2018年数学热点题型和提分秘籍专题04函数及其表示文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精专题04函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用热点题型一求函数的定义域例1、（1）函数f（x）＝eq\f（1，\r(log2x2－1))的定义域为（)A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）))B．(2，＋∞）C。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2））)∪［2，＋∞）(2）已知函数f（x)的定义域为（－1,0），则函数f(2x＋1）的定义域为（）A．（－1，1）B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1，－\f(1,2）））C．（－1,0）D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，1))【答案】（1)C(2）B【解析】（1）方法一：(log2x）2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜eq\f(1，2）。故所求【提分秘籍】1．求函数定义域的类型及方法（1)已知函数的解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解。（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组)求解.（3）抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a，b］，则函数f(g(x）)的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出;②若已知函数f（g（x))定义域为[a，b］，则f(x)的定义域为g（x）在x∈[a，b］时的值域。2．求函数定义域的注意点(1）不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.（2）当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接。【举一反三】若函数f（x)＝的定义域为R，则a的取值范围为__________。【答案】[－1，0］热点题型二求函数的值域例2、求下列函数的值域:(1）y＝eq\f（x2－1,x2＋1）；(2）y＝x－eq\r(1－2x)；(3)y＝eq\r(x）＋eq\f（1，\r(x)－1)(x＞1)；（4）y＝eq\f（1，\r（x－x2）)。【解析】(1）解法一：y＝1－eq\f（2，x2＋1）,∵x2＋1≥1，∴0＜eq\f(1，x2＋1)≤1,∴－2≤－eq\f（2,x2＋1)＜0，∴y∈［－1,1)。解法二：由y＝eq\f（x2－1，x2＋1)可得x2＝－eq\f(y＋1,y－1），【提分秘籍】求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。（2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。(3）换元法:形如y＝ax＋b±eq\r（cx＋d)(a，b，c,d均为常数，且ac≠0）的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋eq\r（a－bx2）的函数用三角函数代换求值域。(4）分离常数法:形如y＝eq\f（cx＋d，ax＋b)（a≠0)的函数可用此法求值域。(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。（6）数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。【举一反三】求下列函数的值域：（1)y＝eq\f（3x＋1，x－2）；（2)y＝eq\f(5，2x2－4x＋3)；(3)y＝x＋4eq\r（1－x);（4）y＝eq\f(x2,x－1）(x＞1)。【解析】(1)y＝eq\f(3x－2＋7，x－2)＝3＋eq\f（7,x－2)≠3,值域为{y|y≠3｝.(2）y＝eq\f(5,2x－12＋1),∵2(x－1)2＋1≥1,∴y∈（0,5］.(3）令eq\r（1－x)＝t≥0，∴y＝－t2＋4t＋1,∵t≥0，∴y∈(－∞,5].(4)令x－1＝t＞0,x2＝t2＋2t＋1，∴y＝t＋eq\f（1，t)＋2≥4,当且仅当t＝1时取等号.∴y∈[4，＋∞）.热点题型三求函数的解析式例3．(1）已知feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)))＝x2＋eq\f（1,x2),求f（x)的解析式；（2)已知feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,x）＋1））＝lgx，求f(x)的解析式；（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f(x＋1）－2f(x－1)＝2x＋17，求f(（4)已知f（x）满足2f（x)＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，x）)）＝3x，求f(x）的解析式。由①②解得f（x)＝2x－eq\f(1，x)(x≠0）,即f（x）的解析式是f(x）＝2x－eq\f（1，x)（x≠0).【提分秘籍】求函数解析式的常用方法（1)配凑法：由已知条件f（g（x））＝F（x）,可将F（x)改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g(x）,便得f（x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数）可用待定系数法；(3）换元法：已知复合函数f（g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4）方程思想：已知关于f（x）与feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,x)))或f(－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x)。【举一反三】已知函数f（x）满足2f(x)－f（－x)＝eq\f(1，x),则f（x)＝________。