.下列图象中，表示函数关系y=/(x)的是()

【分析】由函数的对应可知，y=/(x)中的x有唯一的y和它对应，满足这点的图象只

有选项。，从而选O.

解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，只有选项。的图象满

足这一点.

故选：D.

lOgq(-X),'VO

3.已知函数/(x)=，

A.-1

【分析】利用分段函数的性质求解即可.

解：."(x)=

：.f(2)=/(-3)=log3(-(-3))=1.

故选：B.

4.若a=2o.5,/?=log;3,c=log2sin-p—,则()

J

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【分析】利用估值法知。大于1，人在0与1之间，C小于0.

解：0<sin-^-<l,

由指对函数的图象可知：«>1,OVbVl,c<0,

故选：A.

5.如果函数丫=幻(a>0,aWl)的反函数是增函数，那么函数)，=-log”(x+1)的图象大

【分析】本题关键在于需要知道如何求解反函数并且熟悉对数函数的基本性质.

解：丫=外的反函数为y=log«x,因为该函数为增函数，所以〃>1,

因止匕y=-log”(x+1)的图象单调递减，排除2和D

因为函数定义域为x+l>0因此x>-1,

故选：C.

6.cos160°sinlO°-sin20°cos10°=()

AMa6r11

A--TB-Tc--5Dn-2

【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出.

解：cosl60°sinl00-sin200cos10°,

="cos20°sin100-sin20°coslO°,

=-(cos20°sin10°+sin20°cos10°),

=-sin300,

1

-

故选：c.

巳'十a,

7.已知函数/(x)=.(。也)，若函数/(x)在R上有两个零点.则〃的

3x-l,x>0

取值范围是()

A.(-oo,-1)B.(-oo,1)C.(-1,0)D.[-1,0)

【分析】由分段函数知当x>0时x=2,从而可得当xWO时，&+a=0有解，从而解得.

解：当x>0时，由3x-1=0解得才=9，

故当xWO时，。什。=0有解，

VO<ex^l,

・・・-1«0,

故选：D.

兀

8.为了得到函数y=cos2i的图象，可以将函数y=sin(2x+—)的图象()

兀兀

A.向左移丁个单位B.向左移个单位

48

兀兀

C.向右移一丁个单位D.向右移一尸个单位

48

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换和伸缩变换的应用求出结果.

7T7T

解：•函数y=sin(2A*+—4—)=cos[2Q],所以要得到函数丁=以)52A1的图象，只

兀7T

需要将函数函数丫=$皿(2x+—)的图象向左平移丁个单位.

-48

故选：B.

9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的

扇形制作而成，设扇形的面积为圆面中剩余部分的面积为$2,当\与52的比值为

J7-1

时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()

A.（3-V5）^B.（V5-l）7lC.（旄+1）兀D.（VS-2）7T

【分析】由题意知S,与邑所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,

可设S1与52所在扇形圆心角分别为a、0,列出方程组求出即可.

解：由题意知，与邑所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，

设占与$2所在扇形圆心角分别为a,p,

则…

又a+0=2ir,

解得a=（3-遍）兀.

故选：A.

io.已知为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已

知药物释放过程中，室内空气中的含药量y（mghm）与时间t（h）成正比（0<t<5）；

药物释放完毕后，y与f的函数关系式为y=（t）5&（。为常数，t〉/）,据测定，当

空气中每立方米的含药量降低到0.5（见§加3）以下时，学生方可进教室，则学校应安排

工作人员至少提前（）分钟进行消毒工作

A.30B.40C.60D.90

【分析】根据函数过点（£，1）,可求出y关于，的函数解析式，在令y=]•求出f的值,

即可求出结果.

解：根据图象，函数过点（方，1）,

2x,0<t<j

故k,

号）t"t>|

当ty时,取f⑴1=1，

解得f=l小时=60分钟,

所以学校应安排工作人员至少提前60分钟进行消毒工作.

故选：C.

7T兀5兀

，L已知3>°,函数f(x)=2sinMT)在①,丁］上单调递减，则实数3的取值

范围是()

A.(0,1］B.点亮］C.哈,看］信春

兀兀兀兀兀

【分析】由题意利用正弦函数的单调性，可得春1X25「三5十一-丁，且「3+一二》

2④6226

JT5兀7T3兀

丁，且=3+百W三不，由此求得实数3的取值范围.

2002

7T5冗TV7T兀5兀兀

解：••.3>0’由彳在后丁，得—<o+—<n+—>

,兀一冗5冗乂A

函数/(X)=2sin(uxr+—)在［:丁，F-］上单调递减,

020

12兀5兀兀〜

，T7.\0<u)O①.

