第三章一维稳态和非稳态导热

第三章一维稳态和非稳态导热第一页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（1）概述研究内容：研究固体中的导热问题，重点是确定物体中的温度场和通过物体的导热速率。求解思路:一般来说，对于固体因此，分析导热，先用导热微分方程求得温度场，然后利于傅立叶定律求得导热速率温度场固体中温度场导热速率热量传输微分方程固体导热微分方程傅立叶定律第二页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（1）概述求解方法：通过导热微分方程求解直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：求解导热微分方程的方法：（1）分析解法；（2）数值解法。第三页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（2）单层平壁的导热几何条件：单层平板；；物理条件：、c、；时间条件：稳态导热，∂t/∂τ=0；边界条件：第一类。且已知；无内热源。由此可得：直接积分：第一类边界条件：ot1tt2控制方程边界条件第四页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（2）单层平壁的导热将边界条件带入控制方程可得：将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方程式。热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况第五页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（3）多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁－白灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等；t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热边界条件：热阻：第六页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（3）多层平壁的导热问：如已经知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？

t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热由热阻分析法得：多层、第三类边条件：第七页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（4）关于平壁的例题例题3：图为具有内热源并均匀分布的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽远大于壁厚，平壁两表面温度为恒温tw，内热源强度为qv，平壁材料的导热系数为常数。试求稳态导热时，平壁内的温度分布和中心温度。

解：因平壁的长、宽远大于厚度，故此平壁的导热可认为是一维稳态导热，这时导热微分方程式可简化为：相应的边界条件为：x=s时，t=twx=-s时，t=tw

第八页，共六十七页，2022年，8月28日可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：求解上述微分方程，得：式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：所以，平壁内温度分布为：1稳态导热—（4）关于平壁的例题第九页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（4）关于平壁的例题例题4：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度分别为s1=460mm；s2=230mm，导热系数分别为：λ1=0.7+0.64×10-3tW/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3tW/m℃。炉墙两侧表面温度各为t1=1400℃；t3=100℃，求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界处的温度。解：按试算法，假定交界面温度为t2=900℃，计算每层砖的导热系数

第十页，共六十七页，2022年，8月28日计算通过炉墙的热通量和界面温度分别为：将求出的t2与原假设的t2相比较，若两者相差甚大，需重新计算。重设t2=1120℃，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：t2与第二次假设的温度值很相近，故第二次求得的q和t2即为所求的计算结果。1稳态导热—（4）关于平壁的例题第十一页，共六十七页，2022年，8月28日计算假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的1/10。圆柱坐标系：

一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面的方程，考虑第一类边界条件：1稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热第一类边界条件：可得方程：第十二页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热应用边界条件：对该方程积分两次得：求得系数：带入第二次积分结果得圆筒壁内温度分布：第十三页，共六十七页，2022年，8月28日圆筒壁内温度分布曲线的形状：圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况：1稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热第十四页，共六十七页，2022年，8月28日虽然稳态情况，但热流密度q与半径r成反比！长度为l的圆筒壁的导热热阻：1稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热第十五页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量第十六页，共六十七页，2022年，8月28日分别考虑单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热，单位长度热阻1稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热由单层圆筒壁考虑多层圆筒壁，见左公式第十七页，共六十七页，2022年，8月28日对于平壁在平壁上敷上绝热层后，热阻:对于圆筒壁在管道外敷上绝热层后，热阻：讨论：

(1)对于平壁，敷上绝热层后，热阻增加，散热量减少；

(2)对于圆筒壁，当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函数。当dx增大时，增大，减小，总热阻的情况比较复杂。1稳态导热—（7）临界绝热层直径第十八页，共六十七页，2022年，8月28日当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函数。求极值：