【答案】eq\f(1，3x）【解析】∵2f(x)－f（－x)＝eq\f(1，x），①将x用－x代替得2f（－x)－f(x)＝－eq\f（1，x），②由①②消去f（－x)得f（x）＝eq\f(1,3x)。热点题型四分段函数及其应用例4、（1)已知实数a≠0，函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1。)）若f(1－a）＝f(1＋a）,则a的值为__________。（2)已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x＜0，））则满足不等式f(1－x2)＞f（2x)的x的取值范围是________。【答案】（1）－eq\f(3，4）(2)（－1，eq\r(2)－1）【提分秘籍】解决分段函数求值问题的策略（1)在求分段函数的值f（x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式。（2）分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。（3)求f(f（f（a）））的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则.【举一反三】已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，)）若f（f(0））＝4a，则实数a等于（)A.eq\f（1,2）B。eq\f(4,5）C．2D．9【答案】C【解析】f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋1,x＜1,x2＋ax,x≥1。))∵0＜1，∴f（0)＝20＋1＝2。∵f(0)＝2≥1,∴f（f(0）)＝22＋2a＝4∴a＝2。1.【2017山东,文9】设，若，则A。2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以，由得,解得,则，故选C。1.【2016高考浙江文数】已知函数满足:且。（）A。若,则B。若，则C。若,则D。若，则【答案】B2。【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时,f（x)=x3—1；当-1≤x≤1时，f（-x)=—f（x）；当x＞时，f(x+）=f(x—）。则f(6）=（）（A）-2（B）-1(C)0（D）2【答案】D【解析】当时，，所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D。1.【2015高考湖北,文6】函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】C.【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：,解之得，即函数的定义域为，故应选C.3.【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（)（A)（B)（C)（D)【答案】D【解析】由解得或，故选D。3。【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间（单位：小时)与储藏温度(单位:℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数)。若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是（）（A)16小时（B)20小时（C)24小时（D）21小时【答案】C1．(2014·安徽卷）若函数f（x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2］上的解析式为f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x)，0≤x≤1,，sinπx，1〈x≤2，）)则feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（29，4)））＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（41,6）））＝______．【答案】eq\f（5,16)【解析】由题易知feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(29,4)))＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(41，6))）＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3，4)）)＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(7,6））)＝－feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，4）))－feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(7，6））)＝－eq\f（3,16）＋sineq\f（π,6）＝eq\f（5,16）.2．（2014·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是(）A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝｜x｜【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增,排除选项A，D。3．（2014·江西卷）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F（n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字,F（12）＝15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．(1)求p（100)；(2)当n≤2014时，求F（n）的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h(n)＝f（n)－g（n）,S＝{n|h（n）＝1，n≤100，n∈N＊｝,求当n∈S时p（n)的最大值．【解析】（1）当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝eq\f（11,192）。