河南省濮阳市范县实验中学2021年高二数学理测试题含解析

河南省濮阳市范县实验中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】由于要求的式子是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n，根据排列数公式得出结论．【解答】解：∵n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n，故（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）=，故选：B．【点评】本题主要考查排列数公式，属于基础题．3.已知命题：，则（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C略4.给出下面四个类比结论①把与类比，则有；②把与类比，则有；③实数、，若，则或；类比向量、，若，则或；

④向量，有；类比复数，有.其中类比结论正确的命题个数为（）A.

0

B.

1

C.

2

D.

3参考答案：D略5.如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色,使相邻三角形均不同色,求使△AOB与△COD同色且△BOC与△AOD也同色的概率（

）A

B

C

D

参考答案：C6.如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．4 C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，求出a的值，由|F1F2|=2，求出c的值，从而得到双曲线的离心率，得到本题结论．【解答】解：由PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为，由圆的切线的性质：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1，由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1，可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a，由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，即有a=．又|F1F2|=2，可得c=1，则e==2．故选：A．7.设，若函数，，有大于零的极值点，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.若，则的值（

）A．大于0

B．等于0

C．小于0

D．符号不能确定参考答案：A9.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）．aR（1）当a=1时,求函数的最小值；（2）若函数f(x)在上存在极小值，求a的取值范围；（3）若，证明：．参考答案：（1）解：∵，∴．令，得．∴当时，，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．…………4分(2)∴在上递增，若函数f(x)在上存在极小值，即在有解，a的取值范围是…………8分（3）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令（），则，∴．即．∵∴．∵，∴．．…………14分略10.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（

）A

12

B

1：

C

2:1

D2:参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.无穷等比数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=，那么a1的范围是

.

参考答案：（0，3）∪（3，6）12.已知，则的最小值为____________参考答案：0略13.半径为R的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______参考答案：【分析】设圆锥的底面半径为，高为，可得，构造关于圆锥体积的函数，可得，利用导数可求得最大值.【详解】设圆锥的底面半径为，高为则，即圆锥的体积：则，令，解得：则时，；时，即在上单调递增，在上单调递减本题正确结果：【点睛】本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值.14.已知数列中，，则数列的前项和=

.

参考答案：15.若函数的部分图象如图所示，则的值为_______________．参考答案：.【分析】由所给函数图像过点,，列式，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点,,得，，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.16.已知（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=．参考答案：﹣2考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：在所给的式子中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，由此求得a1+a2+a3+a4+a5的值．解答：解：在（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0可得a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，故a1+a2+a3+a4+a5=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．17.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为.参考答案：①②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列．(I)求数列的通项公式；(II)数列的前n项和为，若，求实数的值．参考答案：（Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以解得

由数列的所有项均为正数,则=2

数列的通项公式为=

（Ⅱ）记,则

若不符合条件；

若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时

又＝,所以19.数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设正项等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．b1=，解得b1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，∴a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q=2，a1=2．∴an=2n．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．∴b1=，解得b1=1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，∴bn﹣bn﹣1=2，∴数列{bn}是等差数列，公差为2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，∴数列{cn}的前n项的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）?2n，∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1）?2n+1=（3﹣2n）?2n+1﹣6，∴Tn=（2n﹣3）?2n+1+6．20.在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿， 该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成 “留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：年龄层次赞成“留欧”反对“留欧”合计18岁—19岁

6

50岁及50岁以上10

合计

50（1）请补充完整上述列联表；（2）请问是否有97．5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．参考公式与数据：

，其中

0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828

参考答案：（1）（6分）（2）证明:要证只需证只需证只需证只需证只需证,而显然成立所以（12分）21.（本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点).求证：(1)A、B两点的横坐标之积为；

(2)直线AB经过一个定点.参考答案：19.证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2.

∵OA⊥OB,

∴x1x2+y1y2=0,

y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).

∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.

(2)∵y12-y22=2p(x1-x2),

∴=.

∴直线AB的方程为y-y1=(x-x1),

即y=x-·+y1,

y=x+,

亦即y=(x-2p).∴直线AB经过定点(2p,0).22.已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．（1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若数列{an}为“6关联数列”，{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{an}的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，即可证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值．【解答】解：（1）∵数列{an}为“6关联数列”，∴{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3…∴（或）．

…（2）由（1）得（或）…，{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（anSn）min=a5S5=﹣5；

…当n≥6时，，设t=2n﹣5，则．

…（3）数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵∴…①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在

…③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10=k2﹣21k+112当k=1时，2m﹣10=92，m?N*；当k=2时，2m﹣10=74，m?N*；当k=3时