2020-2021学年江苏省盐城市东台市创新高级中学高二（下）检测数学试卷（4月份）（附答案详解）

2020-2021学年江苏省盐城市东台市创新高级中学高二

（下）检测数学试卷（4月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.曲线y=/gx在x=1处的切线斜率是（）

A.\B.InlOC.IneD.T-

InlOIne

2.若复数z=（3-2i）（l+i）（i是虚数单位），则复数z的共规复数在复平面内对应的点

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有.（）

A.120种B.80种C.48种D.20种

4.在（％-§6的展开式中，常数项为（）

A.20B.-20C.160D.-160

5.设4,B为两个事件，已知PQ4)=g,P(B|4)=%则P(4B)=()

A-2B,c.lDi

6.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个

村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于器的是（）

A.P（X=2）B.P（X<2）C.P（X=4）D.P（X<4）

7.某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人

数，则P（X22）=（）

2B-SC-tDl

8,若函数/0）=/-£1%+）》在区间（1,3）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.[3,+00）B.[3,e2+l]C.（-8,3]D.[e2+1,3]

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列求导过程正确的选项是（）

.（伪'=未

A.a=委B

C.(xay=axa~rD（叫步=（器）』竟

10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.复数z=3-i的虚部为T

C.若z=(l+2i)2,则复平面内3对应的点位于第二象限

D.已知复数z满足|z-l|=忆+1|,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

11.关于多项式(：-乃6的展开式，下列结论正确的是()

A.各项系数之和为1B.二项式系数之和为26

C.存在常数项D.铲的系数为12

12.下列关于说法正确的是()

A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B.某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布

C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=”4个

人去的景点不相同"，事件B="小赵独自去一个景点”，则PG4|B)=|

D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为0={1,2,3,456},令事件4=

{2,3,5},B={1,2},则事件4,B独立

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若复数z=(1-2i)(a+i)(i为虚数单位)是纯虚数，则a=.

14.(x+1)我的展开式中，/的系数为15,则n=.

15.某学生投篮三次，且每次投篮是否命中是相互独立的，每次投篮命中的概率都是|,

则该学生只有第三次投篮没投中的概率为.

16.已知曲线C：xy=27和直线I：3x+4y=0,点M在曲线C上，点N在直线，上，则|MN|

的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知/'(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数“X)在区间［一2,2］上的最值.

18.实数m分别为何值时，复数Z=2mZ+m-3+(ffl2_3m_18)i是

(1)实数；

第2页，共12页

(2)虚数;

(3)纯虚数.

19.5个男同学和4个女同学站成一排.

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

20.已知(2x+专)"展开式中前三项的二项式系数和为16.

(1)求n的值；

(2)求展开式中含/的项的系数.

21.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑(互

不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为：，%!.若对这三名短跑运动员的

100米跑的成绩进行一次检测.求：

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出现儿人合格的概率最大.

22.某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产

能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增

加值为(60-x)/万元，并且技改投入比率六G(0,5].

(1)求技改投入x的取值范围；

(2)当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••、'=焉，

二k=y%=i=焉

故选：A.

求出函数的导数，计算k的值即可.

本题考查了导数的应用，考查切线斜率问题，是一道基础题.

2.【答案】D

【解析】解：：z=(3-2i)(l+i)=5+i,

二z=5—i,

.・•复数z的共朝复数在复平面内对应的点(5,-1)位于第四象限.

故选：D.

根据已知条件，结合共辗复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查共辗复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a,b；分2步进行分析：先将甲

乙丙三个节目按给定顺序排好，再将a、b依次插入到空位之中，由分步计数原理计算可

得答案.

本题考查排列、组合的应用，注意分步计数原理的应用，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a,h；

分2步进行分析：

①，将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，

②，排好后有4个空位，将a安排到空位中，有4种情况，

排好后有5个空位，将b安排到空位中，有5种情况，

第4页，共12页

则不同的排法有4x5=20种；

故选：D.

4.【答案】D

【解析】解：展开式的第r+1项为：Tr+i=1\6-r(一§r=(-2)rc门6-2r,

所以当6-2r=0,即r=3,

此时常数项为:(-2)3瑶=-160,

故选：D.