2w62

兀兀兀5兀兀3兀

且"773+"7"，"T7+2kn，且-7-•+2H:,k包,

Z02662

初，日八口「812,2「1812k

解得0)^—+4i,且0)^—+-=-即an4/:+—^u)^—+1,

S53oD5

9g

结合①可得仁。，即百

故选：D.

12.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)-f(-x)=0,且当xRO,1］时，f(x)

=10g2(A-+l),则下列结论正确的是()

①/'(X)的图象关于直线X=1对称；

(gy(%)是周期函数，且2是其一个周期；

③③冬<<鼻

O£

④关于X的方程/(X)-r=o(0<r<l)在区间(-2,7)上的所有实根之和是12.

A.①④B,①②④C.③④D.①②③

【分析】由题意可知/(X)的图象关于直线x=l对称，①正确；因为/(X)是奇函数，

所以f(x+2)=/(-%)=-/(x),所以/(1+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)

是周期函数，其一个周期为4,②错误；由/(x)的周期性和对称性可得/(x)在工日0,

1］时单调递增，从而可判断弓)，③错误；画出了(X)在区间「4,8］上对

应的函数图象，在区间(-2,7)上的所有实根之和是12.④正确.

解：由题意，f(x+2)-/(-x)=0,即/(x+2)

可知/(x)的图象关于直线x=l对称，①正确；

因为/(x)是奇函数，所以/(x+2)=/(-%)=-/(x),所以/(x+4)=-f(x+2)

=/(%),所以f(x)是周期函数，其一个周期为4,但不能说明2是/(x)的周期，故

②错误；

由/(x)的周期性和对称性可得式多=式4母=f(y)=f(-1).

又当xe［0,1］时,/(x)=log2(x+l),所以/(x)在xe［0,1］时单调递增，所以f勺)’

即£曲>吗),③错误;

又x€［0,1］时，/(x)=10g2(x+l),则可画出f(x)在区间［-4,8］上对应的函数图象

大致如下.

易得/(x)7=0(0</<1)即/(x)=t(0<r<l)在区间(-2,7)上的根分别关于

1,5对称，

故零点之和为2X(1+5)=12,④正确.

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷中的相应位置.

13.函数/(x)=ar^020+2(a>0且的图象必经过定点(2020,3).

【分析】令x-2020=0求出x的值和此时)，的值，从而得到函数/(x)的图象必经过定

点坐标.

解：令x-2020=0得：x=2020,此时y=ao+2=3,

所以函数f(x)的图象必经过定点(2020,3).

故答案为：(2020,3).

1

14.函数/(x)=也丁的定义域为(2,+8)

【分析】要使函数有意义，则需x>0,且1。82戈-1>0,运用对数函数的单调性，即可得

到定义域.

解：要使函数有意义，则需

x>0,且log,x-l>0,

即x>0且x>2,即有x>2.

则定义域为(2,.

故答案为：(2,+8).

15.已知函数/(x)=x+tanx+l,若/(a)=2,则/(-a)—0.

【分析】先利用解析式表示出/(〃)=12,求出a+tan〃=l,即可求出/(-a)的值.

解：因为函数/(x)=x+tanx+l,

所以J(a)=a+tana+l=2,所以a+tana=l,

所以=-a-tana+1=-1+1=0.

故答案为：0.

,兀、

16.设函数f(工)=COSMCO：S(X-sinx*sin(x-i^-)有5歹U结论:

①点(击冗，。)是函数/(x)图象的一个对称中心；

Jr

②直线X一厂是函数/(X)图象的一条对称轴；

③函数/(X)的最小正周期是E

「x7T

④将函数/(x)的图象向右平移肯个单位后，对应的函数是偶函数.

6

其中所有正确结论的序号是②③⑷.

【分析】推导出/(x)=cos(2x+-y-)+1,由此利用余弦函数的对称中心、对称轴、周

期、平移，能求出结果.

、.TT7T

W：lx)=cosx*cos(x-sinx，£in(x+^)+l=cos(2x+-^~)+1,

k7T7U

在①中，函数f(x)图象的对称中心为(美一十五，1)，依Z,

当k=-l时，点(击无，1)不是函数/CO图象的一个对称中心，故①错误;

在②时，函数/(X)图象的对称轴为：----—,AGZ,

40

JT

当左=1时，直线XF是函数/(X)图象的一条对称轴，故②正确；

PTT

在③中，函数/(x)的最小正周期是7=彳一=m，故③正确；

兀

在④中，将函数/(公的图象向右平移-1个单位后，

0

兀兀

对应的函数为：f(x)=cos[2(x--)+—J+l=cos2x+l,是偶函数，故④正确.

b5

故答案为：②③④.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知tana=2.

兀

(1)求tan(a+-])的值；

4

sin2a

(2)求o的值.

sin2J+sinCIcosCt-cos2Cl-1

【分析】(1)直接利用两角和的正切函数求值即可.

