2020-2021学年高一数学人教A版必修第二册第六章章末检测数学试题【含答案】

2021年人教A版（新教材）必修第二册章末检测

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若=（-1,2）,=（1,-1）,贝！J等于（）

A.（—2,3）B.（0,1）

C.（-l,2）D.（2,-3）

2.已知△Z8C中，c=6,a=4,5=120°,则b等于（）

A.76B.2眄C.27D.2a

3.设ei，02为基底向量，已知向量

=白一曲2，=24一62，=3ei—若力，B,。三点共线，则人的

值是（）

A.2B.13C.-2D.3

4.向量a=(l,—1),6=(-1,2),则(2a+A>a等于()

A.-1B.0C.1D.2

5.已知向量«=,h=,若a〃〃，则锐角6（为（)

A.300B.600C.45°D.75°

6.在△NBC中，角B,C的对边分别是a,b,c,若3=45。，C=60°,

c=l,则最短边的长等于（）

7.如图所示，已知两座灯塔N和8与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔/

在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B

的距离为（）

A.akmB.eqakm

C.eqokmD.2akm

8.在△Z8C中，点”是8c的中点，ZM=1,点尸在上，且满足

AP=2PM,则­（十）等于（）

44

A.-9B.-3C.eqD.eq

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的

得0分）

9.已知4B,C,。四点的坐标分别为（1,0）,（4,3）,（2,4）,（0,2）,则此四

边形不可能为（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

10.已知向量a=（l,0）,（cosasin。）,QR,则|a十例的值可以是（）

A./B.eqC.2D.2值

11.在中，若b=3c=3,8=30。，则a等于（）

A.eqB.24C.3小D.4小

71a

12.在中，sinC+sin（4-8）=3sin28^C=3,则Z等于（）

A.eqB.eqC.2D.3

三'填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知/(2,-3),=(3,-2),则线段的中点坐标为.

14.若同=1,步|=2,a与力的夹角为60。，若(3a+5b)_L("—〃)，则加的值为

15.已知同=2,|例=10,a与〃的夹角为120。，则向量力在向量。方向上的投影

是.

无

16.在△45。中,若6=5,8=4,tanZ=2,则sin

A=；a=.(本题第一空3分，第二空2分)

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

53

17.(10分)在△NBC中，cos/=-13,cos5=5.

(1)求sinC的值；

(2)设8C=5,求△Z8C的面积.

18.(12分)已知向量a=3ei—2e2，b=4ei+e2>其中e1=(l,0),e2=(0,1).

(1)求a力，|a+臼；

(2)求“与力的夹角的余弦值.

19.(12分)在△N8C中，角/,8,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cos

J—V^sinJ)cosB=0.

(1)求角8的大小；

(2)若a+c=l,求b的取值范围.

20.(12分)已知海岛/四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在8处望

见岛4在北偏东75。，航行20在海里后，在C处望见此岛在北偏东30。，若货

轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？

1

21.(12分)如图所示，在△N8C中，==3,8。与相交

于1,4的延长线与边8c交于点P.

⑴用和分别表示和；

(2)如果=+%=+",求实数久和〃的值;

(3)确定点P在边BC上的位置.

22.(12分)在中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知

1

=2,COS8=3,b=3,求：

⑴a和c的值；

(2)cos(8—C)的值.

答案及解析

1.答案：D

解析：=(-1,2),=(1,-1),

所以=-=(1+1,-1-2)=(2,-3).

2.答案：B

解析：由余弦定理，得岳=〃+-2accos8=76,所以b=2小.

3.答案：A

解析：易知=-=-ei+2e2=-(ei-2/)，

又/,B,。三点共线，则//，则A=2,故选A.

4.答案：C

解析：V2a+Z>=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),

：.(2a+b\a=(1,0)-(1,-1)=1,

故选C.

5.答案：A

3111

解析：•.•。〃》,...sin2a=2x6=4,/.sina=±2.

又为锐角，••・a=30。.

6.答案：C

bc

解析：最短边为b,由正弦定理得sin8=sinC,

1Xsin45°平

所以b=sin60°=3.故选C.

