第三节相似矩阵与方阵的对角化

第三节相似矩阵与方阵的对角化第一页，共三十页，2022年，8月28日一、相似矩阵与相似变换的概念第二页，共三十页，2022年，8月28日1.等价关系相似矩阵与相似变换的性质第三页，共三十页，2022年，8月28日证明第四页，共三十页，2022年，8月28日推论

若n阶方阵A与对角阵定理4.5若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同，即

第五页，共三十页，2022年，8月28日二、利用相似变换将方阵对角化第六页，共三十页，2022年，8月28日说明推论如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．第七页，共三十页，2022年，8月28日例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解第八页，共三十页，2022年，8月28日解之得基础解系第九页，共三十页，2022年，8月28日求得基础解系第十页，共三十页，2022年，8月28日解之得基础解系故不能化为对角矩阵.第十一页，共三十页，2022年，8月28日A能否对角化？若能对角例2解第十二页，共三十页，2022年，8月28日解之得基础解系第十三页，共三十页，2022年，8月28日所以可对角化.第十四页，共三十页，2022年，8月28日注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．第十五页，共三十页，2022年，8月28日定理4.7实对称矩阵的特征值为实数.说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．一个n阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的问题,我们不作一般性讨论,仅讨论A为实对称阵的情形。三、实对称矩阵的相似对角化

定理4.7的意义第十六页，共三十页，2022年，8月28日

推论1n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.

推论2实对称矩阵一定与对角阵相似.

第十七页，共三十页，2022年，8月28日证明它们的重数依次为根据定理4.7（对称矩阵的特征值为实数）和定理4.9(

如上)可得：设的互不相等的特征值为第十八页，共三十页，2022年，8月28日由定理4.8知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则第十九页，共三十页，2022年，8月28日

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.第二十页，共三十页，2022年，8月28日解例

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值第二十一页，共三十页，2022年，8月28日解之得基础解系

解之得基础解系第二十二页，共三十页，2022年，8月28日解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化第二十三页，共三十页，2022年，8月28日第二十四页，共三十页，2022年，8月28日第二十五页，共三十页，2022年，8月28日第二十六页，共三十页，2022年，8月28日于是得正交矩阵第二十七页，共三十页，2022年，8月28日三、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第二十八页，共三十页，2022年，8月28日２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．第二十九页，共三十页，2022年，8月28日3.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对