将RL对dx求导，并令其等于0。1稳态导热—（7）临界绝热层直径第十九页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（7）临界绝热层直径继续求RL对dx的二阶导数，可得:说明dc为是总热阻的极小值，即此时热损失最大。说明：(1)管道外径d2<dc时，外加绝热层,热损失在增大，直到d=dc；继续增加绝热层，热损失在降低，但还是高于初始热损失；当d=d3时，增加绝热层，才会真正减少热损失。(2)若管道外径d2>dc，则增加绝热层，可以减小热损失。第二十页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题例题5：有一半径为R，具有均匀内热源、导热系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简化得到，即:第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日两个边界条件中：一个为r=R时，t=tw，由于内热源均匀分布，圆柱体表面温度均为tw，圆柱体内温度分布对称于中心线，另一个边界条件可表示为r=0时，dt/dr=0。将微分方程分离变量后两次积分，结果为根据边界条件，在r=0时，dt/dr=0。可得C1=0；利用另一个边界条件，在r=R时，t=tw，可得1稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题圆柱体内温度分布第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题例题6：高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m℃)：λ1=1.3；λ2=0.18；λ3=0.22；λ4=52。热风管道内径d1=1m，热风平均温度为1000℃，与内壁的给热系数α1=31W/m2℃，周围空气温度为20℃，与风管外表面间的给热系数为10.5W/m2℃，试求每米热风管长的热损失。第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m；d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。tf1=1000℃；tf2=20℃可求出每米管长的热损失为：第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日1稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题例题7：热介质在外径为d2=25mm的管内流动，为减少热损失，在管外敷设绝热层，试问下列二种绝热材料中选用哪一种合适：(1)石棉制品，λ=0.14W/m℃；(2)矿渣棉，λ=0.058W/m℃。假定绝热层外表面与周围空气之间的给热系数α2=9W/m2℃。解：计算石棉制品和矿渣棉临界绝热层直径分别为上述条件下用石棉制品作绝热层时，因d石棉>d矿热棉，敷设绝热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时，d石棉<d矿热棉，所以是合适的。

第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日小结导热微分方程、傅立叶定律在求解一维稳态导热问题的应用。对于没有内热源的情况：对于一维平壁：

单层：温度分布；热通量；单位面积热阻：（1）导热热阻S/λ;

（2）对流给热热阻1/α

多层：温度分布；热通量；界面温度的求解；单位面积热阻:（1）导热热阻（2）对流给热热阻1/α第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日小结对于一维圆筒壁：单层：温度分布；热流量；单位长度热阻:（1）导热热阻（2）对流给热热阻多层：温度分布；热流量；界面温度的求解；单位长度热阻:（1）导热热阻（2）对流给热热阻对于有内热源的情况：温度分布，热通量或热流量均不为常数热阻分析法的适用范围：一维、稳态、无内热源的情况。临界绝热层：第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日内容结构2非稳态导热（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数3薄材的非稳态导热（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题4半无限大的物体

（1）求解（2）查图（3）例题1稳态导热

（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）关于圆筒壁的例题（1）概念（2）求解过程（3）例题5

有限厚物体的一维非稳态导热

第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（1）定义及分类非稳态：t=f(r,τ)非稳态的分类：周期性非稳态导热，即物体的温度随时间而作周期性的变化；瞬态非稳态导热，物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。着重讨论瞬态非稳态导热。第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（2）温度变化和不同阶段温度变化：随时间变化。两个不同的阶段：非正规状况阶段(不规则情况阶段)→温度分布主要受初始温度分布控制；正规状况阶段(正常情况阶段)→温度分布主要取决于边界条件及物性。导热过程的三个阶段：非正规状况阶段(起始阶段)、正规状况阶段、新的稳态。第三十页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（3）温度分布和热量变化

非稳态导热的温度分布非稳态导热的热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（4）学习非稳态导热的目的温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律非稳态导热的导热微分方程式求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换；

近似分析法：集总参数法、积分法；

数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟；第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（5）两个相似准数影响物体温度变化速度的热物性参数有λ、ρ、cp、a等。主要的准数有：傅立叶准数和毕渥准数。傅立叶数：分母表示边界上发生的热扰动扩散到s2面积上所需的时间。Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点的温度就越接近周围介质的温度。傅立叶数反映了无量纲的时间对非稳态导热的影响。对于稳态导热，Fo没有意义。第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日2非稳态导热—（5）两个相似准数tfhtfhxt0毕渥准数是非稳态导热中另外一个非常重要的准数。问题的分析(以第三类边界条件为重点)