由h（n)＝f(n）－g（n)＝1，可知n＝9,19，29，39，49，59，69，79,89，90，所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79,89，90｝．当n＝9时，p（9)＝0。当n＝90时，p（90）＝eq\f（g(90）,F（90）)＝eq\f(9,171)＝eq\f(1，19）.当n＝10k＋9（1≤k≤8，k∈N*）时,p(n）＝eq\f（g（n),F(n）)＝eq\f（k，2n－9）＝eq\f(k,20k＋9)，由y＝eq\f(k,20k＋9)关于k单调递增,故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*）时,p（n)的最大值为p(89）＝eq\f(8,169）.又eq\f(8,169）〈eq\f(1，19)，所以当n∈S时，p（n）的最大值为eq\f（1，19）。4．（2014·山东卷)函数f（x）＝eq\f（1，\r（log2x－1))的定义域为（)A．（0，2)B．(0,2］C．(2，＋∞)D．［2,＋∞）【答案】C【解析】若函数f（x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.1．对于集合A＝{x|0≤x≤2｝，B＝{y｜0≤y≤3｝,则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（）【答案】D【解析】对于B，C两图可以找到一个x与两个y对应的情形，对于A图,当x＝2时，在B中找不到与之对应的元素．2．已知a，b为实数，集合M＝{eq\f（b，a），1}，N＝{a，0}，若f是M到N的映射，f(x）＝x，则a＋b的值为（)A．－1B．0C．1 D．±1【答案】C3．图中的图象所表示的函数的解析式为（)A．y＝eq\f（3,2）｜x－1｜（0≤x≤2)B．y＝eq\f（3,2）－eq\f(3,2）|x－1｜（0≤x≤2）C．y＝eq\f（3，2）－|x－1|（0≤x≤2)D．y＝1－｜x－1｜（0≤x≤2）【答案】B4．函数y＝eq\r(|x|x－1)的定义域为()A．｛x|x≥1} B．｛x｜x≥1或x＝0｝C．{x|x≥0｝ D．｛x|x＝0｝【答案】B【解析】由题意得｜x｜(x－1)≥0，∴x－1≥0或｜x｜＝0。∴x≥1或x＝0。5．设函数f（x）＝eq\f(2x，1＋2x)－eq\f（1，2)，［x］表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x）]的值域为（)A．{0} B．｛－1,0｝C．｛－1，0，1} D．{－2,0}【答案】B【解析】∵f（x)＝1－eq\f(1,2x＋1）－eq\f(1，2）＝eq\f（1,2）－eq\f(1，2x＋1），又2x>0，∴－eq\f(1,2)〈f（x）<eq\f（1,2）.∴y＝［f(x）］的值域为｛－1，0｝．6．若二次函数g（x）满足g（1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g（x）＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g（x）＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x【答案】B【解析】用待定系数法，设g(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）,∵g(1）＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，，a－b＋c＝5，,c＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，b＝－2，c＝0）)，∴g（x）＝3x2－2x，选B.7．已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x〉1，))则f［eq\f（1，f2）]的值为（)A.eq\f(15,16) B。eq\f(8,9）C．－eq\f(27，16） D．18【答案】A【解析】f(2）＝4，f[eq\f（1，f2）］＝f(eq\f（1,4））＝1－(eq\f(1，4)）2＝eq\f(15，16）。8．已知f：x→2sinx是集合A（A⊆［0，2π］）到集合B的一个映射，若B＝{0,1，2｝,则A中的元素个数最多为()A．6 B．5C．4 D．3【答案】A【解析】∵A⊆［0，2π]，由2sinx＝0，得x＝0，π，2π；由2sinx＝1,得x＝eq\f（π,6)，eq\f（5π,6）;由2sinx＝2，得x＝eq\f(π,2)。故A中最多有6个元素，故选A。9．已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f［f（x）－3x］＝4，则f（x)＋f(－x)的最小值等于（)A．2 B．4C．8 D．12【答案】B10．设[x］表示不超过实数x的最大整数,如[2。6］＝2，[－2.6]＝－3。设g(x）＝eq\f（ax,ax＋1）（a〉0且a≠1）,那么函数f(x）＝[g（x)－eq\f（1，2)］＋[g（－x）－eq\f(1，2)］的值域为()A．｛－1，0,1} B．{0,1｝C．{1,－1｝ D．{－1，0}【答案】D11．若函数f（x)＝ax－1（a〉0，a≠1）的定义域和值域都是［0,2］，则实数a等于________．【答案】eq\r（3)【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,,a2－1＝2，，a0－1＝0)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈a<1，,a2－1＝0,，a0－1＝2。）)解得a＝eq\r(3).12．已知f(x－eq\f（1,x）)＝x2＋eq\f(1,x2），则f(3)＝________。【答案】11【解析】∵f（x－eq\f（1,x））＝(x－eq\f（1，x)）2＋2，∴f（x）＝x2＋2（x∈R），∴f（3)＝32＋2＝11。13．已知函数g（x)＝x2－2013x，若g（a）＝g(b)，a≠b,则g(a＋b)＝________。【答案】0【解析】由g（a)＝g（b)得a2－2013a＝b2－2013b，又a≠b,所以a＋b＝2013，所以g(a＋b)＝g14．已知f是有序数对集合M＝{（x,y)|x∈N*,y∈N＊}上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的象为实数z，记作f（x，y）＝z.对于任意的正整数m