2018年数学总复习导数及其应用双基过关检测理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE5学必求其心得，业必贵于专精“导数及其应用"双基过关检测一、选择题1．已知函数f（x）＝sinx－eq\f(1，2）x，则f′（x)＝()A．sinx－eq\f(1，2） B．cosx－eq\f(1，2)C．－cosx－eq\f（1,2） D．－sinx＋eq\f(1，2）解析：选Bf′(x）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sinx－\f(1,2）x））′＝(sinx)′－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x）)′＝cosx－eq\f（1，2）.2．已知函数f（x)＝logax(a>0且a≠1），若f′(1）＝－1，则a＝()A．e B.eq\f（1，e）C.eq\f(1,e2） D。eq\f（1，2)解析：选B因为f′(x)＝eq\f（1,xlna),所以f′（1）＝eq\f（1,lna)＝－1，所以lna＝－1，所以a＝eq\f（1，e)。3．曲线y＝xex＋2x－1在点（0,－1）处的切线方程为（)A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1解析：选A因为y′＝ex＋xex＋2,所以曲线y＝xex＋2x－1在点（0，－1)处的切线的斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0））＝3，∴切线方程为y＝3x－1.4．已知曲线y＝eq\f(x2,4）－3lnx的一条切线的斜率为eq\f（1，2），则切点的横坐标为（）A．3 B．2C．1 D。eq\f（1,2）解析:选A已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx(x>0）的一条切线的斜率为eq\f（1,2），由y′＝eq\f(1，2)x－eq\f(3,x)＝eq\f(1，2），得x＝3，故选A.5．函数f(x）＝(x－3)ex的单调递增区间是（)A．（－∞，2） B．（0,3）C．(1，4） D．(2,＋∞）解析：选D依题意得f′（x)＝(x－3）′ex＋(x－3）(ex)′＝（x－2）ex，令f′（x)〉0,解得x〉2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞）．故选D。6．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝(）A．0 B．1C．2 D．3解析：选Bf(x）＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，所以f′(x）＝3x2－4mx＋m2＝（x－m）(3x－m)．由f′（1）＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′（x)＝3（x－1）（x－3)，当1<x〈3时，f′(x）〈0，当x<1或x>3时，f′(x)〉0，此时在x＝1处取得极大值，不合题意，∴m＝1，此时f′（x）＝(x－1)（3x－1)，当eq\f(1，3)〈x<1时，f′（x）<0，当x<eq\f(1，3）或x>1时，f′（x)〉0，此时在x＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x≤0，，x＋1，0<x≤2，))则f（x)dx的值为()A。eq\f(4，3) B．4C．6 D.eq\f（20，3)8．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2x,x≤0，，x3－3x＋a，x〉0)）的值域为［0，＋∞)，则实数a的取值范围是（)A．[2,3] B．(2，3］C．(－∞，2］ D．(－∞，2）解析:选A当x≤0时，1〉f（x）＝1－2x≥0;当x〉0时，f（x）＝x3－3x＋a,f′（x）＝3x2－3，当x∈（0,1）时，f′（x)〈0,f（x)单调递减,当x∈（1，＋∞）时,f′（x)>0,f(x）单调递增，所以当x＝1时，函数f(x）取得最小值f(1）＝1－3＋a＝a－2.由题意得1≥a－2≥0，解得2≤a≤3，选A.二、填空题9．若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x）的定义域为（0，＋∞），f′（x)＝1＋eq\f（a，x），要使函数f（x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋eq\f(a，x)＝0在（0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a〈0.答案：(－∞，0）10．已知函数f（x）＝lnx－f′（－1)x2＋3x－4，则f′（1）＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f（1,x）－2f′（－1)x＋3，f′（－1)＝－1＋2f′（－1）＋3，∴f′（－1)＝－2,∴f′(1)＝1＋4＋3＝8。答案：811．已知函数f(x）的图象在点M（1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋3，则f(1)＋f′（1)＝________.解析:由题意知f′(1)＝eq\f(1,2），f(1）＝eq\f（1，2）×1＋3＝eq\f（7，2)，∴f(1）＋f′(1）＝eq\f(7,2）＋eq\f(1，2)＝4。答案：412．已知函数g（x)满足g(x）＝g′(1）ex－1－g(0)x＋eq\f（1，2）x2，且存在实数x0,使得不等式2m－1≥g（x0）成立,则实数m的取值范围为________．解析:g′（x）＝g′(1)ex－1－g(0）＋x，令x＝1时，得g′（1）＝g′(1）－g(0）＋1,∴g（0)＝1，g(0）＝g′(1)e0－1＝1，∴g′(1）＝e，∴g（x）＝ex－x＋eq\f（1，2）x2，g′（x)＝ex－1＋x，当x〈0时，g′（x)〈0，当x>0时,g′（x）〉0，∴当x＝0时，函数g（x）取得最小值g（0）＝1。根据题意得2m－1≥g(x)min＝1,∴m≥1.答案：［1,＋∞)三、解答题13．已知函数f（x）＝x＋eq\f(a，x)＋b(x≠0），其中a，b∈R.(1）若曲线y＝f(x)在点P(2,f（2））处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x）的解析式；（2)讨论函数f(x)的单调性；(3）若对于任意的a∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1,2），2))，不等式f（x)≤10在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1,4）,1））上恒成立，求b的取值范围．解：(1）f′(x）＝1－eq\f（a,x2)(x≠0），由已知及导数的几何意义得f′(2）＝3，则a＝－8.由切点P（2，f(2））在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x－eq\f（8,x）＋9.(2)由（1)知f′(x)＝1－eq\f(a，x2)（x≠0）．当a≤0时，显然f′（x）〉0，这时f(x）在（－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±eq\r（a），当x变化时，f′（x），f(x）的变化情况如下表：x(－∞，－eq\r(a))－eq\r(a)（－eq\r(a)，0）(0，eq\r（a））eq\r（a）(eq\r(a）,＋∞)f′(x）＋0－－0＋f(x)极大值极小值所以当a>0时，f(x）在（－∞，－eq\r（a)）,（eq\r(a），＋∞）上是增函数,在(－eq\r（a），0），（0，eq\r(a）)上是减函数．（3）由（2）知，对于任意的a∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），2)），不等式f（x)≤10在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,4),1)）上恒成立等价于eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))≤10,,f1≤10，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b≤\f（39，4）－4a，,b≤9－a)）对于任意的a∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），2）)成立,从而得b≤eq\f(7，4)，所以满足条件的b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（－∞，\f（7,4)））.14．已知函数f(x）＝eq\f（x，4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3，2）,其中a∈R，且曲线y＝f（x)在点（1，f（1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.（1)求a的值；（2）求函数f(x)的单调区间与极值．解:(1）对f(x)求导，得f′（x)＝eq\f（1,4）－eq\f(a，x2)－eq\f（1，x)（x〉0），由f(x）在点(1，f(1））处的切线垂直于直线y＝eq\f（1,2)x，知f′（1）＝－eq\f(3,4）－a＝－2，解得a＝eq\f（5,4)。（2）由(1)知f（x)＝eq\f（x,4）＋eq\f（5，4x）－lnx－eq\f（3，2），则f′（x)＝eq\f(x2－4x－5，4x2)，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5。因为x＝－1不在f（x）的定义域（