第五节随机变量函数的分布

第五节随机变量函数的分布第一页，共十二页，2022年，8月28日一、离散型随机变量函数的分布

例1

测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量X,其分布如下表,求周长Y和面积Z的分布列.X9101112p0.20.30.40.1解周长Y和面积Z的分布我们在同一个分布列中进行,由于X9101112p0.20.30.40.1Y36404448p0.20.30.40.1Z

81100121144p0.20.30.40.1Y的分布如下:Z的分布如下:YZ第二章随机变量及其分布4836404414481100121第二页，共十二页，2022年，8月28日例2若随机变量X的分布如下表,求Y=X2的分布.X-10123p0.20.10.30.30.1X-10123p0.20.10.30.30.1Y0149pY因此Y=X2的分布列为解第二章随机变量及其分布410190.10.10.50.3第三页，共十二页，2022年，8月28日一般地,对Y=g(x),若X的分布列为下表所示Xx1x2

…

xk

…pp1

p2

…

pk

…Yy1

y2

…

yk

…p(1)若对X的所有可能取值xi,i=1,2,…,yi=g(xi)≠yj=g(xj)，则Y的分布列为(2)若对X的所有可能取值xi,i=1,2,…,第二章随机变量及其分布…

p1p2…pkyk=g(xi)=g(xj)

,则Y的分布列中

第四页，共十二页，2022年，8月28日（1）分布函数法二、连续型随机变量函数的分布

设连续型随机变量X的密度函数为fX(x),为求函数Y=g(x)的密度函数fY(y)，先求其分布函数然后利用连续型随机变量分布函数与密度函数的关系，在上式两端对y求导数，即得密度函数fY(y).这种求连续型随机变量函数的密度函数的方法，称为分布函数法，它是求连续型随机变量函数的密度函数的基本方法.第二章随机变量及其分布FY(y)=p{Y≤y}=p{g(X)≤y}第五页，共十二页，2022年，8月28日例3

设随机变量X的密度函数为fX(x)，Y=4X-1，求Y的密度函数fY(y).解先求Y的分布函数FY(y)即有

即将Y的分布函数转成了X的分布函数，现在对上式两端对y求导数，得

一般地，若X的密度函数为fX(x)，Y=g(x)，则其中S为由所有能使g(x)<y的x值组成的集合，则可由X的分布得到Y的分布.第二章随机变量及其分布第六页，共十二页，2022年，8月28日（2）公式法定理设连续型随机变量X的密度函数为fX(x)，函数Y=g(X)严格单调，反函数h(y)具有连续导数，则Y=g(X)也是连续型随机变量，其密度函数为其中

第二章随机变量及其分布第七页，共十二页，2022年，8月28日例4

设X~

N(μ,σ2)，求Y=aX+b(a,b为常数，a≠0）的密度函数.因为X的密度函数为解或,故g(x)的值域也为

.于是由定理得可知，正态随机变量的线性函数仍服从正态分布.即从而

,.第二章随机变量及其分布若X~

N(μ,σ2)，则aX+b~

N(aμ+b,(aσ)2)第八页，共十二页，2022年，8月28日例5设X~

N(μ,σ2)，求Y=eX的密度函数.由于y=ex是严格单调递增函数,它的反函数为x=lny.解当y≤

0时，FY(y)=0从而fY(y)=0.当y>0时，即有此为对数正态分布，记为LN(μ,σ2)，也是一个常用分布，实际中有不少随机变量服从对数正态分布,如:金融资产的价格、绝缘材料的寿命、设备故障的维修时间、家中两个小孩的年龄差等等都服从对数正态分布.第二章随机变量及其分布第九页，共十二页，2022年，8月28日1.离散型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布一维离散型随机变量函数的分布

一维连续型随机变量函数的分布分布函数法公式法