利用二项式定理的展开式，即可解出.

本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：设A,B为两个事件，P(A)=|，P(B|A)=点

则P(4B)=P(4)P(BM)=|x：=

故选：B.

利用条件概率计算公式直接求解.

本题考查概率的运算，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查超几何分布问题，P(X=4)即选出的10个村庄中交通不方便的村庄数为4,由

公式计算概率即可，属于基础题.

【解答】

解：因为有7个村庄不太方便，所以从7个不方便的村庄中选取了4个，

所以P(X=4)=鬻.

C15

故选C.

7.【答案】C

【解析】解：P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=^+^=g

故选：C.

根据超几何分布的概率公式计算即可.

本题考查了古典概率公式，考查了运算能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：•••/。)=/一。尢+)乂在区间(1,6)上单调递增，

•••f'(x)=2x-a+^>0在［l,e］上恒成立，

即a<2x+］在［l,e］上恒成立.

令9(久)=2x+：,

当％e［l,e］时，9口)=2—妥>0,

g(x)在［l,e］上是增函数，

•••g(x)而n=5(1)=3，

•••a<3,即a的范围是(一8,3］,

故选：C.

依题意，f'(x)>0在［l,e］上恒成立，分离参数得a<2x+：在［l,e］上恒成立.再构造函

数g(x)=2x+：,求得其最小值，从而可得a的取值范围.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法的应用，考查转化思想与运算

能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,(力=(%-*=_妥，A错误；

对于B,(〃)，=(/)，==8正确；

对于C,{xay=axa~x,C正确；

对于D,(logj^x)7=。正确；

则B、C、。计算正确；

故选：BCD.

根据题意，由导数的计算公式依次分析选项中导数的计算是否正确，综合即可得答案.

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题.

第6页，共12页

10.【答案】AD

【解析】解：对于4i+i2+i3+i4=i-l-i+l=0,故4正确；

对于8：复数z=3-i的虚部为一1,故B错误；

对于C：若z=(1+2i)2=1+4i—4=—3+4i,所以z=—3—43则复平面内z对应

的点位于第三象限，故C错误；

对于D：复数z满足|z-l|=|z+l|,表示z到4(1,0)和B(—1,0)两点的距离相等，即z的

轨迹为线段4B的垂直平分线，故。正确.

故选：AD.

直接利用复数的定义，复数的运算和儿何意义判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式.

对于多项式(：-％)6的展开式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【解答】

解：对于多项式(：-尤)6的展开式，令％=1,可得各项系数之和为1,故A正确；

二项式系数和为=64,故B正确；

根据它的通项公式为4+1=。，26々.(一1尸./-6,当「=3时，》的基指数等于零,

故第四项为常数项，故C正确；

令展开式中X的基指数等于4,求得r=5,可得展开式中乂4的系数为叱x2x(-1)=

一12,

故。错误，

故选：ABC.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的

定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

直接利用随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的

定义的应用判断力、B、C、。的结论.

【解答】

解：对于4：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0,也可能是1,故出现正面的

次数是随机变量，故A正确；

对于B：某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从二项分布B(3,0.5)

而不是两点分布，故8错误；

对于C：小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A="4个

人去的景点不相同"，事件B="小赵独自去一个景点”，

八4X3X2X124X3327

故P(4)=^^-=豆，PW=-=-)

2

所以P(4B)=刍P(川8)=需=善=|,故C正确；

对于。:抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为。={1,234,5,6},令事件A={2,3,5},

B=[1,2},所以PQ4)=GP(B)=；,P(AB)=g

66o

即P(AB)=P(4)P(B),根据事件的独立性，则事件A,B独立，故。正确.

故选：ACD.

13.【答案】-2

【解析】解：因为z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数，

所以a+2=OKI-2a*0,

解得a=-2.

故答案为：-2.

先利用复数的乘法运算化简z,然后由纯虚数的定义求解即可.

本题考查了复数的运算，以及复数的基本概念的运用，考查了化简运算能力，属于基础

题.

