高职单招单考复习用书《数学点对点精准突破》考点36向量模型

考点向模型1.考试要求能根据有关的向量知识处理长度、角度和平行问.2.考情分析以数学建模的形式出,是以后高考内容的一部形式以解答题为.3.知识清单(1)通过建立力向量模型,让学生用平面向量知识解决实际问题的方.(2)通过建立速度向量模型,让生会用平面向量知识解决实际问题的方.(3)通过位移向量模型,让学生会用平面向量知识解决实际问题的方.1.如图所示,用两条绳提一个物,条绳用力的夹角为60,求物体的重力大小.

.此两条绳【答案】5N.提：因为

FFN,AOB601

,所以

AOC

,则

GF

Fcos301

3N

.2.公园里一位神采奕奕的老人正抖空,老人一个抛扔动,空竹稳稳地落在绳子的正中间位假设忽略其它影响因,只考虑空竹处于平衡状态的前提下.已知空竹两侧绳子与竖直向的夹角都是0,空所受的重力大小是两端绳子的拉力大小？

牛顿（）,求【答案】

3

.提：设拉力向量是

F1

,

F2

,重力向量是

,由意得F,即F12

,作平行四边行OBAC,

OA

,F,FOC

,

AOC

,在△ABO中

COS3

,所以两端绳子的拉力大小相,都是

3

.1

223.某人以时速向行,此正刮着时速为的南风,则此人感到的风向及风速分别为多少？【答案】风向是西南,速度大小为

2

km/h.题型１力向量模型例1年约奥运会男子挺比赛,运动员龙清泉最后一举漂亮的举起了170公斤已他两手臂间的夹角是

0

,两臂用力相等,求他的手臂用.【思路点拨物中常见的向当物体处于平衡状态,两手手臂的力的合力大小与物体重力相等.【问题解答】设两手臂用力为F

,

,杠铃的重力

的大小是

1709.8N

,由O,F22

.作平行四边形OBAC,则

F,FOC,OA2

,由OC

可得30

.在

中

11666ABcos303

,所以两手3臂用力大小是.【变式1所,求两个力

f

和

f

合力的大小和方向【答案】大小约为

方向北偏东题型2速度向量模型例帆船的动力来源：帆船的最大动力来源是“伯努效应也就是说当空气流经一类似机翼的弧面,会产生一种前向上的吸引力也因此帆船才有可能朝某角度的逆风方2

向前进.假某帆船自身可以提供大小为

20/h

的动力,海风速

1

,方向东,大小20

.（1）当船头速度为偏北时求船的实际航.2（2）当船头速度

2

为向东,求船的实际航速.【思路点拨】由速与向量的特征知速度也是一个向量根据向量的运算法则并结合三角形知识进行求解【问题解答】（1）由知

OBAC,故OAC

,解

OAC

得：

OC3,30

,所船的实际航速是东偏北

30

方向,大小203/h（2）当船头速度

2

为向东时ABOB,40.1所以船的实际航速为向东小之和

40

,也即风时船的实际速度等于风与船的速度的大【变式】如图,一条河的两岸行,河度

m,一艘船从处发到河对岸,已船的速度

1

km/h

,水的速度

2

/h

.问怎样行驶才能使船航程最短并此时所用的时.【答案】北偏西

方向航,时间为

分钟.题型3位移向量模型例

王华早上去上学,她要先向东走1000米到早点铺吃早餐,然后再往北偏30

方向再米到学,那么王华家学校相距多远？学校在她家的哪个方位？【思路点拨移向量的特征位移也是一个向.根据向量的运算法则并结合三角形知识进行求.【问题解答】

1000,BC1000,

ABC120

3

在ABC中作BD,D点是AC中点,则

ACAD60

.所以王华家和学校相距米,学校在她家的偏东

方向.【变式明学,他需要先由家向东走米到公共汽,然后再往南偏东

向走1000

米到学校,那么小明家和学校相多远？【答案】米【反思提升】1.思想方法物理中的力度移三种常见的向,构建向量模根据向量的运算及有关性质解决实际问.2.误区指津构建向量模型解决实际问题时,必指明向量的实际意即实际方向及大小.一选题1.某同学在单杠上做引体向,下图所,其中双臂用力最小的是（）【答案B.2.两根等长的轻绳共同悬挂一物体现在使两绳夹角变,则（）A.绳的拉力变大B.的拉力变小C.两绳的拉力的合力变大D.两绳拉力的合力变小【答案】A.3.一质受到平面上的三个力

FF,F1,23

(单位牛顿)的用而处于平状态.已知FF1

成

0

角且

FF12

的大小分别为

和

,则

F

的大小为（）A.

B

5

C.

