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NCS(南昌市)20230607工程第一次模拟测试卷数学〔文〕第I卷一、选择题:共12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合,,那么()A. B. C. D.2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥〞,根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.是定义在上的偶函数,且在上单调递增,那么()A. B.C. D.4.,,那么是成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设不等式组表示的平面区域为,假设直线经过区域内的点,那么实数的取值范围为()A. B. C. D.6.函数的局部图象如下图,那么的值可以为()A.1 B.2 C.3 D.47.执行如下图的程序框图,那么输出的等于()A.1 B.2 C.3 D.48.设函数,假设是的最小值,那么实数的取值范围为()A. B. C. D.9.圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如下图,图中格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为()A. B. C. D.810.函数的图象大致为()A B C D11.为双曲线的左右焦点,点为双曲线右支上一点,交左支于点,是等腰直角三角形,,那么双曲线的离心率为()A.4 B. C.2 D.12.台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处,以公里/小时沿正西方向快速移动,小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处,假设,那么()A. B.80 C.100 D.125二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上〕13.设函数在内可导,其导函数为,且,那么____________.14.平面向量,,假设,那么实数____________.15.在圆上任取一点,那么该点到直线的距离的概率为____________.16.函数,假设,,且,那么________.三、解答题〔本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.等比数列的前项和为,满足,.(1)求的通项公式;(2)记,求的最大值.18.某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级局部生源情况根本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整,绘制成如下茎叶图,规定不低于85分(百分制)为优秀,甲班同学成绩的中位数为74.求的值和乙班同学成绩的众数;完成表格,假设有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞的话,那么学校将扩大教学改革面,请问学校是否要扩大改革面?说明理由.19.如图,四棱锥中,底面,为直角梯形,与相交于点,,,,三棱锥的体积为9.(1)求的值;(2)过点的平面平行于平面,与棱,,,分别相交于点,求截面的周长.20.椭圆的下顶点为,右顶点为,离心率,抛物线的焦点为,是抛物线上一点,抛物线在点处的切线为,且.(1)求直线的方程;(2)假设与椭圆相交于,两点,且,求的方程.21.函数,其中为自然对数的底数.(1)假设在处取到极小值,求的值及函数的单调区间;(2)假设当时,恒成立,求的取值范围.22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求的极坐标方程;(2)假设直线的极坐标方程分别为,,设直线与曲线的交点为,,,求的面积.23..(1)当时,求不等式的解集;(2)对于任意实数,不等式成立,求实数的取值范围.NCS20230607工程第一次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一.选择题:本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.题号123456789101112答案BACBCBBCBADC二.填空题:本大题共4小题,每题5分,总分值20分.13.14.15.16.三.解答题:本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明,证明过程或推演步骤.17.【解析】〔Ⅰ〕设的公比为,由得,,所以,所以.又因为所以,所以.所以.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,,所以,,所以是首项为,公差为的等差数列,所以当时,所以当或时,的最大值为.18.【解析】〔Ⅰ〕由甲班同学成绩的中位数为,所以,得由茎叶图知,乙班同学成绩的众数为〔Ⅱ〕依题意知〔表格2分,计算4分〕有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞,学校可以扩大教学改革面.19.【解析】〔Ⅰ〕四棱锥中,底面,为直角梯形,,,所以,解得.〔Ⅱ〕【法一】因为平面,平面平面,,平面平面,根据面面平行的性质定理,所以,同理,因为,所以∽,且,又因为∽,,所以,同理,,如图:作,所以,故四边形为矩形,即,〔求长2分,其余三边各1分〕在中,所以所以截面的周长为.【法二】因为平面,平面平面,,平面平面,所以,同理因为∥所以∽,且,所以,同理,连接,那么有∥,所以,,所以,同理,,过点作∥交于,那么,所以截面的周长为.20.【解析】〔Ⅰ〕因为,所以,所以又因为∥,所以的斜率为设,过点与相切的直线,由得,解得所以,所以直线的方程为〔Ⅱ〕设,由得,,且,即,所以,【法一】中,令得,交轴于,又抛物线焦点,所以所以,解得,所以椭圆的方程【法二】,抛物线焦点,那么所以,解得,所以椭圆的方程21.【解析】〔Ⅰ〕由,得因为,所以,所以令,那么,当时,,故在单调递增,且所以当,.即当时,,当时,.所以函数在上递减,在上递增.〔Ⅱ〕【法一】由,得〔1〕当时,,在上递增〔合题意〕〔2〕当时,,当时,①当时,因为,所以,.在上递增,〔合题意〕②当时,存在时,满足在上递减,上递增,故.不满足时,恒成立综上所述,的取值范围是.【法二】由,发现由在恒成立,知其成立的必要条件是而,,即①当时,恒成立,此时在上单调递增,〔合题意〕.②当时,在时,有,知,而在时,,知,所以在上单调递增,即〔合题意〕综上所述,的取值范围是.22.【解析】〔Ⅰ〕由参数方程得普通方程,所以极坐标方程,即.〔
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