第四节二次型及其标准型

第四节二次型及其标准型第一页，共二十七页，2022年，8月28日一、二次型及其标准形的概念称为二次型.1/21简记为

第二页，共二十七页，2022年，8月28日只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.2/21第三页，共二十七页，2022年，8月28日1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法第四页，共二十七页，2022年，8月28日2．用矩阵表示第五页，共二十七页，2022年，8月28日第六页，共二十七页，2022年，8月28日三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．第七页，共二十七页，2022年，8月28日解例１第八页，共二十七页，2022年，8月28日设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．8/21第九页，共二十七页，2022年，8月28日9/21第十页，共二十七页，2022年，8月28日说明10/21定理4.4.6经可逆线性变换,二次型的矩阵变为即

且二次型的秩不变.

第十一页，共二十七页，2022年，8月28日11/21第十二页，共二十七页，2022年，8月28日用正交变换化二次型为标准形的具体步骤12/21第十三页，共二十七页，2022年，8月28日解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例213/21第十四页，共二十七页，2022年，8月28日从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组14/21第十五页，共二十七页，2022年，8月28日4．将正交向量组单位化，得正交矩阵15/21第十六页，共二十七页，2022年，8月28日于是所求正交变换为16/21第十七页，共二十七页，2022年，8月28日五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过其他方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．第十八页，共二十七页，2022年，8月28日第十九页，共二十七页，2022年，8月28日为正定二次型为负定二次型六、正(负)定二次型的概念例如第二十页，共二十七页，2022年，8月28日定义4.4.12设有实二次型，（1）若对任何，都有，则称为半正定二次型，而对称矩阵称为半正定矩阵，记作；（2）若对任何，都有，则称为半负定二次型，而对称矩阵称为半负定矩阵，记作.二次型的正定性与它的矩阵的正定性是一致的.

第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日证明充分性故七、正(负)定二次型的判别第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日必要性故推论4.4.14对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日定义4.4.15设有n阶方阵

位于左上角的各阶子式

称为n阶方阵A的主子式.第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日定理4.4.16（霍尔维茨定理）实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是：A的各阶主子式都为正；实对称矩阵A为负定矩阵的充要条件是：A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正.正定矩阵具有以下一些简单性质第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第二十六页，共二十七页，2022年，8月28日