导数在实际生活中的应用 徐富星

导数在实际生活中的应用重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学2007届徐富星指导老师：马老师摘要：导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作业。关键词：导数；实际生活；最大值、最小值问题；利润最大Abstract:Aderivativeisoutofproductiontechnologyandscienceneedsofproduction,andpromoteproductiontechnologyandsciencehasdeveloped,itisnotonlyinastronomyandphysicsandengineering,andhavewideapplicationinourdailylifeandtheeconomicsphereisalsobeginningtoshowimportantrole.Keywords:Derivative;Actuallife;Problemonmaximumandminimum;Profitsmaximizstion导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。1,导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。函数y=f(x)在点x处可导，则F'(x)二0是x是极值点的必要不充分000条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。最大值、最小值是函数对整个定义域而言的,是整体范围内讨论的问题,是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。2,导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？思路：设箱底边长为xcm，则箱高h= _cm，得箱子容积V是箱底边长x2的函数：r(x)=x2h=60 (0<x<60)，从求得的结果发现，箱子的高恰2好是原正方形边长的1，这个结论是否具有一般性？6变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来,做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：V(x)=x(a-2x》(0<x<)答案：x=a。6评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。可见，导数的引入，大大拓展了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。例2：请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是测棱唱为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点o到底面中心o的距离为多少时，帐篷的体积最大？1解：设oo为xm，则1<x<41有题设可得正六棱锥底面边长为：耳''32-（x-1）2=J8+2x-x2,故底面正六变形的面积为：6•鼻3-（卞8+2x一x2）2=仝3-（8+2x一x2），（单位：m2）4 2帐篷的体积为:V(x)二¥(8+2X-x2)[1(x-1)+1]二£(16+12x-x3)(单位：m3)J3求导得V'(x)二 (12-3x2)。2令V'(x)=0，解得x=-2(不合题意，舍去)，x二2,当1vx<2时，V'(x)>0,V(x)为增函数；当2<x<4时，V'(x)<0，V(x)为减函数。・••当x二2时，V(x)最大。答：当oo为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16\/3m3。1点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。例3：已知某商品生产成本C与常量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式p=25-丄q。求产量q为何值时，利润L最大。8分析：利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格。由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润。( 1\ 1解：收入R二q-p二q25--q二25q-一q2I 8丿 8利U润L二R-C=(25q-1q2]—(100+4q)I8丿=-—q2+21q-100(0<q<200)8L=-1q+214令L=0卩-£q+21=0求得唯一的极值点q=84因为L只有一个极值点，所以它是最大值。答：产量为84时，利润L最大。点评：上题主要也是考查利用导数研究函数的最值的基础知识，运用数学知识解决利润问题，在实际生活中应用也很广泛。例4：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在底面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小。解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1,则烟囱B的烟尘量为8.并设AC=x(0<x<20) ・・・CB二20-x,k8k于是点C的烟尘浓度为：y=—+ 8k (0<x<20),x2(20-x)2其中k为比例系数。2k 16k 丫2(9x3-60x2+1200x一8000)则y'二一 + 二k•-x3(20一x)3 x3(20一x)3令y'=0，有9x3-60x2+1200x一8000=0,即（3x一20）（3x2+400）=0。20解得在（0，20）内惟一驻点x=-。3由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得2020・・・在惟一驻点x=丁处，浓度y最小，即在AB间距A处了km处的烟尘浓度最小。

例5：在甲、乙两工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂的河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？40 兀解：设ZBCD=Q，则BC=——，CD二40cot9，(0<0<_)，sin9 2■…AC二50-40cot9设总的水管费用为f(9)，依题意，有f(9)=3af(9)=3a(50—40-cot9)+5a-40=150a+40a-5一3cos9

sin9f'(9)=40a-(5一3cot9)'-sin9一(5一3cos9)-(sin9)'sin29=40a-3一5cos9sin293令f'(9)=0，得cos9=—3根据问题的实际意义，当cos9=3时，函数取得最小值,5• 3此时sin9=—，…cot9=—4…AC=50-40cot9=20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费最省。点评：上两个例子同样利用导数研究函数的最值，在实际问题中求出最恰当地方。例6：统计表明，某种型号的汽车的匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：13y= X3-x+8 (0<x<120)。已知甲、乙两地相距100千米。12800080当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当X=40时，汽车从甲地到乙地行驶了100=2.5小时，4013要耗油( x403- x40+8)x2.5=17.5(升)。12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了型小时，设耗油x为h(x)依题意：h(x)=(1 x3—2x+8)-型=-^x2+800-15(0<x<120)128000 80 x1280x4(0<x<120).x800x3-803h(0<x<120).640x2 640x2令h'(x)=0，得x二80。当xe(0,80)时，h'(x)<0，h(x)是减函数；当xe(80,120)时，h'(x)>0，h(x)是增函数。'当x二80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25。因为h(x)在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。点评：以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性