(2)利用二倍角公式化简求解即可.

解：tana=2.

7T

7Ttan。Haq2+1

⑴tan(a+—)=-------------元"=三万='3;

1-tanCltarr^-

__________sin2a____________________2sinQcosQ

(2)?—9o

sinCt+sin.acos^-cos2a-1sina+sinCtcosCI+l_2co§a-1

2tana____4

2=T=1•

tan^ClHanCl-24

18.已知集合A={xl2a+1WxW3a+5},8={x\x^-2或冗25}.

(1)若a=-2,求AU&AAB；

(2)AQB=Af求实数Q的取值范围.

【分析】⑴。=-2时，求出集合A,由此能求出4U3和403.

2&+1《力』5,

(2)由4n3=4,得AU3,当4=0时，2a+l>3a+5,当AW0时，<或

X.3a+54-2,

2a+l43a+5,

由此能求出实数。的取值范围.

2a+l>5,

解：(1)。=-2时，集合A={xl-3WxW-1},B={xlxW-2或x25}.

.\AUB=(-8,-1]U[5,+°°),AHB=[-3,-2].

(2)若AA8=A,WAcfi,当4=0时，2〃+l>3〃+5,解得QV-4,

’2口+143/5,j2a+l43a+5,

当心°时’[a+5<2或鼠+1>5,

7

解得-44a《-5或。》2,

综上所述，&《一1_或。22,

o

，实数。的取值范围是08,--^-]U[2,+8).

o

19.已知函数f(x)=2j§sinx・Gosx+cos?x-sin%-1(xeR)

(1)求函数)，=/(x)的单调递增区间；

(2)若xE［―^-»0］，求/(x)的取值范围.

【分析】(1)先利用辅助角公式化简函数f(x),再结合正弦函数的图象即可求出函数

y=/(X)的单调递增区间；

(2)由xE［-需，0］得至IJ号《2工吟《专，再结合正弦函数图象求出...

冗］TT

-l《sin(2xL^-)《5，所以-3<2sin(2x+g-)-l40.从而求出y=/(x)的取值

范围.

解：(1)由题设f(x)f/§sinZx+cosZx-lXsin&x+T-)-1，

b

由2k冗2k互+与，解得kn冗［j，

故函数y=/(x)的单调递增区间为［k冗-1-，k兀(keZ)；

5兀//2兀,冗,兀

(2)由-I；<x<0,可得-g<2x+^^~《飞

于是-3<2sin0.

故(x)的取值范围为［-3,0］.

20.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的

飞行速度V(单位：mis)与其耗氧量。之间的关系为：v=a+blog3a(其中mb是

J1U

实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单

位时，其飞行速度为10，〃/s.

(1)求出a,b的值;

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于20m/s,求其耗氧量至少要多少个单位?

Ca+b=O

【分析】(1)利用已知条件列出方程组°g求解即可.

la+2b=10

Q□Q...

(2)推出v=a+/?log3-^-=-10+101og3yr-.得至!I-lO+lOlog?而》20然后求解即可.

解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0，〃/s,此时耗氧量为30个单位,

故有«+/?log3y^-=0,即a+b=0,

当耗氧量为90个单位时，速度为\0m/s,

故〃+610g3元=10,整理得a+2b=10.

a+b=0a=-10

解方程组，得

a+2b=10,b=10

Q□

(2)由(1)知，v=a+Mog3y^-=-I0+101og3-y^-.

所以要使飞行速度不低于20,〃/s,则有v\20,

所以-10+101og3v"220,

QQ

即10g3左"23,解得金N27,即。1270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于20m/s,则其耗氧量至少要270个单位.

兀一

21.已知函数/(x)=Acos(3x+(p)(A>0,3>0,kpIVTj)的部分图象如图所示.

(1)求了(X)的解析式；

(2)设a,。为锐角，cosa=^,sin(a+p)=卫笑5，求/(与)的值.

565i

【分析】(1)根据函数图象求出43和年的值即可，

(2)利用两角和差的余弦公式和正弦公式进行化简求解.

解：（1）函数的周期7=2冬-（3兀4兀2兀

丁]=2X『m即y71,

O

则o)=2,f(x)=Acos(2v+(p)

7T7T兀

由五点对应法/bxz+cpuF",即年=:

BN4

,,7V

此时/(x)=Acos(2x+-j-),

1

兀

*.*/(0)=Acos-TI.即4=返_=血,

4

2

:,于(x)=d^cos(2x+i).

BL兀

(2)/(-^-)=V2cos(p+—),

B为锐角，cosa#,sin(a+B)=簪

・a,

20275

/.sina=2

25

2V5_26V5^22V5_.,“、

Vsina=寸b>k=sm(a+0