如图所示，存在两个换热环节:a.流体与物体表面的对流换热环节，rh=1/h；b.物体内部的导热rλ=δ/λ；毕渥数的定义：Bi数对温度分布的影响：当Bi→∞时，rλ>>rh，因此，可以忽略对流换热热阻；当Bi→0时，rλ<<rh，因此，可以忽略导热热阻。第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日Bi准数对无限大平壁温度分布的影响

由于面积热阻与导热热阻的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：2非稳态导热—（5）两个相似准数第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日当1/h<<δ/λ,Bi→∞，这时，由于表面对流换热热阻1/h几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t∞。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t∞

。

当δ/λ<<1/h，Bi→0，这时，平板内部导热热阻δ/λ几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t∞。2非稳态导热—（5）两个相似准数第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日δ/λ与1/h的数值比较接近,

这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。

由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数。2非稳态导热—（5）两个相似准数第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日内容结构2非稳态导热（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数3薄材的非稳态导热（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题4半无限大的物体

（1）求解（2）查图（3）例题1稳态导热

（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）关于圆筒壁的例题（1）概念（2）求解过程（3）例题5

有限厚物体的一维非稳态导热

第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（1）定义薄材的内部热阻可忽略，其温度场与空间坐标无关，只是时间的函数，即t=f(τ)，因此也称为零维问题。薄材不是一个纯几何概念，判断物体是否为薄材的标准是Bi。例：粘土砖和钢板分别厚2cm和20cm，λ分别为1.3W/m·℃和52W/m·℃，与空气的换热系数α分别为31W/m2·℃和10.5W/m2·℃，问哪个是薄材？解：Bi粘土砖＝0.477，Bi钢板＝0.004第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布设有一任意形状，可忽略内部热阻的物体，其体积为V，表面积为F，初始温度为t0=常数。突然将该物体置于温度为tf的介质中（设tf>t0），已知物体的热物性参数均为常数，介质与物体表面的换热系数为α。则：微分方程为：初始条件为：τ=0，t=t0引入过余温度：θ=t-tf第四十页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布由此可见，描述薄材导热的微分方程是一常微分方程，它的求解要比偏微分方程的求解简单得多。为了便于分析，令θ=t-tf，并令，则有相应的初始条件为τ=0，θ=t0-tf=θ0求解这一微分方程得θ=Ce-mτ根据初始条件很容易得到C=θ0第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布求解上面微分方程得：薄材在对流边界条件下加热（或冷却）时，物体中温度随时间呈指数函数变化。温度变化的快慢与物体的导热系数无关，只随物性参数c、ρ，表面换热条件α和几何特性（V/F）而改变。第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布则：式中，BiV和FoV准数中的定型尺寸为V/F。方程中指数的量纲：第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布则有：上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，用τc表示。第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（2）温度分布若导热体的热容量（cρV）小、换热条件好（α大），即时间常数(cρV/αF)小，则导热体的温度变化快。对于测温的热电偶节点，时间常数越小，热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—（3）热流量瞬态热流量：导热体在时间0-τ内与周围介质交换的总热量：导热体被加热和冷却时，计算公式相同。（为什么？）第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日3薄材的非稳态导热—式中，M是考虑BiV准数中定型尺寸用V/F表示的一个系数。对于不同几何形状的物体，V/F和M的取值如下表：（4）集总参数法的应用条件物体形状V/F M无限大平板（厚2s）s1无限长圆柱体（半径R）R/21/2球体（半径R）R/31/3第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日例题1

将初始温度为80℃，直径为20mm的铜棒突然置于温度为20℃，流速为12m/s的风道中，5min后铜棒温度降到34℃。试计算气体与铜棒的换热系数α？已知铜棒的ρ=8954kg/m3，c=383.1J/kg·℃，λ=386W/m·℃。解：假定铜棒的冷却过程可按薄材处理。由有：3薄材的非稳态导热—（5）例题第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日然后核算BiV：由此可见，按薄材处理是合理的。到目前为止，求解α的方法:(1)根据定义；