7.答案：B

解析：由题意得N4C3=120。，

AB2=胡+解一2a2cos120°=3a2,

所以48=由4故选B.

8.答案：A

解析：由题意可知点。是△ZBC的重心，

，++=0,

24

••••(+)=-2=-=-9.

9.答案：BCD

解析：=(3,3),=(-2,-2),

3

二=-2,/.与共线.

又||#||,...该四边形为梯形.

10.答案：ABC

解析：\a+b\=J(1+cos8)2+sin2+=^2+2cos0

因为6W,所以cos0W[0,1].

所以+[在，2].结合选项可知选ABC.

11.答案：AB

hc

解析：由正弦定理得sinB=sinC,

<3343

即sin30。=sinC,所以sinC=2,

又CW(0。，180°),所以。=60。或120。.

所以/=90。或30°,

当力=90。时,02=32+(4)2,4=2由,

当/=30。时，a=b=4.

12.答案：AD

解析：由sinC+sin(4-B)=3sin2B,可得

sin(/+B)+sin(4-B)=6sin5cosB,

整理得sin4cosB=3sinBcosB,

故cos8=0或sin/=3sinB,

71

当cos8=0时，又8£(0,兀)，所以8=2,

兀兀。sin/1

又C=3,所以4=6,b=sinB=2,

asinA

当sinA=3sin3时，6=sin8=3,

故选AD.

13.答案：

解析：=+=(2,-3)+(3,-2)=(5,-5),

AB中点

23

14.答案：8

解析：由题意知(3a+5/>)•(ma-/>)=3"?/+(5加-3)。-5〃=0,即3)？+(5加-3)

23

X2Xcos60°-5X4=0,解得加=8.

15.答案：一5

解析：向量〃在向量。方向上的投影为步|cos6=10Xcos120°=-5.

2/

16.答案：52回

解析：因为△ZBC中，tan/=2,所以/是锐角，且

sinA24

cos/=2,sin2J+cos2J=1,联立解得sin/=5,再由正弦定理得

ab

sin/=sin8,代入数据解得a=2师.

512

17.W：(1)由cos。=—-及—e(o,兀)，得sin/=13,

34

由cos8=5及Be(0,7t),得sinB=5.

16

所以sinC=sin(Z+B)=sin4cosB+cos/sinB=65.

BCXsin513

(2)由正弦定理得ZC=sinJ==3.

所以△Z8C的面积

1113168

5=2X5CXJCXsinC=2X5X3\65=3.

18.解:(1)因为e,=(1,0),©2=(0，1)，

所以a=3ei-2©2=(3,-2),

Z>=4ei+62=(4，1),

所以Q"=(3,-2)-(4,1)=12-2=10,

a+6=(7,-1),

所以M+6产62+(-1)2=572.

(2)设a与b的夹角为0,

ab10^/221

则cosO=IMI〃l==221

19.解：(1)由已知得

-COS(T4+B)+cos4cosB一小sinAcos8=0,

即sinAsinB-由sin/cos5=0,

因为sin4WO,所以sin8-4cos8=0,

即tanB=3

兀

又3为三角形的内角，则3=1

(2)因为〃+C=1,即C=1-4,

所以由余弦定理得b2=a2+c2-2ac,cos5,

即b2=a2+c2-ac=(ac)2-3ac

21

=1-3Q(1-a)=3+4,

因为0<a<l,

11

所以4或按<1,则2wb<l.

即6的取值范围为.

20.解:如图所示，在△43。中,

,B2（）/2CD

依题意得8。=20M（海里），

ZJSC=90°-75°=15°,

NBAC=60°-/ABC=45°.

ACBC

由正弦定理，得sin15。=sin45。，

20Msin15°

所以NC=sin45°=10（#-隹）（海里）.

色

故/到航线的距离为AD=ACsin60°=10（7^-A/2）X2=（15也-5击）（海里）.

因为15隹-5#>8,所以货轮无触礁危险.

1

21.解：⑴由=2,

1

可得=+--+2

1

,/=3.

=+=-+3.

11

(2)将一+5,=-+3

代入=+A=+〃，

则有+A=+〃

11

即(1-4)+