2022北京一零九中高三10月月考数学（教师版）

第13页/共13页2022北京一零九中高三10月月考数学2022.10.10一、单选题(每题4分，共40分)1．已知，其中，i为虚数单位，则（

）A． B．1 C． D．22．的展开式中的系数为（）A．20 B．-40 C．40 D．-103．设，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（

）A． B． C． D．5．双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（

）A． B． C． D．7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A．B．C． D．8．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（

）A．B．C．D． 9．，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．10．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题(每题5分，共25分)11．函数的定义域是________12．能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．13．如图所示，角的终边与单位圆交于点，已知点的坐标为，则________．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．三、解答题(共85分)16．(14分)函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴(1)求a的值；(2)求函数的极值．17．(13分)在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离。

18．(14分)已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．(1)确定的解析式；(2)若，求函数的单调减区间．条件①：的最小值为－2；条件②：图像的一个对称中心为；条件③：的图像经过点．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．19．(14分)北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级化学成绩等级人数（名）11053255701531210(1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；(2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确，并说明理由。

20．(15分)已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并证明；（2）求证：函数在内有且只有一个极值点；（3）求函数在区间上的最小值.21．(15分)集合是满足下列条件的函数全体：如果对于任意的，都有.（1）函数是否为集合的元素，说明理由；（2）求证：当时，函数是集合的元素；（3）对数函数，求的取值范围。

参考答案1．B因为，所以，所以，解得.2．C所以3．B4．B.5．C双曲线的一个顶点是，焦点在轴上，渐近线方程为，，，该双曲线的标准方程为

．6．D右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为.7．C对于A，，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，，所以函数为奇函数，故B不符合题意；对于C，，所以函数为偶函数，函数在上单调递减，C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数D不符合题意.8．C，9．D【详解】，，，函数在上单调递减，因为，所以，所以10．B解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．11．【分析】根据题意可知，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，所以.所以函数的定义域为.故答案为：.12．答案不唯一互余即可，如，【详解】当A＝60°，B＝30°时，sin2A＝sin120°，sin2B＝sin60°，此时，但A与B不相等，故答案为A＝60°，B＝30°．13．由三角函数的定义可得，所以.14．15．【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．16．（Ⅰ）（Ⅱ）极小值【分析】（Ⅰ）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力【详解】17．(1)证明：连接，，连接，在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面．平面．(2)解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为；18．(1)由于函数图像上两相邻对称轴之间的距离为，∴的最小正周期.此时.选条件①②：∵的最小值为，∴．∵图象的一个对称中心为，，∴，∴，，∵，∴，此时，∴．选条件①③：∵的最小值为，∴．∵函数的图象过点，，则，即，．∵，∴，∴，，∴．选条件②③：∵函数的一个对称中心为，，∴，∴．∵，∴，此时．∴．∵函数的图象过点，，∴，即，，∴，∴．综上，不论选哪两个条件，.(2)由(1)知，，∴==，由，∴g(x)的单调递减区间为：.19．（1）设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为.由题意随机变量的取值范围是则的分布列：012（3）不正确；举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和.【点睛】（1）概率统计问题关键在于审题，建议大家在考试过程中审题不少于两遍，同时把重要信息标注出来，这样不容易丢掉关键信息；（2）分布列问题类型判断是关键，建议结合做过的典型问题放在一起对比感悟；（3）第三问这种问题是北京命题特色，围绕一些概念深入考查，具有较高的区分度，建议把一些典型的第三问加以整理并思考命题的逻辑.20．（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；（3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以函数在区间上为增函数.（2）设，则，当时，，所以在上为减函数，又，，所以存在唯一，使得，即存在唯一，使得，与在区间内的变化情况如下：+0增函数极大值减函数所以函数在内有且只有一个极值点.（3）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，又因为，，所以当时，，又因为当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以在上的最小值为.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键.21．（1）不是，理由见解析

（2）证明见解析

（3）【分析】（1）由f（x1）＝22＝4，f（x2）＝32＝9，f（x1+x2）＝52＝25＞f（x1）+f（x2）可判断函数f（x）是否是集合M0的元素（2）要证明当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax是集合M1的元素，只要证对于任意的x1，x2∈（1，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），即证f（x1）+f（x2）﹣f（x1+x2）＞0（3）由对数函数f（x）＝lgx∈Mk，可得任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，代入整理可