(2)根据薄材公式。3薄材的非稳态导热—（5）例题第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日内容结构2非稳态导热（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数3薄材的非稳态导热（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题4半无限大的物体

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（1）求解（2）查图（3）例题1稳态导热

（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）关于圆筒壁的例题（1）概念（2）求解过程（3）例题第五十页，共六十七页，2022年，8月28日半无限大物体是指受热面位于x=0处，而厚度为x=+∞的物体。在工程上，对一个有限厚的物体，当界面上发生温度变化，而在我们所考虑的时间范围内，其影响深度远小于物体本身厚度时，该物体可视为半无限大物体。即，所研究物体是否可以看做半无限大物体，受时间和坐标两个因素的影响。求解半无限大物体。有一初始温度（t0）均匀，热物性参数为常数，无内热源的半无限大物体，加热开始时表面（x=0处）温度突然升至tw，并保持不变，求物体内的温度分布。4半无限大的物体—（1）概念第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日微分方程：初始条件：τ=0，0≤x≤∞，t=t0边界条件：τ>0，x=0，t=tw

τ>0，x=∞，t=t0

解得：三个量x、t、τ，已知其中任意两个，便可求得第三个量。4半无限大的物体—（2）求解过程——称为高斯误差函数第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日当时，即t=t0。表明在x处的温度尚未变化，仍为初始温度t0。

(1)确定经过τ时间后壁内温度开始变化的距离；

(2)确定x处温度开始变化所需的时间。τ时刻通过表面(x=0处)的导热通量。——应用傅立叶定律。τ=0到τ=τ时间内，在x=0处通过单位表面积的总热量。4半无限大的物体—（2）求解过程第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日例题2

用热电偶测得高炉基础内某点的温度为350℃，测定时间离开炉120h，若炉缸底部表面温度为1500℃，炉基材料的热扩散系数为0.002m2/h，炉基开始温度为20℃，求炉缸底部表面到该测温点的距离。解：高炉基础可视为半无限大物体，界面(x=0处)为炉缸底部表面。因为已知表面温度，故是第一类边界条件的问题。已知：t0=20℃；tw=1500℃；t=350℃，根据半无限大公式可以计算出高斯误差函数：4半无限大的物体—（3）例题第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日首先计算Biv判断热电偶接点是否为薄材。由相关数据表可查得：当4半无限大的物体—（3）例题第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日例题31650℃的钢水很快注入一直径为3m，高度为3.6m的钢包，钢包初始壁温均匀为650℃，包内钢水深度为2.4m。已知包壁材料的热物性参数为：λ=1.04W/m·℃,ρ=2700kg/m3，cp=1.25kJ/kg·℃。试求在开始15min内：(1)由于导热传入包壁的热量；(2)包壁内热量传递的距离。解：假定钢包壁可视作半无限大物体，在钢水和包壁界面(x=0)处温度不变，恒为钢水温度。一般来说，包壁厚度与钢包直径相比很小，可按平壁处理。4半无限大的物体—（3）例题第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日由此可见，开始15min内，热量传递的距离比一般钢包壁的耐火材料厚度小，故按半无限大物体计算是可以的。开始15min内传入包壁的热量为：由热量传递距离可计算得：4半无限大的物体—（3）例题第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日内容结构2非稳态导热（1）定义及分类（2）温度变化的不同阶段（3）温度分布和热量变化（4）学习非稳态导热的目的（5）两个相似准数3薄材的非稳态导热（1）定义（2）温度分布（3）热流量（4）集总参数法的应用条件（5）例题4半无限大的物体

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有限厚物体的一维非稳态导热

（1）求解（2）查图（3）例题1稳态导热

（1）概述（2）单层平壁的导热（3）多层平壁的导热（4）关于平壁的例题（5）单层圆筒壁的导热（6）N层圆筒壁的导热（7）关于圆筒壁的例题（1）概念