4

FF【答案A.4.下列说法不正确的是（）A.力向量和自由向量是不相同的B.大小相等、方向相同的两个力相等的C.若作用于同一点的两个力

f1

、

f

2

处于平衡状态,则

f12D.作用于同一点的两个力可用向求和的平行四边形法则计算合力【答案】B.5.如图所示,下列哪个结论正确）A.

ff12

3

B.

fff13C.

f123

D.以上都不对【答案】C二填题6.在

ABCD

中

AB3,

,则

ABAC

的长等于.【答案】

7.两条成

0

角的等长的绳挂灯具已灯具的重量为

1

,则每根绳子的拉力.【答案】

108.点O上用两个,小分别为5与3N,夹为60,则力的大小为.【答案】

N三解题9.如图,顶角是

2

的等腰劈,今用力

FN

作用于劈背上将物体劈开试析分的大小与的关系.【答案分力随增大而增大大,分力越大.提示由力知识知,

OF1

、

OF2

均与劈的两条腰垂直,以

FOF12

又

OF1

OF100N,F2

所以

OF

OF

cos

5

当

从增到90,

逐渐变小

1

逐渐变大.即分力随增大而增大,大,分力越大.10.一船

A

点出发以

3

／的度向垂直于对岸的方向行,时河水的流速为

km/

求船实际航行速度的大小方用与流速间的夹角表).【答案】大小为

流度夹角为

B提升训练某人在水中游泳的速度为

43km/h

如条小河水流速度为前进?

km

，如果他径直游向河对岸那么他实际上沿什么方向如条小河水流速度为

23km/h

他必须沿哪个方向游才沿与水流方向垂直的方向前际前进的速度大小为多?【答案(1)

实

,与水速度央角为）沿着与水流速度120角向游才能保证沿与水流垂直方向前.实前进的速度

/h

如图,绳

l

长为最承重重物

为60N,通过细绳向拉起重物.若在拉起的过程中,尽使细绳保持水平状问最多将重物提高多?

【答案】假设物体拉到点

时,达到最大承重受分析如图：FFF1212

则

F12

F1

所以

cos

F12F1

60100

又

OA

解得

60

所以物体比原位置上升406

考点39平面向量的拓展1.考试要求了解平面向量与三角函数、二次函数及解析几何的综合应.2.考情分析向量是近代数学的基本概念之,既有数的特点又有形的性质,是连接代数与几何的纽带与三角函数、解析几何、函数等相结,以解答题形式呈现,难度中等3.知识清单（1

与

a

存在唯一的实数,得

若

ay),by),112

则

xy11

（2

(,yB,)12

AB(yy)21

AB中坐标为

y)2

线段长为|AB))

若a

1),x,),b(0,)24

则=【答案】

提示：由/,可得

1sinxx0,解x212

若向量,3)(R)充不必要条件C.充要条件【答案A.

则“x”是“a=5”（）必不充分条件既充分又不必要条件3.设

3asin,cos,若2

a

与

b

同向,则

tan

=.【答案】

92

7

题型平面向量与三函数的合应例1已向量

,),,),当//b时求cos2x2

的值【思路点拨】由共线向量可得到三角函数关系式,后利用倍角公式、齐次式化弦为,求出三角函数式的值.【问题解答】由

//

可得

3xx即x4所以

cos2xsin2x

cos2x2sinxcosxxsin2xx1tan

))2

【变式1】知

a=(b=(cos

,设

(0,1)

,若a,求,值.【答案】

5.6【变式2】已知向量b

,若

a

b

,则

（）A.

4B.C..3【答案】D.题型

平面向与函数的综应用例2

在平面直角坐标系中为标原点,已知点

(8,0),(2,

其中0,求|

的最大值.【思路点拨】由向量坐标表示得到的坐标根据向量模的公式结合二次函数求最值【问题解答】由已知可得

x,则|

x

又为0x所以当时

|AB|

的最大值为65.【变式】已知

,44

]

,

a=

)

,

b

,求a的小.【答案】1题型平面向量在解几何中应用例3已点AC(,证：

ABC

是直角三角.8

证明：由已知可得

(22

,(

2

2

20,AC(

2

18

则

AB

BC

所以

ABC是为直角的直三角.【变式】在平面直角坐标系中,知点A(B(2(

,求线段

AC

为邻边的平行四边形的两条对角线的.【答案】

.【反思提升】1.思想方法向量在有关其它数学知识中的应用关就是利用向量的概念将有关条件进行转,运用相关数学知识解决问题.2.误区指津（1）向量的坐标运算与三角函、二次函数相结合的问不但要清楚向量共线的充要条件,同时要明确三角函数的取范围以及二次函数闭区间上求最值的方.（2）数乘向量及和向量、差向的共需熟练掌握向量共线的充要条.考点向模型A基础训练一选题11.设tan3

b

3)2

,若

a

b

,则锐角

（）A.

B..D.643【答案2.在ABC中,设D为BC边中点,则量AD）9

A.

AB

B.

ABAC

C.

(ABAC)D.

(AB)【答案3.已知平面向量

a(1,2)

,

b)

,且

,则

ab

（）A.

(

B.

C.

(4)

D.

(【答案4.已知pab),q,)

,规定向量q之的一个运算符号（※

※q=(acad).若p(0,1),

※

则

等于（）A.4)

B.

C.(4)

D.【答案5.下列各项中,

,b

都表示向量,则正确的是（）【答案二填题6.已

,

,

OP(cos,1)1

,

OP2

,则

PP1

的最小值是.【答案】37.已知a,b)2

,且

a

,则角

【答案】45°已知若【答案】

ab

则

tan

=.三解题9.已知向量OHOP

,求周.【答案】

10.已知x1]

,=(2,x)

,b=(,求a的值范围10

【答案】[1,3]

.B提升训练1.给定两个长度为的平面向

OA

和

OB

.它们的夹角是

.如所示,点

c

在以

为圆心的圆弧

AB

上运动.若

OCxOAyOB

.其中

xR

.求x

的最大值.【答案】

.提示：建立如图所示的坐标系则AB(