2018年数学总复习达标检测（三十五）圆的方程命题3角度-求方程、算最值、定轨迹理VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE5学必求其心得，业必贵于专精高考达标检测（三十五)圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹一、选择题1．(2017·宁波“十校”联考（一)）圆M：x2＋y2＋2x＋2eq\r（3）y－5＝0的圆心坐标为（)A．（1，eq\r(3)） B．（1，－eq\r(3)）C．（－1，eq\r(3）) D．（－1，－eq\r(3））解析:选Dx2＋y2＋2x＋2eq\r(3）y－5＝0配方得（x＋1）2＋(y＋eq\r（3））2＝9,故圆心坐标为(－1，－eq\r（3）)，选D.2．(2016·鹤岗一模）经过点(1，0），且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(）A．（x－1）2＋y2＝1 B．(x－1）2＋(y－1）2＝1C．x2＋（y－1)2＝1 D．(x－1）2＋(y－1)2＝2解析:选B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,x＋y＝2))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)）即所求圆的圆心坐标为(1,1），又由该圆过点（1,0），得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1。3．（2017·广州测试)圆（x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为（）A．(x－2)2＋（y－1)2＝1 B．(x＋1）2＋(y－2)2＝1C．(x＋2）2＋(y－1）2＝1 D．(x－1)2＋（y＋2)2＝1解析：选A∵圆心（1，2)关于直线y＝x对称的点为(2,1），∴圆（x－1)2＋（y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．方程｜y｜－1＝eq\r（1－x－12)表示的曲线是（）A．一个椭圆 B．一个圆C．两个圆 D．两个半圆解析：选D由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为（x－1)2＋(y－1)2＝1（y≥1），其表示以(1，1）为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时,原方程可化为(x－1）2＋（y＋1）2＝1(y≤－1)，其表示以（1，－1）为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝eq\r(1－x－12）表示的曲线是两个半圆,选D。5．（2017·南昌检测）圆心在y轴上,且过点（3，1）的圆与x轴相切,则该圆的方程是(）A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：选B根据题意，设圆心坐标为（0,r），半径为r,则32＋(r－1）2＝r2,解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B。6．若圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4,6） B．［4，6］C．［4,6) D．(4，6]解析：选A易求圆心(3，－5）到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6,可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在（4,6）之间符合题意．7．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上,则圆C的方程为（）A．(x＋1)2＋（y－1）2＝2B．(x＋1）2＋（y＋1)2＝2C．(x－1）2＋(y－1）2＝2D．(x－1)2＋（y＋1)2＝2解析：选D由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为eq\f（｜4｜,\r（2）)＝2eq\r（2)，所以r＝eq\r(2)；又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为（0，0），由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2），所以圆心坐标为（1,－1），圆C的标准方程为（x－1)2＋(y＋1）2＝2。8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4）2＝1和两点A（－m，0）,B（m，0)（m>0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7 B．6C．5 D．4解析：选B根据题意，画出示意图,如图所示，则圆心C的坐标为（3，4），半径r＝1，且|AB|＝2m,因为∠APB＝90°，连接OP，易知｜OP｜＝eq\f（1,2）|AB｜＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC｜＝eq\r(32＋42）＝5，所以｜OP|max＝|OC｜＋r＝6，即m的最大值为6.二、填空题9．(2016·浙江高考）已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________,解析:由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1。当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5，2）＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2））)2＋（y＋1)2＝－eq\f(5，4）＜0，不表示圆;当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为（－2，－4),半径是5。答案：(－2，－4）510．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r（5)）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f（4\r（5），5），则圆C的方程为________．解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a，0），且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f（2a，\r(5))＝eq\f(4\r（5）,5）,解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM｜＝eq\r(4＋5）＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9。答案:（x－2)2＋y2＝911．(2016·山东济宁一模)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝（k－1)x＋2的倾斜角α＝________。解析：由题意知，圆的半径r＝eq\f(1,2）eq\r（k2＋4－4k2）＝eq\f(1,2）eq\r(4－3k2）≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈［0，π)，故α＝eq\f（3π,4).答案：eq\f(3π，4)12．(2016·大连模拟)点P(1,2）和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为（x＋k）2＋（y＋1)2＝1。∴圆心C（－k,－1）,半径r＝1.易知点P（1,2）在圆外．∴点P到圆心C的距离为：|PC|＝eq\r(k＋12＋32)＝eq\r（k＋12＋9）≥3.∴｜PC|min＝3.∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝｜PC｜min－r＝3－1＝2.答案：2三、解答题13．(2017·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0,半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；（2)过点M（1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1）设圆心C(a，0)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＞－\f(5，2)))，则eq\f(|4a＋10|,5）＝2⇒a＝0或a＝－5（舍去)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1）,N（t,0）,A(x1，y1）,B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0,所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1）,x1x2＝eq\f（k2－4,k2＋1）.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒eq\f(y1，x1－t)＋eq\f（y2，x2－t)＝0⇒eq\f（kx1－1,x1－t）＋eq\f（kx2－1,x2－t)＝0⇒2x1x2－（t＋1)（x1＋x2)＋2t＝0⇒eq\f(2k2－4，k2＋1)－eq\f（2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为（4,0)时,能使得∠ANM＝∠BNM总成立．14．（2016·陕西模拟)在△OAB中，已知O(0,0)，A（8，0），B(0,6），△OAB的内切圆的方程为(x－2）2＋(y－2）2＝4，P是圆上一点．(1)求点P到直线l:4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2）若S＝|PO｜2＋｜PA｜2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2,2）到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离d＝eq\f(|4×2＋3×2＋11|,\r(42＋32)）＝eq\f（25,5）＝5＞2，故点P到直线l的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.（2）设点P的坐标为（x，y），则S＝x2＋y2＋（x－8)2＋y