14.【答案】6

【解析】解：0+1尸的展开式中，/的系数为鬣=15,71=6,

故答案为：6.

由题意利用二项展开式的通项公式求得产的系数，再根据"的系数为15,求得71的值.

第8页，共12页

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基

础题.

15.【答案】

【解析】解：由题知，该学生投篮三次，第一次和第二次都投中.

第三次没投中的概P=6)2X(1-J)==

故答案为：怖;.

利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.

本题主要考查相互独立事件，属于基础题.

16.【答案】y

【解析】解：由曲线C的方程盯=27,得y=§，则：/=—*.

由直线，的斜率为-：，可得%=-3,解得％2=36；因为曲线C关于坐标原点对称，不

44

妨取x=6,结合xy=27,解得y=g,

所以，在曲线C上与直线，平行的切线的切点坐标为(6,今，

因此|MN|的最小值即为该点到直线2的距离，即I3X6+4XQ=36；

55

故答案为：

由题意根据导数的几何意义，求出曲线C上与直线/平行的切线的切点坐标，利用点到直

线的距离公式，计算求得结果.

本题主要考查导数的几何意义，两点间的距离公式、点到直线的距离公式,属于中档题.

17.【答案】解：⑴因为/(x)=2/—巾％2—I2%+6,所以/''(%)=6/—2mx—12,

因为/(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,

所以((2)=6x22-2mX2-12=0,解得m=3,

此时f(x)=2%3—3%2-12x+6,/'(x)=6x2—6x-12=6(x+l)(x—2),

令((x)=0,得x=—1或x=2.

令((x)<0,得-l<x<2；令((x)>0,得％<-1或%>2,

故函数f(x)在区间(—1,2)上单调递减，在区间(―8,-1),(2,+8)上单调递增.

(2)由(1)知，f(x)在［—2,—1］上为增函数，在(—1,2］上为减函数，

所以x=-1是函数/Q)的极大值点，

又〃-2)=2,/(-I)=13,/(2)=-14,

所以函数在区间［-2,2］上的最小值为-14,最大值为13.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查学生运算求解能力,

属于中档题.

(1)先对函数求导，由函数/(x)的一个极值点为2可求得m的值，再利用导数与单调性的

关系即可求得单调区间；

(2)由(1)知函数/"(X)在区间［—2,2］上的单调性，可得x=-1是函数f(x)的极大值点，并

计算/(-2),f(—1)和;"(2)的值，取最大者为最大值，最小者为最小值.

18.【答案】解：⑴若复数是实数，则H33mo'18=0,

口=-3或m=6/口

即)”,得m=6；

(7710—3

(2)若复数是虚数，则仁?鲁118*0,

piW-3日mW6…厂

即11rt)且，则mW—3且H6；

(租0-3

2m24-m-3=0

(3)若复数是纯虚数，则M+3Ho，

m2—3m—18H0

便=1或m=-|

则Jm—3，

Im丰—3且m牛6

即m—1或zn=—|.

【解析】本题主要考查复数的有关概念的应用，根据相应的条件建立不等式组是解决本

题的关键，属于基础题.

(1)根据复数是实数，得虚部为零即可.

(2)根据复数是虚数，则虚部不为零即可.

(3)根据复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为0.

19.【答案】解：(1)4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为鹿加=

17280；

(2)先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：赞一

第10页，共12页

(3)先从7人中选出3人放在甲乙之间并进行排列，甲乙两个可以互换位置,

再把甲乙以及中间的三人看做一个整体，跟剩下的4人进行排列，可得排法为：=

302400；

(4)5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法f；=288(T

【解析】(1)捆绑法求解即可；

(2)插空法求解即可；

(3)特殊位置法求解即可；

(4)插空法求解即可.

本题考查了排列组合，考查了插空法、捆绑法、特殊位置法相关模型，关键点是对题型

和方法的把握，属于基础题.

20.【答案】解：(1)•••展开式中前三项的二项式系数和为16,

・•・〃+/+£=16,

即l+n+型山=16,

2

即2+2几+彦—n=32,即层4-n—30=0,得？i=5或几=一6(舍).

即几=5.

k5k