2017八数华上第13等三角形13.24边角

13.2.4角边角典型例题精析

例1如图13-2-40，已知点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C． (1)试判断BD和CE有什么关系，请说明理由；解：(1)BD=CE．理由如下：在△ADC与△AEB中，∵∠C=∠B，AC=AB，∠A=∠A，∴△ACD≌△ABE(A．S．A．)，∴AD=AE．又∵AB=AC，∴BD=CE. (2)试判断OB与OC有什么关系，请说明理由．(2)OB=OC．理由如下：由(1)知BD=CE，又∵∠B=∠C，∠BOD=∠COE，∴△BDO≌△CEO(A．A．S．)，∴OB=OC．1.(2016新疆)如图13-2-41，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是( ) A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF变式练习D2．(2016衡阳)如图13-2-42，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF.

求证：DE=CF．证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC(A.S.A.),∴DE=CF．3．如图13-2-43，四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．求证：△ABC≌△DEC．证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5.在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°.∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(A.A.S.)．例2如图13-2-44，∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC于点B，且DC=EC．求证：AB+AD=BE．典型例题精析证明：∵BE⊥AC，∴∠EBC=∠DAC=90°．又∵∠DCE=90°,∴∠1+∠2=90°．又∵在Rt△ADC中，∠2+∠D=90°,∴∠1=∠D．在△ADC和△BCE中，∴△ADC≌△BCE(A．A．S．)，∴AD=BC,AC=BE．又∵AC=AB+BC=AB+AD,∴AB+AD=BE．4．如图13-2-45，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且DE=8，BC=6，则CE=

．5．如图13-2-46，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E.若DE=8，BF=5，则EF的长为

．2136．如图13-2-47，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．

求证：△BEC≌△CDA．证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC=∠CDA=90°.∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD.在△BEC和△CDA中，

∴△BEC≌△CDA(A．A．S．)．1．如图13-2-48，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去基础过关精练C2．如图13-2-49，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( ) A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙C3．如图13-2-50，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，添加下列条件不能判断△ABC≌△DEF的是( ) A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BCC4．如图13-2-51，点E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过点E作直线交AB于点M，交CN于点N.若MB=6cm，CN=4cm，则AB=

cm．5．如图13-2-52，已知△ABC中，点F是高AD和BE的交点，AD=BD,CD=4，则线段DF的长度为

．1046．如图13-2-53，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，AB=BC，BE⊥AD于点E，且BE=2,则四边形ABCD的面积为

．47．(2016十堰)如图13-2-54，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED．在△ABF和△DEF中，∴△ABF≌△DEF(A.S.A.)，∴AF=DF．8．如图13-2-55，已知点A、F、E、C在同一直线上AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE． (1)从图中任找两组全等三角形；解：(1)△ABE≌△CDF，

△AFD≌△CEB. (2)从(1)中任选一组进行证明．(2)∵AB∥CD，∴∠1=∠2.∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(A.A.S.)．9．如图13-2-56，∠E=∠F=90°,∠B=∠C，AE=AF．下列结论：

①EM=FN； ②CD=DN；

③∠FAN=∠EAM； ④△ACN≌△ABM．

其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个能力提升演练C10．如图13-2-57，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为

．5011．如图13-2-58，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE相交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴∠EAO=∠DAO．又∵∠AEO=∠ADO=90°,AO=AO,∴△AOE≌△AOD(A．A．S．),∴OE=OD．又∵∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△BEO≌△CDO(A．S．A．)，∴OB=OC．12．如图13-2-59，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D． (1)试判断AE与BE的位置关系并加以说明；拓展探究训练(1)解：AE⊥BE.理由如下：∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵AP∥BC,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°，∴∠AEB=90°,∴AE⊥EB. (2)证明：AB=AD+BC；(2)证明：延长AE交BC的延长线于点M．∵AE⊥EB，∴∠AEB=∠MEB=90°．在△ABE和△MBE中，

∴△ABE≌△MBE(A.S.A.)，∴AE=ME，AB=MB.∵AP∥BC,∴∠1=∠M.在△ADE和△MCE中，∴△ADE≌△MCE(A.S.A.)，∴AD=CM